北京师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 word版

北京师大附中2018－2019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷

本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。
1. 在数列中，，且，则等于
A. 8 B. 6 C. 9 D. 7
2. 在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则
A. B.
C. D.
3. 在等比数列中，，且，则这个数列的公比为
A. 3 B. C. 9 D.
4. 在正方体中，向量和的夹角是
A. B. 60° C. 45° D. 135°
5. 某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最高，则m值为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6. 若数列是公比为q的递增等比数列，则
A. ,q>1 B.
C. D.
7. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则
A. 0 B. C. D.
8. 已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则
A. 直线AM与平面ABC平行
B. 直线AM是平面ABC的斜线
C. 直线AM是平面ABC的垂线
D. 直线AM在平面ABC内
9. 已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l//”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为

A. B.
C. D. 1

二、填空题，本大题共6小题，共30分。
11. 与共线且满足的向量b=__________。
12. 已知数列满足：，，，则数列的前2n项和_______________。
13. 如图，在正四面体V－ABC中，直线VA与BC所成角的大小为______________；二面角V－BC－A的余弦值为____________。

14. 设数列满足“，”，则的通项公式可以为_________。
15. 已知等比数列的前n项和为，则常数C=________
16. 有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_________元。


三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17. （本小题13分）
已知空间中三点A（2，0，－2），B（1，－1，－2），C（3，0，－4），设，
（I）若，且，求向量c；
（II）已知向量与b互相垂直，求k的值；
（III）求的面积。
18. （本小题13分）
如图，在直三棱柱中，，，点D是的中点。

（I）求证平面；
（II）求二面角的余弦值。
19. （本小题14分）
已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列。
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列满足：，求的前n项之和；
（III）设数列满足：，为的前n项和，求证：。
20. （本小题14分）
如图，在三棱锥中，底面ABC，，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1
（I）求证：；
（II）求PM与平面AHB所成的角的正弦值；
（III）设点N在线段PB上，且，MN//平面ABC，试写出实数的值（不必证明）。

21. （本小题13分）
应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知，录用的岗位相同，两家公司均提供税后年薪，且要求签约10年，A公司第一年的年薪为10万元，以后每年上涨20%；B公司第一年的年薪为20万元，以后每年上涨5%。
（I）如果只考虑收入水平，不考虑其他因素，你建议小李选择哪家公司？说明理由。
（II）十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公司，若能，请指出从第几年开始，若不能，说明理由。
（参考数据：），，
22. （本小题13分）
如果数列满足“对任意正整数i，j，，都存在正整数k，使得”
则称数列具有“性质P”，已知数列是无穷项的等差数列，公差为d
（I）试写出一个具有“性质P”的等差数列；
（II）若，公差d=3，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由。
（III）若数列具有“性质P”，求证：且


【试题答案】
一、选择题，本大题共10小题，共40分
1. D 2. A 3. B 4. B 5. C
6. B 7. D 8. D 9. B 10. A
二、填空题，本大题共6小题，共30分
11. （－2，1，－2） 12.
13. ； 14. (答案不唯一)
15. －3 16. 3000
三、解答题：共6个小题，共80分
17.
解：（I），


或（－2，－1，2）
（II）5
（III）3
18. （I）略 （II）
19. （I）
（II）；
（III）
20. （I）略
（II），（III）
21. （I）A公司
（II）第7年
22. （I）
（II）若，公差d=3，则数列不具有性质P
理由如下：
由题知，对于和，
假设存在正整数k，使得，
则有，解得，矛盾！
所以对任意的，
（III）若数列具有“性质P”，则
①假设，，则对任意的，
设，则，矛盾！
②假设，，则存在正整数t，使得

设，
，
，…
L，t+1
则，
但数列中仅有t项小于等于0，矛盾！
③假设，，则存在正整数t，
使得
设，
，
，…，
，，，
则，
但数列中仅有t项大于等于0，矛盾！
综上，，



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