【备考2019中考数学学案】第一单元 数与式 第3课时 整数的乘除及因式分解

第一单元 数与式
第3课时 整数的乘除及因式分解
考点知识清单
考点一 整式的乘除
乘法
单项式与单项式相乘
把它们的系数、①____________分别相乘，其余字母连同它的指数作为积的因式。
单项式与多项式相乘
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m（a＋b＋c）＝②________________。
多项式与多项式相乘
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m＋n)(a＋b)＝③_____________________。
除法
单项式除以单项式
把系数、④__________分别相除，作为商的因式，只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。
多项式除以单项式
先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商⑤_______________。
公
式
平方差公式
（a＋b）（a-b）＝⑥______________。
完全平方公式
（a±b）2＝⑦__________________。
【温馨提示】
1.当m为偶数时，(1-a)m＝(a-1)m；当m为奇数时，(1-a)m＝-(a-1)m。
2.完全平方公式的常见变形:
a2＋b2＝(a＋b)2 - 2ab＝(a-b)2＋2ab；(a＋b)2 - (a-b)2＝4ab；(a＋b)2＋(a-b)2＝2(a2＋b2)
考点二 因式分解
定义
把一个多项式化成几个⑧_____________的形式
公因式
多项式的各项都含有的相同因式。
提公因式法
多项式的各项都有公因式，把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式的乘积的形式，即ma＋mb＋mc＝⑨________________。
公式法
a2-b2＝⑩_____________；a2±2ab＋b2＝?____________________。
【温馨提示】 因式分解与整式乘法是互逆运算。
题型归类探究
类型一 整式的乘除（重点）
【典例1】（2018·襄阳）先化简，再求值:(x＋y)(x - y)＋y(x＋2y) - (x-y)2，其中x＝2＋，y＝2-【思路导引】先用乘法公式和单项式乘多项式的法则展开代数式，再合并同类项即得化简结果，最后代数求值。
【自主解答】
【规律总结】（1）平方差公式:等式左边是a，b两数和与这两数差的积，右边是a，b两数的平方差；（2）完全平方公式:等式左边是a，b两数和（或差）的平方，右边为三项之和，即首平方、尾平方、2倍乘积在中央。
【变式训练】
1.（1）（2017·呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A. a2＋a3＝a5 B.(-2a2)3÷()2＝-16a4
C.3a-1＝ D.(2a2-a)2÷3a2＝4a2- 4a＋1
（2）（2017·怀化）先化简，再求值:(2a-1)2 - 2(a＋1)(a-1)-a(a-2)，其中a＝＋1.
（3）（2018·咸宁）化简:(a＋3)(a-2)-a(a-1)。
类型二 因式分解（高频点）
【典例2】（1）（2018·宜宾）分解因式:2a3b-4a2b2＋2ab3＝__________________；
（2）（2018·贺州）将m3(x-2)＋m(2-x)分解因式的结果是_________________。
【思路导引】 → →
【自主解答】
【方法技巧】（1）公因式的确定方法:①系数:取各项系数的最大公约数；②字母:取各项相同的字母；
③指数:取各相同字母的最低次数。（2）因式分解的一般步骤:首先看有无公因式可提；然后再考虑是
否可用公式法分解，若是两项可考虑平方差公式，若是三项可考虑完全平方公式，每个因式都要分解
到不能再分解为止，即因式分解三步曲:一提（公因式），二套（公式），三看（是否分解彻底）。
【变式训练】
2.（1）（2018·宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息:a-b，x-y，x＋y，a＋b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、宜、游、美。现将（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A.我爱美 B.宜昌游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌
（2）（2018·吉林）若a＋b＝4，ab＝1，则a2b＋ab2=_____________。
中考真题回放
考点一 整式的乘除
1.（2017·青岛）计算6m2÷（-2m2）3的结果为（ ）
A.-m B.-1 C. D.
2.（2018·济南）下列运算正确的是（ ）
A.a2＋2a＝3a3 B.(-2a3)2＝4a5 C.(a＋2)(a-1)＝a2＋a-2 D.(a＋b)2＝a2＋b2
3.（2018·德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下面的三角形解释二项式(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。
(a＋b)0…… …… …… 1
(a＋b)1…… …… … 1 1
(a＋b)2…… …… 1 2 1
(a＋b)3…… …1 3 3 1
(a＋b)4……1 4 6 4 1
(a＋b)…1 5 10 10 5 1
根据“杨辉三角”一个计算(a＋b)8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A.84 B.56 C.35 D.28
4.（2018·临沂）已知m＋n＝mn，则(m-1)(n-1) = _____________。
5.（2018·济宁）化简:(y＋2)(y-2) - (y-1)(y＋5)。
6.（2018·淄博）先化简，再求值:
a(a＋2b) - (a＋1)2＋2a，其中a＝＋1，b＝ - 1。
7.（2017·菏泽）求值:已知4x＝3y，求代数式(x - 2y)2 - (x-y)(x＋y) - 2y2的值.
考点二 因式分解
8.（2017·滨州）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. A(m＋n)＝am＋an B.a2-b2-c2＝(a-b)(a＋b) - c2
C.10x2 - 5x＝5x(2x-1) D.x2-16x＋6x＝(x＋4)(x-4)＋6x
9.（2018·济宁）多项式4a-a3分解因式的结果是（ ）
A.a(4-a2) B.a(2-a)(2＋a) C.a(a-2)(a＋2) D.a(a-2)2
10.（2017·潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A.a2-1 B. a2+a C.a2＋a - 2 D.(a＋2)2 - 2(a＋2)＋1
11.（2018·潍坊）因式分解:(x＋2)x - x - 2＝_______________。
12.（2018·威海）分解因式:a2＋2a - 2＝____________________。
13.（2017·黔东南州）在实数范围内因式分解:x5-4x＝__________________。
14.（2018·东管）分解因式:x3-4xy2＝___________________。
15.（2017·威海）分解因式:(2a＋b)2 - (a＋2b)2 = ___________________。
16.（2018·菏泽）若a＋b＝2，ab＝-3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为_________________。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:原式＝x2 - y2＋xy＋2y2 - (x2-2xy＋y2) ＝3xy.
当x＝2＋，y＝2 -时，原式＝3（2＋3）（2-√3）＝3×1＝3
【变式训练】1.（1）D 解析:A.a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；
B.(-2a2)3×()2＝-8a6＝-32a4，故错误；C.3a-1＝3×，故错误；
D.（2a2-a）2÷3a2＝（12a4-12a3＋3a2）÷3a2＝4a2-4a＋1，故正确.
（2）解:原式＝4a2-4a＋1-2a2＋2-a2＋2a＝a2-2a＋3，当a＝＋1时，
原式＝3＋2-2-2＋3＝4.
（3）解:原式＝a2-2a＋3a-6-a2＋a＝2a-6
【典例2】
【自主解答】（1）2ab(a-b)2 解析:2a3b-4a2b2＋2ab3＝2ab(a2 -2ab＋b2)＝2ab(a-b)2.
（2）m(x-2)(m＋1)(m-1) 解析:m3(x-2)＋m(2-x)＝m3(x-2)-m(x-2)＝m(x-2)(m2-1)＝m(x-2)(m＋1)(m-1).
【变式训练】
2.（1）C 解析:(x2-y2)a2-(x2-y2)b2＝(x2- y2)(a2-b2)＝(a＋b)(a-b)(x＋y)(x-y).由于a-b，x-y，x＋y，a＋b分别对应昌、爱、我、宜，且四个因式顺序可以任意调整，所以结果呈现的密码信息可能是爱我宜昌。
（2）4
【中考真题回放】
1.D 2.C
3.B 解析:依规律，(a＋b)8的展开式共9项，各项的系数分别是1，8，28，56，70，56，28，8，1.
4.1
5.解:原式＝y2-4-(y2＋4y-5)＝y2-4-y2-4y＋5＝-4y＋1
6.解:a(a＋2b)-(a＋1)2＋2a＝a2＋2ab-a2-2a-1＋2a＝2ab-1。
当a＝＋1，b＝-1时，原式＝2(＋1)(-1)-1＝2-1＝1.
7.解:(x-2y)2-(x-y)(x＋y)-2y2
＝x2-4xy＋4y2-(x2-y2)-2y2
＝x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2
＝3y2-4xy.
∵4x＝3y，∴原式＝3y2-4xy＝3y2-3y2＝0。
8.C 9.B 10.C
11.(x＋2)(x-1)
12.-(a-2)2
13.x(x2＋2)(x＋)(x-)
14.x(x＋2y)(x-2y) 15.3(a＋b)(a-b)
16.-12 解析:a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝-3×22＝-12.