北师大版数学七年级下册1.5.1 平方差公式的认识教学设计
课题
1.5.1 平方差公式的认识
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习
目标
1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.
2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.
3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
重点
平方差公式的推导和应用
难点
灵活运用平方差公式解决实际问题
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师:同学们，想一想我们学过的整式乘法有哪几种？
师：想一想多项式与多项式是如何相乘的？
教师出示字母表示：
(a + b)( m+ n)=am+an+bm+bm
生：单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式
学生叙述多项式与多项式乘法法则。
设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备
讲授新课
师：根据所学知识计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)
(2) (1+3a) (1－3a )
(3) (x+5y) (x－5y)
(4)(2y+z) (2y－z)
教师出示正确答案。
(1) (x+2) (x－2)=x2-4
(2) (1+3a) (1－3a )=1-9a2
(3) (x+5y) (x－5y)=x2-25y2
(4)(2y+z) (2y－z) =4y2-z2
师：思考一下
观察算式结构，你发现了什么规律？
计算结果后，你又发现了什么规律？
师：总结
上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的和与它们的差的乘积，结果等于这两数的平方差。.
再举两例验证你的发现.
( a + b) ( a ? b)=a2-ab+ab-b2=a2?b2
师：通过上面的式子你发现了什么？
两数的和与这两数差的积,等于它们的平方差。
即(a+b)(a-b)=a2?b2.
师：观察(a+b)(a-b)=a2?b2，平方差公式的结构特征是什么？
师：很好。但又不完全准确。
教师出示正确答案。
师：利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) .
教师出示正确答案。
(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
师：再算一算另外两个题目。
教师出示正确答案。
(ab+8)(ab－8)
=(ab)2－64
=a2b2－64.
【思考】
(a+b)(a-b)=a2-b2 中的a或b能是多项式吗？
师：是的，公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式。
【计算】口答下列各题：
(1) (－a+b)(a+b)=_________.
(2) (a－b)(b+a)= __________.
(3) (－a－b)(－a+b)= ________.
(4) (a－b)(－a－b)= _________.
【思考】你是怎样做的？
运用平方差公式进行计算的“三步法”
（1）将算式变形为两数和与两数差的积的形式
（2）套用公式，将结果写成两数平方差的形式
（3）根据积的乘方计算.套用平方差公式时，结果为(完全相同项)2-(互为相反数的项)2
学生根据多项式乘多项式法则计算。
生：等号左边是二项式乘以二项式，右边是一个数的乘方减去另一个数的乘方。
学生举例子。
生在教师的引导下总结归纳。
生：左边是两个二项式相乘，右边是乘式中两项的平方差
生计算得出答案。
25－36x2
x2－4y2
m2－n2
生计算得出答案。
生：可以。
生：b2－a2
a2－b2
a2－b2
b2－a2
在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述.
学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律.
在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能.
例2是对例1内容的拓展与延伸，使学生从不同的角度来认识平方差公式，从符合平方差公式运算的不同形式的多项式相乘中，确定平方差公式中的a和b，巩固平方差公式，进一步体字母a、b可以是数，也可以是整式，加深对字母含义广泛性的理解.
课堂练习
1.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( D ).
A. -1+16a2 B. -1-8a2
C. 1-4a2 D. 1-16a2
2.下列各式能用平方差公式计算的是( B ).
A. (3a+b)(a-b) B. (-3a-b)(-3a+b)
C. (3a+b)(-3a-b) D. (-3a+b)(3a-b)
3.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( B )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
4.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).
(2)(x2-3y)(-x2-3y).
(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1)
=(-0.3m)2-0.12
=0.09m2-0.01.
(2)(x2-3y)(-x2-3y)
=(-3y+x2)(-3y-x2)
=(-3y)2-(x2)2
=9y2-x4.
5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
平方差公式的内容是什么？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示？
(a+b)(a－b)=a2－b2
注意：紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用。
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(3)符号语言：(a+b)(a-b)=a2-b2.
课件21张PPT。1.5.1 平方差公式的认识北师大版 七年级下新知导入【想一想】1.整式乘法有哪几种？2.多项式与多项式是如何相乘的？(a + b)( m+ n)=am+an+bm+bn单项式乘单项式；单项式乘多项式；多项式乘多项式新知讲解计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)
(2) (1+3a) (1－3a )
(3) (x+5y) (x－5y)
(4)(2y+z) (2y－z) =x2-2x+2x-4=x2-4=1-3a+3a-9a2=1-9a2=x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2新知讲解【思考】观察算式结构，你发现了什么规律？
计算结果后，你又发现了什么规律？计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)
(2) (1+3a) (1－3a )
(3) (x+5y) (x－5y)
(4) (2y+z) (2y－z) =x2-4=1-9a2=x2-25y2=4y2-z2新知讲解上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的______与
它们的_______的乘积，结果等于这两数的_________.【总结】和差平方差再举两例验证你的发现.（x＋1）（x－1）=x2－x+x-1=x2-12( a + b) ( a ? b)=a2-ab+ab-b2=a2?b2新知讲解【归纳】平方差公式：两数______与这两数______的积,等于它们的_________，
即(a+b)(a-b)=________.和差平方差a2-b2新知讲解 (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
(2)右边是乘式中两项的平方差，即用完全相同项的平方减去互为相反数的项的平方.【思考】观察(a+b)(a-b)=a2-b2，平方差公式的结构特征是什么？新知讲解【例】利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) .【解】(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .新知讲解【例】利用平方差公式计算：
(1) ；(2) (ab+8)(ab－8) .(2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a2b2－64.【解】新知讲解【思考】(a+b)(a-b)=a2-b2 中的a或b能是多项式吗？公式中的a、b具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母、一个单项式，还可以表示一个多项式。新知讲解【计算】口答下列各题：
(1) (－a+b)(a+b)=_________.
(2) (a－b)(b+a)= __________.
(3) (－a－b)(－a+b)= ________.
(4) (a－b)(－a－b)= _________.a2－b2a2－b2b2－a2b2－a2【思考】你是怎样做的？新知讲解【归纳提升】运用平方差公式进行计算的“三步法”变形套公式计算课堂练习1.(-4a-1)与(4a-1)的积等于( ).
A. -1+16a2 B. -1-8a2
C. 1-4a2 D. 1-16a22.下列各式能用平方差公式计算的是( ).
A. (3a+b)(a-b) B. (-3a-b)(-3a+b)
C. (3a+b)(-3a-b) D. (-3a+b)(3a-b)DB课堂练习3.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3B课堂练习4.计算：(1)(-0.3m+0.1)(-0.3m-0.1).
(2)(x2-3y)(-x2-3y).拓展提高5.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中x＝1，y＝2.解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.课堂总结平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(a+b)(a－b)=a2－b2紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用符号表示板书设计平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(3)符号语言：(a+b)(a-b)=a2-b2.作业布置课本 P21 练习题
P21 习题1.9谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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