北师大版五年级下册《相遇问题》教学设计
课题
相遇问题
单元
第四单元
学科
数学
年级
五年级
学习
目标
1.掌握两个运动物体中，速度、时间、路程之间的数量关系，并能根据数量关系解答相向运动中求相遇时间的实际问题。
2.通过探究相遇问题的特点，培养学生观察、比较、归纳等思维能力。
3.在探索的过程中，进一步体验数学与生活的紧密联系。
重点
理解相遇问题的结构特点，能根据速度、时间、路程的数量关系解决求相遇时间的问题。
难点
理解相向运动中求相遇时间问题的解决方法。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习旧知
1.复习行程问题
师：我们每天都要走路上学，笑笑一分钟大约走100米，这里的100米表示什么？
师：笑笑从家到学校走7分钟，这里的7分钟又是什么呢？
师：你想知道什么？
师：这求的是什么？
师：要求路程怎样列式计算呢？说说你的想法。
师：关于速度、时间和路程三者之间还有什么关系？
反馈：路程÷时间=速度
路程÷速度=时间
明明有15本书，比琳琳的2倍多3本，琳琳有多少本？（用方程解）
师：列方程解应用题，关键是要找出题中的什么？再根据找出的什么列出方程。
二、揭示课题。
师：我们一起研究的是一个物体的运动，今天我们一起来研究两个物体的运动。
学生：速度。
学生：时间。
学生：笑笑7分钟能走多少米？
学生：求的是路程。
学生：因为速度×时间=路程，所以100×7=700（米）。
学生自由说一说。
学生独自列式求解。
学生：列方程解应用题，关键是要找出题中的等量关系，再根据找出的等量关系列出方程。
通过谈话引入速度、时间、路程三个量，然后通过计算复习 “速度、时间、路程”这三者之间的关系，为后面学习相遇问题做准备。
通过利用方程解决问题，让学生明确等量关系的重要性，为后面用方程解决问题提供思考的空间。
讲授新课
一、认识相遇
课件出示教材情境图
师：从图中了解到了什么数学信息？
反馈：（1）淘气家到笑笑家的路程是840米。
淘气的步行速度是70米/分，笑笑的步行速度是50米/分。
师：看看还知道了什么？
师：想想，他们俩会怎样？
师：像这样的运动有什么特点？现在我们请两个同学上台模拟演示一下好吗？
抽学生上台。
师：他们师怎么站的？
师：说的非常好，那么又该怎么走呢？
根据学生的回答，板书：同时。
师：现在我们请这两位同学演示，其他同学要注意观察：在他们的演示过程中，你们有什么发现？
师发令：开始→停。
师：像这种从两地同时出发，相对而行后两人相遇了，我们归之为相遇问题。这就是我们今天这节课要研究额内容“相遇问题”。
板书课题：相遇问题
2.估计下两个人在哪个地方相遇。
师：结合刚才的演示，根据信息估一估，两人在何处相遇？说一说你的想法。
3.找出等量关系，解决问题
师：看到这些信息，你们想知道什么呢？
师：这个问题问的真不错！要求求出相遇时间，想一想，我们可以用什么方法表示出两人的运动过程呢？
师：这是一个不错的方法，现在独自画一画，然后在小组内相互交流。
师：有哪位同学愿意说一说你是怎么画的吗？
反馈：用一条线段表示淘气家到笑笑家的路程，线段的两边各用一条短线段表示两人的步行速度，两端分别表示淘气家和笑笑家，用两条相反的箭头表示他们的运动状态。
师：说的真清楚！看看线段图，你能找到什么数量关系？
反馈：淘气走的路程＋笑笑走的路程=840米
师：那么你们准备用什么方法解决这个问题？
师：能说说你们的想法吗？
反馈：由于相遇时间不知道，所以没法直接求出淘气和笑笑走的路程，所用设出发后x小时相遇，那么淘气走了70x米，笑笑走了50x米。
师：真是一群善于动脑筋的好孩子！现在就在你的练习本上，利用方程算一算好吗？
师：在这个列方程时，需要提醒什么呢？
师：我们怎样可以判断求得的结果是正确的？
师：怎样检验呢？
师：拿出你的练习本，独自检验。
师：回顾一下，刚才我们是怎样列方程解决这个问题的？
反馈：在列方程解应用题的步骤：
（1）弄清题意，找出未知数，并用x表示。
（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；
（3）解方程；
（4）检验，写出答案
4.巩固应用
师：经过大家的一番努力，我们求出了相遇时间，那么如果淘气的步行速度为80米／分，笑笑的步行速度为60米／分，他们出发后多长时间相遇呢？先想一想，再列方程解决问题。
师：对照上一题的方程，你发现了什么？
5.回归生活
师：像这样的运动状态，在我们的生活中还有许多。现在你能列举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系列方程解决。
反馈：可以是两辆车同时出两地相对开出，然后相遇；
还可以是两个人同时做一件事；
……
学生自由说一说。
学生：两人同时从家出发。
学生：他们会相遇。
学生：两人分别站在讲台的两侧，并且面对面。
学生：两人同时从两边出发。
学生自由说一说。
学生：淘气的速度比笑笑的快一些，估计他们的相遇地点在邮局的附近。
学生：我想知道淘气和笑笑出发后多长时间相遇？
学生：可以用线段图表示出来。
学生独自画一画，然后交流。
学生展示线段图，并说一说。
学生独自找一找，然后集体交流。
学生：列方程。
学生自由说一说。
学生独自列式计算，然后展示交流。
学生：别忘了，路程=速度×时间。
学生：进行检验。
学生：把x=7代入原方程进行检验。
学生独自检验，然后集体交流。
学生自由说一说。
学生独自列出方程解答，然后集体交流。
学生：等量关系没有变；路程不变，速度和越快，所用时间越少。
学生自由说一说。
根据教材创设学生熟悉的生活情境，激发学生的学习兴趣，再通过学生的操作演示体会相遇问题的特点，有利于把感性认识向抽象思维过渡，深化了对相遇问题的理解。
学生已经掌握了相遇问题的特点，进而引入估计下两个人在哪个地方相遇，符合学生的认知规律。
借助线段图可以直观的将复杂的数学问题变得简明、形象的问题，有助于帮助学生分析题意，找到等量关系。
通过画图，学生能直观地看出“淘气走的路程+笑笑走的路程=总路程”这一数量关系，从而加深对题目数量关系的理解。
回顾列方程解应用题的一般步骤，帮助学生建构系统化知识体系，提高学生熟练运用所学知识解决问题的能力。
通过改变数据让学生计算，实际就是帮助学生建立数学模型，为后面解决类似于相遇问题的题目打好基础。
通过说说生活中的相遇问题，让学生体验到数学与生活的联系，提高学生学习的兴趣。
巩固练习
1.填一填。
（1）要制作一批竹制品，师徒两人同时制作，师父每小时做24件，徒弟每小时做18件，t小时后能完成这项任务。
师父做了（ ）个零件；
徒弟做了（ ）个零件；
一共有（ ）个零件。
（2）淘气和笑笑分别从自己家出发，向对方的家走去，笑笑每分钟走40米，淘气每分钟走70米，经过m分钟两人相遇。
笑笑m分钟走了（ ）米；淘气m分钟走了（ ）米；两人m分钟走了 （ ）米。
淘气和笑笑每分钟共走了 （ ）米；淘气和笑笑各走了 （ ）分钟；淘气和笑笑家相距（ ）米。
2.解方程。
7x+8x=90 18x－8x=200 5.2m+0.8m=8.4
3.北京到沈阳的铁路长868km，A、B两列火车从两地同时相向开出，北京开出的A火车平均每时行80km，沈阳开出的B火车平均每时行93. 6km。
（1）估计两车在何处相遇，请用△在图上标出。
（2）出发后几时两车相遇?相遇时离北京有多远？列方程解决问题。
4.拓展提高
甲乙两地相距410千米，两辆汽车同时从两地同时出发，相向而行，客车每小时行45千米，5小时相遇，货车每小时行多少千米？
5.布置作业
教材72页第2~5题。
学生独自完成，然后集体订正。
学生自由说说。
通过设计不同类型、不同层次的练习题，可以提高学生解决问题的灵活性与分析问题的能力。
课堂小结
通过本节课的学习，你们有什么收获？
相遇问题的特点：两个物体同时出发，相对而行，用的时间相同。
求相遇时间，可以用方程求解。
学生自由说一说。
通过说一说简要的回顾本课知识，帮助学生梳理本节课的知识点。
板书
相遇问题
特点：同时出发 相对而行 相遇
淘气走的路程＋笑笑走的路程＝840米
解：设经过x分钟两人相遇。
70x+50x=840
120x=840
x=7
答：出发后7小时相遇。
通过简洁、有效的板书，帮助学生形成知识体系。
《相遇问题》练习题
填一填。
1.两只蜗牛同时从两处相对方爬去，大蜗牛每分钟爬行3厘米，小蜗牛每分钟爬行2厘米，x分钟后两只蜗牛相遇。
相遇时，大蜗牛爬行（ ）厘米；
相遇时，小蜗牛爬行（ ）厘米；
两处相距（ ）厘米。
2.甲、乙两港相距690千米，两船同时从两地相对开出，一船每小时行24千米，一船每小时行22千米，（ ）小时后两船相遇。
3.师徒两人合作加工550个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，（ ）小时加工完？
4.写出相应的式子。
一本笔记本a元，一本作业本b元，各买了15本。
（1）用式子表示买15本笔记本的价钱。 （ ）
（2）用式子表示买15本作业本的价钱。 （ ）
（3）用式子表示一共用去的钱数。 （ ）
（4）当a=10，b=2时，一共用去（ ）元。
（5）当a=6，b=1时，买笔记本比买作业本多用（ ）元。
5.一条隧道，甲队每天修85米，乙队每天修110米，两队合作18天能修（ ）米。
二、解方程。
7x÷5=35 3x-1.6=32.6 16x-6x=210
9.3x-6.5x=4.2 25（x+5）=625 0.5×8+4x=28
三、解决问题。
1.
2.一条隧道全长1200米，甲乙两支施工队同时从隧道的两端往中间开挖，甲队每天挖35米，乙每天挖25米，多少天后隧道全部挖通？
3.甲乙两人同时从两地相向而行，甲每小时40千米，乙每小时50千米，2小时候两车相距40千米，求两地的距离？
4.甲乙两辆汽车同时从两地相向开出，3小时后两车相遇，两地相距174千米．甲车每小时行30千米，乙车每小时行多少千米？
5.甲乙两船同时从两地相向而行，甲每时行20km，乙船每时行28km，相遇时，乙船比甲船多行84km．它们经过多少小时相遇？
答案与解析
一、1.【解析】根据速度×时间=路程分别求出相遇时大蜗牛与小蜗牛行的路程，然后相加求解。
【答案】3x；2x；5x。
2.【解析】根据甲船行驶的路程+乙船行驶的路程=总路程列出方程求解。
【答案】15。
3.【解析】根据师傅加工的个数+徒弟加工的个数=总个数列出方程求解。
【答案】11。
4.【解析】根据单价×数量=总价列出式子，然后根据加减法的意义求解。
【答案】（1）15a；（2）15b；（3）15（a+b）；（4）180；（5）75。
5.【解析】队每天修85米，乙队每天修110米，则两队合作每天能修85+110米，根据乘法的意义，两队合作每天能修（85+110）×18米。
【答案】3510。
二、【解析】先依据等式的性质，方程两边同时乘5，再同时除以7求解；
依据等式的性质，方程两边同时加上1.6，再同时除以3求解；
先化简方程10x=210，再依据等式的性质，方程两边同时除以10求解；
先化简方程得2.8x=4.2，再依据等式的性质，方程两边同时除以2.8求解；
依据等式的性质，方程两边同时除以25，再同时减去5求解；
先化简方程得4+4x=28，再依据等式的性质，方程两边同时减去4，再同时除以4求解。
【答案】25；11.4；21；1.5；20；6。
三、1.【解析】根据甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程列出方程求解。
【答案】解：设x小时相遇。
50x+40x=270
x=3
2.【解析】根据甲队挖的长度+乙队挖的长度=总长列出方程求解。
【答案】解：设x天后隧道全部挖通。
35x+25x=1200
x=20
3.【解析】先根据路程=速度×时间，分别求出甲和乙2小时行驶的路程，再根据两地间距离=甲行驶路程+乙行驶路程+40千米解答。
【答案】40×2+50×2+40=220（千米）。
4.【解析】根据甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程列出方程求解。
【答案】解：设乙车每小时行x千米，则
30×3+3x=174
x=28
课件24张PPT。 相遇问题北师大版 五年级下新知导入笑笑一分钟大约走100米。 速度笑笑从家到学校走7分钟。 时间笑笑7分钟能走多少米？ 路程100×7=700（米）速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间新知导入明明有15本书，比琳琳的2倍多3本，琳琳有多少本？（用方程解）解：设琳琳有x本。2x+3=15２x＝12x＝6答：琳琳有6本。列方程解应用题，关键是要找出题中的等量关系，再根据找出的等量关系列出方程。新知讲解步行速度是50米/分。 步行速度是70米/分。 淘气家到笑笑家的路程是840米，两人同时从家里出发。淘气家邮局笑笑家新知讲解像这样的运动有什么特点？相对而行同时出发相遇两人所用的时间相同这就是相遇问题。新知讲解步行速度是50米/分。 步行速度是70米/分。 淘气家邮局笑笑家淘气的速度比笑笑的快一些，估计他们的相遇地点在邮局的附近。新知讲解步行速度是50米/分。 步行速度是70米/分。 淘气家邮局笑笑家 淘气和笑笑出发后多长时间相遇？淘气家到笑笑家的路程是840米，两人同时从家里出发。淘气家笑笑家840千米新知讲解淘气家笑笑家淘气走的路程笑笑走的路程淘气走的路程 ＋ 笑笑走的路程 ＝840米淘气走的速度×时间笑笑走的速度×时间840米??淘气走的时间＝笑笑走的时间70米/分80米/分新知讲解解：设经过x分钟两人相遇，那么淘气走了70x米，笑笑走了50x米。70x + 50x ＝ 840120x ＝ 840x ＝ 7答：出发后7分钟相遇。淘气家笑笑家淘气走的路程笑笑走的路程别忘了，路程=速度×时间。新知讲解我们怎样可以判断求得的结果是正确的？解：设经过x分钟两人相遇，那么淘气走了70x米，笑笑走了50x米。70x + 50x ＝ 840120x ＝ 840x ＝ 7答：出发后7分钟相遇。检验：将x=7代入原方程。 左边=70×7+50×7=840右边=840左边=右边所以x=7是原方程的解。新知讲解列方程解应用题的步骤：
（1）弄清题意，找出未知数，并用x表示。
（2）找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；
（3）解方程；
（4）检验，写出答案。新知讲解如果淘气步行的速度是80米/分，笑笑步行的速度是60米/分，他们出发后多长时间相遇？ 解：设出发后x分钟相遇，那么淘气走了80x米，笑笑走了60x米。 答：出发后6分钟相遇。 80x+60x=840 140x=840 x=6等量关系没有变。路程不变，速度和越快，所用时间越少。新知讲解请举出生活中的其他情境，也可以用类似的等量关系列方程解决。可以是两辆车同时出两地相对开出，然后相遇。还可以是两个人同时做一件事。课堂练习填一填。
（1）要制作一批竹制品，师徒两人同时制作，师父每小时做24件，徒弟每小时做18件，t小时后能完成这项任务。
师父做了（ ）个零件；
徒弟做了（ ）个零件；
一共有（ ）个零件。 24t 18t 42t课堂练习填一填。
淘气和笑笑分别从自己家出发，向对方的家走去，笑笑每分钟走40米，淘气每分钟走70米，经过m分钟两人相遇。
笑笑m分钟走了（ ）米；淘气m分钟走了（ ）米；两人m分钟走了 （ ）米。
淘气和笑笑每分钟共走了 （ ）米；淘气和笑笑各走了 （ ）分钟；淘气和笑笑家相距（ ）米。 40m 110m 70m 110 m 110m课堂练习解方程。7x+8x=90 18x－8x=200 5.2m+0.8m=8.4 解：15x=90 x=6解：10x=200 x=20解：6m=8.4 m=1.4课堂练习北京到沈阳的铁路长868km，A、B两列火车从两地同时相向开出，北京开出的A火车平均每时行80km，沈阳开出的B火车平均每时行93. 6km。
（1）估计两车在何处相遇，请用△在图上标出。北京天津锦州沈阳课堂练习北京到沈阳的铁路长868km，A、B两列火车从两地同时相向开出，北京开出的A火车平均每时行80km，沈阳开出的B火车平均每时行93. 6km。
（2）出发后几时两车相遇?相遇时离北京有多远？列方程解决问题。 解：设出发后x时两车相遇。 答：出发后5时两车相遇。 80x+93.6x=868 173.6x=868 x=5拓展提高 甲乙两地相距410千米，两辆汽车同时从两地同时出发，相向而行，客车每小时行45千米，5小时相遇，货车每小时行多少千米？ 解：货车每小时行x千米。 答：货车每小时行37千米。 45×5+5x=410 225+5x=410 5x=185 x=37课堂总结我的收获是：
相遇问题的特点：两个物体同时出发，相对而行，用的时间相同。
求相遇时间，可以用方程求解。板书设计 相遇问题 特点：同时出发 相对而行 相遇淘气家840千米淘气走的路程＋笑笑走的路程＝840米笑笑家解：设经过x分钟两人相遇。70x + 50x ＝ 840120x ＝ 840x ＝ 7答：出发后7分钟相遇。作业布置 完成数学书第72页第2~5题。
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