北师大版数学七年级下册1.5.2平方差公式的应用教学设计
课题
1.5.2平方差公式的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习
目标
知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.
过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过探索规律，归纳出利用平方差公式，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力.
情感与态度： 了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.
重点
对上一节课平方差公式的进一步巩固，并拓展到有关数的简便运算当中去.
难点
通过拼图游戏，对平方差公式进行几何意义解释。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：想一想上节课学习的平方差公式，叙述一下它的内容。
师：用符号怎么表示。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2
在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备.
讲授新课
师：如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.请表示图中阴影部分的面积。
师：(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，如图所示，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
师：比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
师：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
7×9= 8×8=
11×13= 12×12=
79×81= 80×80=
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?
师：让我们一起验证一下。
（a+1）(a-1)
=a2-12
=a2-1
∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。
【例】用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
【解】(1)103×97 (2)118×122
=(100+3) (100－3) =(120－2) (100+2)
=1002－32 =1202－22
=9 991 ； =14 396 .
【例】计算：
a2(a+b)(a-b) +a2b2；
(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
=a2(a2-b2) +a2b2 = (2x)2-25-(4x2 -6x)
=a4-a2b2 +a2b2 = 4x2-25-4x2 +6x
=a4 ； = 6x-25
上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
生：
S阴影
= S大正方形 - S小正方形
=a2-b2
生：长：a+b
宽：a-b
S阴影= 长×宽
=（a+b）（a-b）
生：
∵S(2)=S(1)
∴（a+b）（a-b）=a2-b2
生：
生：一个数减1乘以这个数加1，等于这个数的平方减1.
（a+1）(a-1)
=a2-1
学生根据所学知识进行计算。
学生教师的引导下进行归纳。
学生根据所学知识进行计算。
学生教师的引导下进行归纳。
利用正方形面积转换成长方形面积，通过等积变形，得出平方差公式，使学生体会平方差公式的实际意义，理解数学知识与现实生活的密切联系，培养学生学数学，用数学的习惯．
通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.进而验证猜想的正确性.让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫．
运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.
课堂练习
1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( A )。
A. a2-b2=(a+b)(a-b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D. (a-b)2=a2-2ab+b2
下列运算正确的是( D ).
计算
704×696 ；
(2) (x+2y) (x－2y)+(x+1)(x－1)；
(1)704×696
＝(700＋4)(700－4)
＝7002－42
＝489 984.
(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)
＝x2－4y2＋x2－1
＝2x2－4y2－1.
4. 若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是多少？．
A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1
学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。
提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。
课堂小结
这节课你学到了什么？
1．什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？
2．平方差公式中字母可以是那些形式？
3．怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。
板书
平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
课件19张PPT。1.5.2平方差公式的应用北师大版 七年级下新知导入【想一想】平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.符号语言新知讲解(1)如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
请表示图中阴影部分的面积。S阴影= S大正方形 - S小正方形
=a2-b2新知讲解(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形，如图所示，这个长方形的
长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？长：a+b宽：a-bS阴影= 长×宽
=（a+b）（a-b）新知讲解(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？∵S(2)=S(1)∴（a+b）（a-b）=a2-b2新知讲解(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
7×9=
8×8=11×13=
12×12=79×81=
80×80=【想一想】(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？636414314463996400一个数减1乘以这个数加1，等于这个数的平方减1.新知讲解(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?（a+1）(a-1)=a2-1验证：（a+1）(a-1)
=a2-12
=a2-1 ∴（a+1）(a-1)=a2-1是正确的。新知讲解【例】用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
(2)118×122
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .【解】(1)103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；新知讲解平方差公式在用于简便运算的应用时，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数的差的积的形式，使之符合公式的特点，再用平方差公式可求解．【归纳提升】新知讲解【例】计算：
(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x)2-25-(4x2 -6x)
= 4x2-25-4x2 +6x
= 6x-25【解】(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2；
=a2(a2-b2) +a2b2
=a4-a2b2 +a2b2
=a4 ；课堂练习1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )。
A. a2-b2=(a+b)(a-b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D. (a-b)2=a2-2ab+b2A课堂练习2.下列运算正确的是( ).D课堂练习(1) 704×696 ； (2) (x+2y) (x－2y)+(x+1)(x－1)；3.计算(2)(x＋2y)(x－2y)＋(x＋1)(x－1)
＝x2－4y2＋x2－1
＝2x2－4y2－1.拓展提高4. 若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是多少？．课堂总结平方差公式内容特征两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(a+b)(a－b)=a2－b2左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反
数的项的平方．符号表示板书设计平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．作业布置课本 P22 习题1.10谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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