课件26张PPT。一 平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.
2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.
3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？
提示 (1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.提示 BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理相等相等A′B′＝B′C′2.推论1平行平分3.推论2平行平分要点一 平行线等分线段定理
例1 如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明 如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法 解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1 如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝( )A.3 B.6 C.9 D.4
解析 如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.
答案 B要点二 平行线等分线段定理的推论
例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.
求证：MN＝NB.规律方法 证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.证明 过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，
∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.
∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.
∴ME是AB的垂直平分线.
∴AM＝BM.要点三 平行线等分线段定理的综合应用
例3 已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.
求证：DE＝EF.证明 (1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，规律方法 这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.
(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.
(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法
(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；
(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.
3.在几何证明中添加辅助线的方法
(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；
(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.解析 由平行线等分线段定理知CE＝ED.
答案 C答案 C3.下列结论正确的是________.(1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(3)如图(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
解析 由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.
答案 (1)，(2)，(3)课件31张PPT。三 相似三角形的判定及性质[学习目标]1.理解相似三角形的定义.
2.理解预备定理的本质.
3.会证明判定定理1，2，3，理解这些定理的内容，能应用这些定理证明相关的几何问题.
4.掌握直角三角形相似的判定定理，会应用定理证明相关的几何问题.[知识链接]1.在初中我们学习过相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定义的？
提示 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).2.判断下列各命题的正确性，正确的打“√”，错误的打“×”
(1)两个等边三角形相似( )
(2)两个直角三角形相似( )
(3)两个等腰直角三角形相似( )
(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似( )
(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似( )√√√××[预习导引]1.相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形，相似三角形对应边的比值叫作相似比(或相似系数).
(2)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示，例如△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.2.相似三角形的判定3.直角三角形相似的判定定理
(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似.
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
(3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.4.相似三角形的性质定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.5.两个相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接(内切)圆的直径比、周长比等于相似比，外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方.
6.相似三角形的性质和全等三角形的性质比较规律方法 解决此类问题，重点应放在“对应关系”上，根据“对应关系”进行合理的讨论是解题的关键.规律方法 直角三角形相似的判定方法很多，既可根据一般三角形相似的判定方法，又有其独特的判定方法，在求证、识别的过程中可由已知条件结合图形特征，确定合适的方法.规律方法 在利用相似三角形的性质建立比例式时，一定要注意比的顺序，才能得出正确的结果.1.相似三角形判定定理的作用
(1)可以用来判定两个三角形相似；
(2)间接证明角相等，线段长成比例；
(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件.
2.三角形相似的判定定理的一些常见推论
推论1：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似；
推论2：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似； 推论3：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.
推论4：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似.
3.相似三角形的性质定理的内容归纳起来主要有两个方面：一是相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线以及周长)的比等于相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方，运用性质定理，拓宽思路，可以探讨得到：两个相似三角形中的所有对应图形(所有对应线段如等分线段，等分角线以及外接圆与内切圆的直径、周长、面积等)与相似比都有一定的关系.解析 在△ABF中，DG∥BF，则△ADG∽△ABF.
答案 B解析 图中Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBE均与Rt△ADE相似.
答案 D课件24张PPT。二 平行线分线段成比例定理[学习目标]1.理解平行线分线段成比例定理.
2.理解平行线分线段成比例定理的推论.
3.能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]提示 由已知可设DE＝2x，EF＝3x，则2x＋3x＝15，∴x＝3，∴DE＝6，EF＝9.[预习导引]1.平行线分线段成比例定理比例2.推论比例答案 D规律方法 通过添加辅助线，构造基本图形，借图寻找合适的等量关系，再结合其他知识综合利用，以解决问题.1.比例的性质2.利用平行线转移比例式是常用的证题技巧，当题目中没有平行条件而有必要转移比例式时，常添加辅助平行线.添加的辅助线不同，解题方法也不相同.3.推论的图形变化如图所示.答案 D答案 D课件27张PPT。四 直角三角形的射影定理[学习目标]1.通过实践，结合生活中的实例，理解点在直线上的正射影，线段在直线上的正射影的概念.
2.理解射影定理，能应用定理解决相关的几何问题.[知识链接][预习导引]1.射影
从一点向一直线所引___________，叫作这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的____________线段，叫作这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.垂线的垂足正射影之间的2.射影定理高斜边ADABBA规律方法 (1)射影实质上就是平行投影.
(2)当线段AB所在直线与直线l平行时，设其在l上的射影为A1B1，则有AB＝A1B1，如图(1)所示 ；当线段AB所在直线与直线l不平行且不垂直时，设其在l上的射影为A1B1，则有AB>A1B1，如图(2)所示；当线段AB与直线l垂直时，线段AB在l上的射影是一个点A1，如图(3)所示.解 由AD⊥BC，EF⊥BC知：A在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C；E，F，G在BC上的射影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.规律方法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂线等，这是在直角三角形中应用射影定理必需的条件.
(2)运用射影定理进行相关计算时，常常还要与直角三角形的其他性质相结合，如三角函数、面积公式、勾股定理等.规律方法 ①判断两线段的数量关系时，可设变量使之能表示线段，②在直角三角形中，一般考虑利用射影定理或勾股定理来做.1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；
(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影.
2.应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题.3.直角三角形射影定理的逆定理
如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.1.在直角三角形ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，且AD＝3.2 cm，则DE等于( )
A.1.24 cm B.1.26 cm
C.1.28 cm D.1.3 cm
答案 C解析 图中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道两条线段的长，就可以求出其他线段的长.
答案 B答案 45°4.已知线段a，b(a (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等
推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.
(2)中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.
推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
(2)三角形内角平分线定理
定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于夹这个角的两边比.3.相似三角形的判定(1)相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应边的比值称为相似比.
(2)预备定理
定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
利用本定理可以证明相似三角形的判定定理.(3)相似三角形判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似.即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即：三边对应成比例，两三角形相似.(4)直角三角形相似的判定定理
定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似.
定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似.4.相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例.
性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比.
性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方.5.直角三角形的射影定理(1)射影的概念
从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正射影，简称射影.
一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段.(2)直角三角形射影定理和逆定理
定理：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.题型一 构造法
添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等结构.规律方法 多边形的问题常转化为三角形问题去解决，本题从已知条件出发，构造了等腰三角形，使求四边形的面积问题转化为求三角形的面积.题型二 化归法
转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明.规律方法 对于(1)，判断△ABC的形状，由题意转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ的面积无法直接利用面积公式求解，但可通过S△PQC＝S△BPC－S△PBQ，将问题转化为求S△PBQ、S△BPC.题型三 分类讨论法
当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论.例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进行讨论.跟踪演练3 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条.答案 4题型四 方程法
方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.答案 1规律方法 将几何图形的比例相等关系转化为方程，是解决平面几何问题常用路子.体验高考答案 32.(2015·广东高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.答案 83.(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.答案 35.(2014·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于点B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.答案 46.(2015·江苏高考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
