课件35张PPT。第三章 概率本章概览
一、地位作用
1.概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它已渗透到人们的日常生活中,学好本章内容可以为进一步学习其他知识做准备.学好概率知识可以了解某些随机事件发生的可能性的大小,进而为我们的决策提供关键性的依据,同时可以澄清日常生活中遇到的一些错误认识.
2.概率是研究随机现象规律的科学,是人们重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础.学完概率内容,就能更好地理解统计原理和方法.概率和统计一样是现代公民必备的常识.
二、内容要求
1.了解随机事件的不确定性和频率的稳定性,了解概率的统计定义和概率的加法公式.2.理解古典概型及概率计算公式,会用列举法计算概率.
3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.
三、核心素养
通过本章学习,使学生充分感受大千世界中的随机现象,用随机的观念去观察、分析和研究客观世界,增强学生应用概率解决问题的意识和能力.激发学生学习数学的兴趣,进一步培养学生学习数学用数学来解决实际问题的能力和创新意识.3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
3.1.2 概率的意义目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】【实例】 (1)在山顶上,抛一块石头,石头下落;
(2)在常温下,铁熔化;
(3)掷一枚硬币,出现正面向上;
(4)若抛掷一枚硬币100次,出现正面向上48次.想一想 1:实例中的几个事件能发生吗?
((1)中“石头下落”一定发生;(2)中“常温下,铁熔化”一定不会发生;(3)中“正面向上”可能发生;(4)中可能发生)
想一想 2:实例(3)中事件发生的概率是多少?实例(4)中硬币出现正面向上的频率为多少?知识探究1.事件的概念及分类一定不会发生一定会发生可能发生也可能不发生频数频率(2)概率
①含义:概率是度量随机事件发生的 的量.
②与频率的联系:对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于 ,因此可以用频率fn(A)来估计 .可能性大小概率P(A) 概率P(A) (3)对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有 ,认识了这种随机性中的规律性,就能比较准确地预测随机事件发生的 .规律性可能性【拓展延伸】
1.判断一个事件是哪类事件的方法
判断一个事件是哪类事件要看两点:一看条件,因为三种事件都是相对于一定条件而言的;二看结果是否发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不发生的是不可能事件.
2.概率在决策中的应用
在一次试验中,概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大,小概率事件很少发生,而大概率事件经常发生,故可利用随机事件发生的概率大小来帮助我们做出正确的决策.自我检测1.下列现象中,是随机事件的是( )
①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形;
②打开电视机,正好在播新闻;
③从装有3个黄球,5个红球的袋子中任摸4个,全部都是黄球;
④下周六是晴天.
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④D2.在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为( )
(A)3件都是正品 (B)至少有1件次品
(C)3件都是次品 (D)至少有1件正品C3.姚明在一个赛季中共罚球124个,其中投中107个,设投中为事件A,则事件A出现的频数为 ,事件A出现的频率为 .?4.下列说法:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件的概率;③频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法有 (填序号).?答案:①③题型一 事件类型的判断【例1】 给出下列四个命题:
①集合{x||x|<0}为空集是必然事件;
②y=f(x)是奇函数,则f(0)=0是随机事件;
③若loga(x-1)>0,则x>1是必然事件;
④对顶角不相等是不可能事件.
其中正确命题是 .?课堂探究·素养提升解析:因为|x|≥0恒成立,所以①正确;
奇函数y=f(x)只有当x=0有意义时才有f(0)=0,
所以②正确;
由loga(x-1)>0知,当a>1时,x-1>1,即x>2;
当0
所以③正确,④正确.
答案:①②③④方法技巧 关于三种事件的判断,应明确事件是指在一定条件下所出现的某种结果,是对应于某个条件而言的.即时训练1-1:同时掷两颗骰子一次.
(1)“点数之和是13”是什么事件?(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件?(3)“点数之和是7”是什么事件?解:(1)由于点数最大是6,和最大是12,不可能得13,故此事件是不可能 事件.
(2)由于点数之和最小是2,最大是12,在2～13之间,它是必然事件.
(3)由(2)知,和是7是有可能的,此事件是随机事件.题型二 用随机事件的频率估计概率【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.解:(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.方法技巧 用频率估计概率的步骤:
(1)进行大量的随机试验,得频数;(3)由频率与概率的关系估计概率;
(4)试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会呈现出规律性,即在某个常数附近摆动,且这个常数就是概率.即时训练2-1:一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为 .?答案:0.03题型三 概率的正确理解【例3】某射手击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次就一定能击中9次?误区警示 本题中事件“击中靶心”的概率为0.9,这个值是经过大量的重复试验得出的一个统计值,但作为单独的一次或多次试验而言,很有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大,因而随机事件的发生与否需要看试验的次数,不能将概率值当作是必然发生的值来理解.解析:故选D.即时训练3-2:有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗?解:这种想法显然是错误的,通过具体试验验证便知.用概率的知识来理解,就是:尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5,但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次,只有通过大量试验,会出现正面向上的频率随试验次数的增加越来越稳定在0.5附近,即与0.5的差越来越小.题型四 概率思想的应用【例4】聪聪和明明下象棋,为了确定谁先走第一步,聪聪对明明说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗?方法技巧 游戏规则是否公平,要看对游戏双方来说获胜的可能性或概率是否相同,若相同,规则公平,否则不公平.即时训练4-1:在乒乓球比赛前,要决定由谁先发球,裁判员拿出一个抽签器,它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板,一面是红圈,一面是绿圈,然后随意指定一名运动员,要他猜上抛的抽签器落到球台上时,是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上.如果他猜对了,就由他先发球,否则,由另一方先发球.你认为公平吗?为什么?解:公平.因为当抽签器上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得发球权的概率均为0.5,所以这个规则是公平的.即时训练4-2:为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾,试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.题型五 易错辨析错解:(1)是指抽出100个灯泡,能亮1 000小时以上的灯泡有85个.(2)是指明天一定下雨.(3)是指参加45场比赛,其中有22场获胜.
纠错:没有正确理解概率的概念,混淆概率和频率.谢谢观赏！课件26张PPT。3.1.3 概率的基本性质目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】【实例】一袋中有两个红球,两个白球,从中摸出两个球,记“摸出的两球是红球”为事件A,“摸出的两球是白球”为事件B,“摸出的两球是一红一白”为事件C.“摸出的两球至少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.想一想 1:实例中,若事件A发生,事件D发生吗?它们是什么关系?
(事件A发生,则事件D一定发生;是包含关系)
想一想 2:实例中,若事件C发生,则事件D会发生吗?事件A,C,D之间有何 关系?
(事件C发生,则事件D一定会发生;事件D包含事件A和事件C两个事件)
想一想 3:实例中,若事件C发生,那么事件E会发生吗?事件C,D,E又有何 关系?
(若事件C发生,那么事件E一定会发生;事件D、事件E均包含事件C)
想一想 4:实例中,事件A与事件B能同时发生吗?事件A与事件E能同时发生吗?事件A与事件E的并事件是什么事件?交事件又是什么事件?
(事件A与事件B不能同时发生;事件A与事件E也不能同时发生;A∪E是必然事件;A∩E是不可能事件)知识探究1.事件的关系与运算一定发生不可能事件不可能事件不可能事件必然事件事件A发生或事件B发生A∪BA+B事件A发生且事件B发生A∩B2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围是 ;
(2) 的概率为1, 的概率为0;
(3)概率的加法公式为如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= .
特例:若事件A与事件B互为对立事件,
则P(A)=1-P(B).
P(A∪B)=1,P(A∩B)=0.0≤P(A)≤1必然事件不可能事件P(A)+P(B) 探究2:在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?
提示:不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
探究3:互斥事件的概率加法公式是否可以推广到多个互斥事件的情况?
提示:可以.若事件Ai(i=1,2,3,…,n)彼此互斥,则P(A1∪A2∪A3∪…∪An) =P(A1)+P(A2)+P(A3)+…+P(An).【拓展延伸】
互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生;
②对立事件首先是互斥事件,且必须有一个要发生.自我检测1.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( )
(A)至多有2件次品 (B)至多有1件次品
(C)至多有2件正品 (D)至少有2件正品B2.下列说法正确的个数有( )
①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;④事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个B3.若A,B是互斥事件,P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,则P(B)等于( )
(A)0.3 (B)0.7 (C)0.1 (D)1A4.一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项,其中中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.25,则不中奖的概率为 .?答案:0.65题型一 事件的关系【例1】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.课堂探究·素养提升解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.方法技巧 判别两个事件是否互斥,就是考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立,就要考察它们是否必有一个发生.要注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,能够根据它们的含义准确列举事件结果,以帮助分析.即时训练1-1:(1)(2018·安徽滁州高二检测)从装有2个白球和2个蓝球的口袋中任取2个球,那么对立的两个事件是( )
(A)“恰有一个白球”与“恰有两个白球”
(B)“至少有一个白球”与“至少有一个蓝球”
(C)“至少有一个白球”与“都是蓝球”
(D)“至少有一个白球”与“都是白球”解析:(1)因为事件“至少有一个白球”与“都是蓝球”的交事件是不可能事件,事件“至少有一个白球”与“都是蓝球”的并事件是必然事件,所以事件“至少有一个白球”与“都是蓝球”是对立事件,故选C.
答案:(1)C (2)(2018·北京东城高一期末)从一批产品中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论正确的是 .(填写序号)?
①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.解析:(2)A={3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件.
所以正确结论的序号为①②⑤.
答案:(2)①②⑤即时训练1-2:把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
(A)对立事件 (B)不可能事件
(C)互斥但不对立事件 (D)以上均不对解析:只有一张红牌,甲、乙不能同时分得,所以互斥.但有可能甲、乙都没有分得红牌,而丙、丁中一人分得,所以不对立.故选C.题型二 互斥事件与对立事件的概率【例2】某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:求:(1)年降水量在(200,300](mm)范围内的概率;规范解答:(1)设事件A={年降水量在(200,300](mm)范围内}.
它包含事件B={年降水量在(200,250](mm)范围内}和事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}两个事件.
因为B,C这两个事件不能同时发生,所以它们是互斥事件,
所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C),
由已知得P(B)=0.3,P(C)=0.21,
所以P(A)=0.3+0.21=0.51.
即年降水量在(200,300](mm)范围内的概率为0.51.(2)年降水量在(250,400](mm)范围内的概率;规范解答:(2)设事件D={年降水量在(250,400](mm)范围内},
它包含事件C={年降水量在(250,300](mm)范围内}、事件E={年降水量在(300,350](mm)范围内}、事件F={年降水量在(350,400](mm)范围内}三个事件,
因为C,E,F这三个事件不能同时发生,所以它们彼此是互斥事件,
所以P(D)=P(C∪E∪F)=P(C)+P(E)+P(F),
由已知得P(C)=0.21,P(E)=0.14,P(F)=0.08,
所以P(D)=0.21+0.14+0.08=0.43.
即年降水量在(250,400](mm)范围内的概率为0.43.(3)年降水量不大于350 mm的概率.规范解答:(3)设事件G={年降水量不大于350 mm},
其对立事件是“年降水量在350 mm以上”,即事件F,
所以P(G)=1-P(F)=1-0.08=0.92.
即年降水量不大于350 mm的概率为0.92.方法技巧 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥,复杂事件要拆分成若干个互斥事件,以化繁为简,注意不重不漏.
(2)当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果较少时,可以利用对立事件间的关系求解,即运用“正难则反”的思想.题型三 易错辨析【例3】抛掷一均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,求P(A∪B).纠错:错误的原因在于忽视了应用互斥事件概率加法公式的前提条件.由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”两者不是互斥事件,即出现1或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用P(A∪B)=P(A)+P(B)公式求解.谢谢观赏！课件29张PPT。3.2 古典概型
3.2.1 古典概型
3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生目标导航新知探求课堂探究新知探求·素养养成【情境导学】【实例】 (1)一枚硬币连掷两次.
有4种可能的结果:正正,正反,反正,反反.
(2)甲、乙、丙三人站成一排.
有6种站法.甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲.想一想 1:实例中每个试验可能出现的事件之间是什么关系?
(这些事件是彼此互斥的)
想一想 2:实例中两个试验有何共同特点?
(可能出现的结果是有限个且每种结果出现的机会均等)知识探究1.基本事件
(1)定义
在一次试验中可能出现的每一个基本结果叫做基本事件,它们是试验中不能再分的简单随机事件,一次试验只能出现一个基本事件.
(2)特点
①任何两个基本事件是 的;
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的 .互斥和2.古典概型
(1)定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
①试验中所有可能出现的基本事件只有 个;
②每个基本事件出现的可能性 .
(2)古典概型的概率公式
对于古典概型,任何事件的概率为
P(A)= .有限相等探究:从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗?
提示:不是,因为有无数个基本事件,所以不是古典概型.【拓展延伸】
求古典概型概率的步骤
(1)先判断是否为古典概型;
(2)确定基本事件的总数n;
(3)确定事件A包含的基本事件个数m;自我检测1.下列关于古典概型的说法中正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)= .
(A)②④ (B)①③④ (C)①④ (D)③④B解析:由古典概型的定义知①③正确,②错误;由古典概型及其概率计算公式知④正确.A A 4.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 .?题型一 基本事件的计数【例1】有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数,y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出:
(1)试验的基本事件;
(2)事件“朝下点数之和大于3”;
(3)事件“朝下点数相等”;
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.课堂探究·素养提升解:(1)这个试验的基本事件为
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件:
(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件:(1,1),(2,2),(3,3), (4,4).
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4).方法技巧 要写出所有的基本事件通常有列举法、列表法、树状图法.但不论采用哪种方法,都要按一定的顺序进行,做到不重不漏.即时训练1-1:张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6解:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为(1,2),(1,4), (2,3),(3,4),共4种可能.故选C.题型二 简单古典概型概率的计算方法技巧 在求解概率问题时,常常遇到这样的情况,即从一堆小球中抽取几个小球,根据小球的颜色求解概率.解决此类问题时,首先要分清抽取的方式,即“有放回”与“无放回”.
“有放回”是指抽取物体时,每一次抽取之后,都将被抽取的物体放回原处,这样前后两次抽取时,被抽取的物体的总数是一样的.
“无放回”是指抽取物体时,在每一次抽取后,被抽取的物体放到一边,并不放回到原处,这样,前后两次抽取时,后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1.
这两种情况下基本事件总数是不同的.即时训练2-1:(2018·菏泽高一月考)抛掷两颗骰子,求:
(1)向上点数之和是4的倍数的概率;
(2)向上点数之和大于5小于10的概率.解:如图,基本事件共有36种.即时训练2-2:(2018·焦作期中)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2所学校均为小学的概率.解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,1所大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3), (A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3, A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),其15种.题型三 随机模拟方法【例3】某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是60%,那么在连续三次投篮中,三次都投中的概率是多少?题型四 易错辨析【例4】从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任意选取两台,求两件品牌都齐全的概率.纠错:错误的原因是重复计算了试验所得结果总数,其实,从5台中任取2台,按顺序(x,y)记录结果,x有5种可能,y有4种可能,但(x,y)和(y,x)是相同的,所以试验的所有结果应是5×4÷2=10(种).谢谢观赏！课件32张PPT。章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”)
1.“一个三角形的内角和为280°”是随机事件.( )
2.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事件.( )
3.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,则是合格品的可能性为99%. ( )
4.若P(A)=0.001,则A为不可能事件.( )
5.在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).( )
6.对互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.( )
7.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件.( )
8.若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.( )× √√× × × × × × √题型探究真题体验题型探究·素养提升一、互斥事件与对立事件的概率
【典例1】 某射手在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或9环的概率;
(2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不足8环的概率.解:设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A,B,C,D,E,
(1)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,
即射中10环或9环的概率为0.52.
(2)法一 P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,
即至少射中7环的概率为0.87.
法二 射中环数小于7为至少射中7环的对立事件,
所以所求事件的概率为1-P(E)=1-0.13=0.87.
(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,
即射中环数不足8环的概率为0.29.规律方法 利用概率的加法公式时一定要注意事件是否彼此互斥.稍复杂的事件的概率经常转化为几个彼此互斥的事件的和或用对立事件来解决.二、古典概型
【典例2】 有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据:其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中,随机抽取1个,求这个零件为一等品的概率;
(2)从一等品零件中,随机抽取2个:
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2个零件直径相等的概率.(2)①一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个,所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5}, {A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15种.规律方法 解决古典概型问题的关键
古典概型概率问题是高考中常见题型.解决的关键是抓住古典概型的有限性和等可能性,找准基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.常用列举法把基本事件一一列举出来,做到不重不漏.三、概率与统计的综合问题
【典例3】 随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生,测量他们的体重(单位: kg),获得体重数据的茎叶图如图.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重;
(2)计算甲班的众数、极差和样本方差;解:(1)乙班的平均体重较重.(3)现从乙班(这10名)体重不低于64 kg的学生中随机抽取两名,求体重为 67 kg的学生被抽取的概率.【变式训练】 (2017·山东淄博模拟)某学校举行物理竞赛,有8名男生和 12名女生报名参加,将这20名学生的成绩制成茎叶图如图所示.成绩不低于80分的学生获得“优秀奖”,其余获“纪念奖”.
(1)求出8名男生的平均成绩和12名女生成绩的中位数;(2)按照获奖类型,用分层抽样的方法从这20名学生中抽取5人,再从选出的5人中任选3人,求恰有1人获“优秀奖”的概率.【典例4】 (2017·辽宁六校协作体联考)为检验寒假学生自主学习的效果,年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计,如图是政治成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90),[90,100].
(1)求图中的x值及平均成绩;解:(1)由(0.006×3+0.01+0.054+x)×10=1,解得x=0.018,
平均成绩为0.06×(45+55+95)+0.1×65+0.54×75+0.18×85=74.(2)从分数在[70,80)中选5人记为a1,a2,…,a5,从分数在[40,50)中选3人,记为b1,b2,b3,8人组成一个学习小组.现从这5人和3人中各选1人作为组长,求a1被选中且b1未被选中的概率.规律方法 概率与统计的综合问题主要就是统计图表(茎叶图、频率分布直方图)、抽样方法与古典概型的综合问题,求解此类问题时应先利用统计知识求出满足题意的事件个数,再结合古典概型知识求解.四、随机模拟
【典例5】 种植某种树苗成活率为0.9,若种植这种树苗5棵,求恰好成活4棵的概率.设计一个试验,随机模拟估计上述概率.五、易错辨析
【典例6】 先后抛掷两枚质地均匀的硬币,求“一枚出现正面,另一枚出现反面”的概率.真题体验·素养升级1.(2016·全国Ⅲ卷)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )C2.(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )C3.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.4.(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.谢谢观赏！