北京101中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 word版

北京101中学2018－2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知向量a=（8，x，x），b=（x，1，2），其中。若a∥b，则x的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. （±l，0） B. （±，0） C. （±，0） D. （±4，0）
3. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 4
4. 已知圆O1：（）+（）2=1与圆O2：（）+（）2=r2（r>0）相内切，那么r等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
5. 直线与圆相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不允分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
6. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. （0，－1） B. （0，） C. （0，） D. （，0）
7. 已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
9. 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：
①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；
②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；
③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；
④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”。其中正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题共6小题。
11. 已知⊙M：，则⊙M的半径r=____________。
12. 如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，线段B'D'上有点H，满足D'H=1，则异面直线DH与CC'所成角的大小为___________。

13. 已知椭圆焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，则△F1PF2的周长为__________。
14. 若向量a=（1，，2），b=（－2，1，1），且a，b夹角的余弦值为，则=__________。
15. 若椭圆W：的离心率是，则m=___________。
16. 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（0
三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. （8分）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：y=与抛物线C交于A，B两点。
（1）求AB弦长；
（2）求△FAB的面积。
18. （10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面A1AB⊥平面A1BC，且AH⊥A1B交线段A1B于点H，AB=BC=2，CC1=3。点M是棱CC1的中点。

（1）证明：BC⊥平面A1AB；
（2）求直线MB与平面A1BC所成角的正弦值。
19. （12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB=1，AD=2，AC=CD=。

（1）证明：直线AB∥平面PCO；
（2）求二面角P－CD－A的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由。
20. （10分）在平面直角坐标系中，已知点M（，1）和点N（，）都在椭圆C：（a>b>0）上。

（1）求椭圆C的方程及其离心率e；
（2）已知O是坐标系原点，一条直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴正半轴交于点P，令。
试问：是否存在定点P，使得t为定值。若存在，求出点P的坐标和t的值；若不存在，请说明理由。




参考答案
1. A 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A 9. C 10. C 11. 2
12. 45°。
13. 4+2。
14. 1。
15. 或6。
16. －1。
17. （1）设A（，），B（，）。
联立得，，
，。
所以，
所以=。
（2）点F（1，0），点F到直线AB的距离，
所以。
18. （1）略；（2）。
19. （1）略。
（2）因为PA=PD，所以PO⊥AD。
又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。
因为CO平面ABCD，所以PO⊥CO。
因为AC=CD，所以CO⊥AD。如图建立空间直角坐标系O－。

由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）。
设平面PCD的法向量为n：（），则即'
令z=2，则，。所以n=（1，－2，2）。
又平面ABCD的法向量为=（0，0，1），所以。
所以二面角的余弦值为。
（3）若存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，
则存在∈[0，1]使得，
因此。
因为AN⊥平面PCD，由（2）得平面PCD的法向量为n=（1，－2，2）。
所以∥n，即。
解得=∈[0，1]，
所以存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时=。
20. （1），。
（2）设直线l：，
联立方程消去y，整理得。
。（*）
设直线l与椭圆C交于两点A，B，根据韦达定理得：
，。
根据条件可知P（0，m），
t=

。
所以当m2=1时，（*）式成立，t为定值－3，
当直线l与y轴重合时，验证成立。
所以直线l过定点（0，1），此时t=－3。






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