课件37张PPT。一 平面直角坐标系
第一讲 坐标系学习目标
1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面直角坐标系答案 直角坐标系；
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？答案 建立平面直角坐标系；
通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？梳理 (1)平面直角坐标系的概念
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.
②相关概念：
数轴的正方向：水平放置的数轴 的方向、竖直放置的数轴 的方向分别是数轴的正方向.
x轴或横轴：坐标轴 的数轴.
y轴或纵轴：坐标轴 的数轴.
坐标原点：坐标轴的 .
③对应关系：平面直角坐标系内的点与 之间一一对应.向右水平向上竖直公共点O有序实数对(x,y)
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 _____结论.几何代数几何思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为 _______伸缩变换，这就是用 研究 变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任坐标的代数方法几何φ题型探究命题角度1 研究几何问题
例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.类型一 坐标法的应用证明证明 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.跟踪训练1 在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.证明命题角度2 求轨迹方程
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝ |PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解答解 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0).
设P(x，y)，则|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1，
|PN|2＝|O2P|2－|O2N|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝ |PN|，∴|PM|2＝2|PN|2，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.
∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为 ，求顶点A的轨迹方程.解答例3 求圆x2＋y2＝1经过φ： 变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.类型二 伸缩变换解答解答引申探究
1.若曲线C经过 变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.∴(x′，y′)满足x2＋y2＝1，即x′2＋y′2＝1.解答2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′： ，求φ的坐标变换公式．反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换．解答得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.达标检测答案1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是 12345√答案解析2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换 后，所得曲线为
A.y＝sin x B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x D.y＝9sin x12345即y′＝9sin x′.故选D.√答案3.已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则点D的坐标是
A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) D.(2,2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
设D(x，y)，12345故点D的坐标为(1,3)．√解析4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程
为________________．12345答案解析解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，
∴|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.
∴a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5.123455.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则AC⊥BC.证明证明 设AB＝2r，线段AB的中心为O，以线段AB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝r2.
设A(－r，0)，B(r，0)，C(x，y)，又x2＋y2＝r2，所以y2＝r2－x2，所以AC⊥BC.123451.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征．
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系．规律与方法本课结束 课件37张PPT。第1课时 圆的极坐标方程第一讲 三 简单曲线的极坐标方程学习目标
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握圆的极坐标方程.
3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)在极坐标系中，如果曲线C上 的极坐标中 有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的 .
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程.知识点一 曲线的极坐标方程任意一点至少都在曲线C上极坐标方程知识点二 圆的极坐标方程答案 不一定.思考1 在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案 ρ＝2.思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？梳理 圆的极坐标方程r2rcos θ2rsin θ－2rcos θ－ 2rsin θ题型探究例1 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程.类型一 求圆的极坐标方程解答解 在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为引申探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程.解 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，
即ρ2＝6ρcos θ－5.
当O，P，C共线时此方程也成立.解答反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ).
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简.
(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为r＝3.求圆C的极坐标方程.解 设M(ρ，θ)为圆C上任一点，
易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，解答命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)x2＋y2＝1；类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化解答∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，
∴ρ2＝1，即ρ＝1.解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.(2)x2＋y2－4x＋4＝0；(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.解答解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.
∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)y2＝4x；解答解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)x2＋y2－2x－1＝0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.解答(1)ρ2cos 2θ＝1； 解 ∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴x－y－1＝0.解答解答反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
(1)x2＋y2－2x＝0；解答解 ∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.解 ∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(2)ρ＝cos θ－2sin θ；解 ∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.(3)ρ2＝cos2θ.解答例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程；类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用解答由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)若曲线ρsin ＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值.即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.解答反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程.跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______.答案(1,1)达标检测答案1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3 B. C.1 D.12345√2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝112345√答案答案解析3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是 12345√解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，
圆心坐标为(0,1)，∴它表示的曲线为抛物线.4.4ρsin2 ＝5表示的曲线是
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线 12345答案解析√123455.在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为1，求圆C的极坐标方程.解答12345解 在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，
由余弦定理可得
CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，当O，P，C共线时，此方程也成立，1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程规律与方法本课结束 课件32张PPT。第2课时 直线的极坐标方程第一讲 三 简单曲线的极坐标方程学习目标
1.掌握直线的极坐标方程.
2.能熟练进行曲线的极坐标方程和直角坐标方程间的互化.
3.能用极坐标方程解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考1 直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求？知识点 直线的极坐标方程答案 ①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；
②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上.思考2 过极点O且倾斜角θ＝ 的直线的极坐标方程是什么？梳理 直线的极坐标方程(ρ∈R)αρsin θπ＋αρcos θ题型探究例1 在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为 的直线的极坐标方程.类型一 求直线的极坐标方程解答解 令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，又因为点A(3，π)适合上式，引申探究
在本例条件下，若倾斜角改为 ，求直线的极坐标方程.解答解 设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，
在△AOP中，又点A(3，π)适合ρcos θ＝－3，反思与感悟 (1)求直线的极坐标方程的一般方法
设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系式，即为直线的极坐标方程.
(2)求直线的极坐标方程的注意事项
①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；
②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方程就是惟一的了.跟踪训练1 在极坐标系中，直线l经过点M ，且该直线与极轴所成的角为 ，求直线l的极坐标方程.解答解 方法一 设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，则在△OPM中，|OP|＝ρ，方法二 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，
则点M的直角坐标为(0,3).得直线l的极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，例2 把下列方程极、直互化.类型二 直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化解答(2)y＝2x； ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
∴x＋y－1＝0.解 ∵y＝2x，∴ρsin θ＝2ρcos θ，
∴tan θ＝2，极点(0,0)也适合tan θ＝2，
∴y＝2x的极坐标方程为tan θ＝2.解答反思与感悟 把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑.
(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcos θ，ρsin θ的形式.
(2)常取tan θ，方程用公式tan θ＝ (x≠0).
关键要注意变形的等价性.跟踪训练2 把下列方程进行极、直互化.
(1)2x＋y＋1＝0；解答得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＋1＝0.(3)θ＝α.即y＝tan α·x，原点(0,0)也适合y＝tan α·x，
∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tan α·x.解答例3 在极坐标系中，直线l的方程是ρsin ＝1，求点P 到直线l的距离.类型三 直线的极坐标方程的应用解答反思与感悟 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究.跟踪训练3 在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos ＝ ，C与l有且仅有一个公共点.
(1)求a的值；解答解 由曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，
得ρ2＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2，由于直线与圆有且只有一个公共点，(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝ ，求|OA|＋|OB|的最大值.解答达标检测1.过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是
A.ρcos θ＝4 B.ρsin θ＝4
C.ρsin θ＝ D.ρcos θ＝12345答案解析√2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为
A.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B.θ＝ (ρ∈R)和ρcos θ＝2
C.θ＝ (ρ∈R)和ρcos θ＝1
D.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝112345√答案答案解析3.7cos θ＋2sin θ＝0表示
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线12345解析 两边同乘以ρ，得7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线.√4.极坐标方程cos θ＝ (ρ≥0)表示的曲线是
A.余弦曲线 B.两条相交直线
C.一条射线 D.两条射线12345答案解析√123455.已知直线的极坐标方程为ρsin ＝ ，则点A 到这条直线的距离是_____.答案解析即x＋y＝1.本课结束 课件27张PPT。第1课时 极坐标系的概念第一讲 二 极坐标系 学习目标
1.了解极坐标系的实际背景.
2.理解极坐标系的概念.
3.理解极坐标的多值性.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 极坐标系答案 能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的.思考1 某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的？答案 选一个点O为基点，射线OA为参照方向.思考2 类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？梳理 极坐标系的概念
(1)极坐标系的定义
①取极点：平面内取一个 ；
②作极轴：自极点O引一条射线Ox；
③定单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).
(2)点的极坐标
①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为 ；
②意义：ρ＝ ，即极点O与点M的距离(ρ≥0).
θ＝ ，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角.定向OM(ρ，θ)|OM|∠xOM题型探究解 如图，类型一 由极坐标画出点解答反思与感悟 由极坐标作点，先由极角线找点所在角的终边，再由极径确定点的位置.通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”.解 在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的.解答例2 设点A ，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).类型二 求点的极坐标解答解 如图所示，引申探究
1.若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标.2.若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标.解答反思与感悟 (1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ).
(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.
(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.跟踪训练2 在极坐标系中，点A的极坐标是 ，求点A关于直线θ＝ 的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π)).解答例3 在极坐标系中，点O为极点，已知点A ，B ，求|AB|的值.类型三 极坐标系中两点间的距离解答∴△AOB为直角三角形，解答引申探究
在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标.解 取AB的中点M，连接OM，反思与感悟 在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝ 的两种特殊情形为
①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；
②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.跟踪训练3 (1)在极坐标系中，已知两点P ，Q ，则线段PQ的长度为____.解析 作出图形，如图所示，可知OP与OQ垂直，所以线段PQ的长度|PQ|＝ ＝5.答案解析5(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A ，B ，C ，判断三角形的形状.解 因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos ＝49，
|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos ＝49，
|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos ＝49.
所以△ABC是等边三角形.解答达标检测答案1.极坐标系中，下列与点(1，π)相同的点为
A.(1,0) B.(2，π)
C.(1,2 016π) D.(1,2 017π)√12342.点M的直角坐标是(－1， )，则点M的极坐标为 答案√1234答案解析3.在极坐标系中，与点 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是 √12344.在极坐标系中，已知A ，B 两点，则|AB|＝_____.答案解析12341.极坐标系的四要素
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置.
3.确定点的极坐标的方法
点P的极坐标的一般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则
(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值.
(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角.规律与方法本课结束 课件35张PPT。第2课时 极坐标和直角坐标的互化第一讲 二 极坐标系 学习目标
1.了解极坐标和直角坐标互化的条件.
2.掌握极坐标与直角坐标互化的公式，能进行极坐标和直角坐标间的互化.
3.掌握极坐标系的简单应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 极坐标和直角坐标的互化答案 可以.思考1 平面内的一个点M的坐标既可以用直角坐标表示也可以用极坐标表示，那么这两个坐标之间能否转化？答案 ①直角坐标的原点为极点；
②x轴的正半轴为极轴；
③单位长度相同.思考2 要进行极坐标和直角坐标的互化，两个坐标系有什么联系？梳理 互化的条件及互化公式
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位.
(2)互化公式
①极坐标化直角坐标：
②直角坐标化极坐标：
x = ______，
y = ______.
ρ2 = ______，
tan θ = ____(x≠0).
ρcos θρsin θx2＋y2题型探究例1 把下列点的极坐标化为直角坐标.类型一 点的极坐标化直角坐标解答解答跟踪训练1 已知点的极坐标分别为A ，B ，C ，求它们的直角坐标.解 根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，解答例2 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).类型二 点的直角坐标化极坐标解答解答解答引申探究
1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？解答极坐标不惟一.2.若点的直角坐标为(1)(0,2 )，(2)(0，－ )，(3) 化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解 结合坐标系及直角坐标的特点知，解答反思与感悟 (1)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝ (x≠0)进行求解，先求极径，再求极角.(2)在[0,2π)范围内，由tan θ＝ (x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.跟踪训练2 在直角坐标系中，求与点M 的距离为1且与原点距离最近的点N的极坐标.解答依题意知，M，N，O三点共线，例3 已知A，B两点的极坐标为 和 ，求线段AB中点的直角坐标.类型三 极坐标与直角坐标互化的应用解答设线段AB的中点为M(m，n)，由线段中点的坐标公式可得引申探究
1.若本例条件不变，求线段AB中点的极坐标.∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1.解答解答2.若本例条件不变，求AB的直线方程.反思与感悟 应用点的极坐标与直角坐标互化的策略
在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可.跟踪训练3 在极坐标系中， 如果A ，B 为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).解答故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.设点C的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，达标检测答案1.将点M的极坐标 化成直角坐标是
A.(5,5 ) B.(5 ，5)
C.(5,5) D.(－5，－5)12345√答案解析2.点P的直角坐标为(－ ， )，那么它的极坐标可表示为 12345√解析 设点P的极坐标为(ρ，θ)，
∵ρ2＝x2＋y2＝4，∴ρ＝2，答案解析3.若M点的极坐标为 ，则M点的直角坐标是 12345√4.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－ ).若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是 12345答案解析解析 以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，得√123455.已知点M的直角坐标为(－3，－3 )，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M的极坐标是_______.答案解析极坐标与直角坐标的互化
任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sin θ＝ ，cos θ＝ ，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝ (x≠0).规律与方法本课结束 课件35张PPT。四 柱坐标系与球坐标系简介第一讲 坐标系学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.
2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.
3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 柱坐标系答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？梳理 柱坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间
任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)
(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这
时点P的位置可用有序数组 (z∈R)表示，
这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)
之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作 ，其中____________________.(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ<2π，z∈RP(ρ，θ，z)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x = ______，
y = ______ ，
z = ___.zρcos θρsin θ思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.知识点二 球坐标系答案 可以.梳理 球坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意
一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角
为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方
向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置
就可以用有序数组 表示.这样，空间的点与
有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建
立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作 ，其中 .r，φ，θr≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2πP(r，φ，θ)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x = _________，
y = _________，
z = _____.rcos φrsin φcos θrsin φsin θ题型探究例1 (1)已知点A的直角坐标为(－1， ，4)，求它的柱坐标；类型一 柱坐标与直角坐标的互化解答(2)已知点P的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝ ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；解答(2)已知点N的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答故点N的直角坐标为(0,2,3).例2 (1)已知点P的球坐标为 ，求它的直角坐标；类型二 球坐标与直角坐标的互化解答解 由变换公式，得(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2 )，求它的球坐标.解答解 由坐标变换公式，可得反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式 求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝ ，cos φ＝ 来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标.解答解 设点的直角坐标为(x，y，z).解答例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为 ，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标.类型三 求点的坐标解答设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式.
(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.跟踪训练3 在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.解答解 C的直角坐标为(1,1,0)，
设C的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π).达标检测答案1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 ，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为 12345√2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为 12345答案√3.在球坐标系中，方程r＝2表示空间的
A.球 B.球面 C.圆 D.直线12345答案√4.点P的柱坐标为 ，则点P到原点的距离为_____.12345答案解析5123455.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝____，tan θ＝____.答案解析2解析 如图所示，1.空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.规律与方法2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.本课结束 课件39张PPT。第一讲 坐标系复习课学习目标
1.复习回顾坐标系的重要知识点.
2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.
3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
或顺便指出，上式对ρ<0也成立.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.题型探究类型一 求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C ，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；解答解 设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上.解答解 设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系.跟踪训练1 在极坐标系中，过点 作圆ρ＝4sin θ的切线，求切线的极坐标方程.解答设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcos θ＝2.类型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；解答解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解答解 由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度.
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcos θ，ρsin θ，tan θ，以方便用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y及tan θ＝ 代入化简.跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3， )，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程.解答故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cos θ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.类型三 极坐标的综合应用解答解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)，(ρ2cos θ2，ρ2sin θ2).(2)求△AOB面积的最大值和最小值.解答解 在△AOB中，OA⊥OB.当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系.建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量.
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题.跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数.证明证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系.设A的极坐标为(ρ1，θ)，则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，达标检测1.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝1，ρ＝4cos θ ，则曲线C1与C2交点的极坐标为_______.答案12342.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为___.解析答案1234解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，12343.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|＝______.答案12344.已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin ＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；解答解 由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆.所以C2表示直线.1234(2)求C1，C2交点间的距离.1234故直线与圆相交，＝62.极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程.
3.要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁.本课结束
