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5.1.2垂线
学习目标：
1.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”。要注意区别“垂线段”与“垂线段的长度”
2.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。
3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
学习重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法、“垂线段”与“垂线段的长度”
学习难点：垂线的性质及应用
学习过程：
一、新知引入
同学们知道我国跳水运动员－－－田亮吗？我们一起来了解一下他的跳水成绩想想这其中蕴含什么数学知识？带着你的兴趣一起来探索这个课题吧——垂线
二、新知讲解
教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:
固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?
※①垂直定义
师生共同给出垂直定义.
●垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_______时，这两条直线互相_____，其中一条直线叫另一条直线的_____，它们的交点叫______。
例如、上图中，a、b互相_____,____-叫垂足.a叫b的______，b也叫a的_____。
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是_____。
※②垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
记作： MN_____EF , 垂足为__.或者MN__EF于o 记作： AB__OE垂足为O.或者AB__OE于O
※③垂直的书写形式：
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或其它三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.这个推理过程可以写成：
∵∠AOC=90°（已知），∴______（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:
∵AB⊥CD（已知），∴______（垂直的定义）．
应用举例：
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?
巩固练习：
1、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
3、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB,∠1=125°,求∠COE的度数.
※④垂线的画法
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.
(这样的垂线有_____条)
（2）已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线
(这样的垂线有_____条)
结论:经过直线上一点有且只有______直线与已知直线垂直.
(3)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?
(这样的垂线有_____条)
●归纳：垂线性质:平面内，过一点________直线与已知直线垂直.
（结论成立的前提条件：____ 存在性：_____ 唯一性：_____）
巩固练习：巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
注意：画线段(射线)的垂线时，有时要将线段______(或将射线______延长)后再画垂线
巩固练习：
1、过点P向线段 AB所在直线引垂线，正确的是（ ）
如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线
.
3、如图，过P分别作OA、 OB的垂线
4、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是_______
※⑤垂线的性质及点到直线的距离
在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使渠道最短，为什么？（小组合作交流，看看谁画的最短，比较一下还有没有更短的！）你发现了什么？
师生共同归纳结论：
●垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，____最短。简单说成：______。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的________的____，叫做点到直线的___。
例如：如图，PD⊥AB于点D ，垂线段_____的长度叫做点P到直线l的距离.
巩固练习：
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便
（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
2、如图OD⊥BC,D是垂足,连结OB,下列说法中:
①线段OB是O,B两点的距离②线段OB的长度是O,B两点的距离
③线段OD是O点到直线BC的距离④线段OD的长度是O点到直线BC的距离
其中正确的个数有( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
3、如图,画出点C到AB,AD的垂线段
3题 4题 5题
4、如图已知AC⊥BC,CD⊥AB,则图中________的长度表示A点到BC的距离;_____________的长度表示B点到AC的距离;_____________的长度表示C点到AB的距离.
5、如图A,B,C三点在直线a上,M点在直线a外,AM⊥CM,MB⊥AC,在①MA＞MB②MB＞MC③MC＞BC
④AC＞AM这四个结论中,正确的个数是( )个
A.1 B.2 C.3 D.4
三、课堂小结
本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?
布置作业
教材第5页练习1、2题
当堂测评
1. 在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两直线相交，则一定垂直
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
3. 如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
4. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A．两直线间的距离 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
5. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6. 如图，当∠1和∠2满足________________(只需填一个条件)时，OA⊥OB.
7. 已知，AD⊥BD，AE⊥BE且AD＝3，BE＝4，CD＝2，BC＝5，则点B到AC的距离为__ __，点A到BC的距离为__ __，点B到AD的距离为__ __.
8. 如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
9. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线．
(1)∠DOE的补角是__________________；
(2)若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数；
(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由．
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5.1.2垂线
教学目标：
1.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”。要注意区别“垂线段”与“垂线段的长度”
2.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。
3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
教学重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法、“垂线段”与“垂线段的长度”
教学难点：垂线的性质及应用
教学过程：
一、新知引入
同学们知道我国跳水运动员－－－田亮吗？我们一起来了解一下他的跳水成绩（教师展示ppt）你想知道他是怎么跳水的吗？（观看ppt）
想想这其中蕴含什么数学知识？带着你的兴趣一起来探索这个课题吧——垂线
二、新知讲解
教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?
教师在组织学生交流中,让学生明白:当b的位置变化时,∠α从锐角变为钝角,其中∠ɑ是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠ɑ是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.当α =90°时,a与b垂直.当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交：斜交、垂直（本节课研究的重要内容）
※①垂直定义
师生共同给出垂直定义.
●垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
例如、上图中，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。
注意：分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
※②垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
记作： MN⊥EF , 垂足为O.或者MN⊥EF于o 记作： AB⊥OE垂足为O.或者AB⊥OE于O
※③垂直的书写形式：
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或其它三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.这个推理过程可以写成：
∵∠AOC=90°（已知），∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:
∵AB⊥CD（已知），∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
应用举例：
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗?（让学生充分发挥想象，各抒己见，最后教师点评，展示PPT中的两个例子）
巩固练习：
1、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个 A
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解：∠ABC=90°,∠1=600 ∴∠ABO=30°
∵BO ⊥AC于O点∴∠BOC=90°
又∵∠2=∠1∴∠2=60°∴∠BOD=30°
3、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB,∠1=125°,求∠COE的度数.
解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOE=90°（垂直的定义）
∵ ∠BOC=∠1=125°（对顶角相等）∴∠COE=∠BOC－∠BOE=125°－90°=35°答：∠COE=35°.
※④垂线的画法
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.
（2）已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线
教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(3)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?
教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
●归纳：垂线性质:平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（结论成立的前提条件：平面内 存在性：有 唯一性：只有）
巩固练习：巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
学生画完图后,教师归结:
注意：画线段(射线)的垂线时，有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线
巩固练习：
1、过点P向线段 AB所在直线引垂线，正确的是（ ） C
如图，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线
. （教师可让学生自我展示，最后在PPT动态演示）
3、如图，过P分别作OA、 OB的垂线
（教师可让学生自我展示，最后在PPT动态演示）
4、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是_______ （答案：垂直）
※⑤垂线的性质及点到直线的距离
在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使渠道最短，为什么？（小组合作交流，看看谁画的最短，比较一下还有没有更短的！）展示同学们的结果你发现了什么？
师生共同归纳结论：
●垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
特别强调:垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。
例如：如图，PD⊥AB于点D ，垂线段PD的长度叫做点P到直线l的距离.
巩固练习：
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便
（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
（解：将张庄看成一个点、铁路看成一条直线，利用垂线段最短，向直线画垂线，垂足即为火车站）
2、如图OD⊥BC,D是垂足,连结OB,下列说法中:
①线段OB是O,B两点的距离②线段OB的长度是O,B两点的距离
③线段OD是O点到直线BC的距离④线段OD的长度是O点到直线BC的距离
其中正确的个数有( )个B
A.1 B.2 C.3 D.4
3、如图,画出点C到AB,AD的垂线段
3题 4题 5题
4、如图已知AC⊥BC,CD⊥AB,则图中________的长度表示A点到BC的距离;_____________的长度表示B点到AC的距离;_____________的长度表示C点到AB的距离.
（答案：线段AC 线段BC 线段CD）
5、如图A,B,C三点在直线a上,M点在直线a外,AM⊥CM,MB⊥AC,在①MA＞MB②MB＞MC③MC＞BC
④AC＞AM这四个结论中,正确的个数是( )个C
A.1 B.2 C.3 D.4
三、课堂小结
本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?
布置作业
教材第5页练习1、2题
当堂测评
1. 在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两直线相交，则一定垂直
2．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺放法正确的是( )
3. 如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
4. 体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )
A．两直线间的距离 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
5. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6. 如图，当∠1和∠2满足________________(只需填一个条件)时，OA⊥OB.
7. 已知，AD⊥BD，AE⊥BE且AD＝3，BE＝4，CD＝2，BC＝5，则点B到AC的距离为__ __，点A到BC的距离为__ __，点B到AD的距离为__ __.
8. 如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
9. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线．
(1)∠DOE的补角是__________________；
(2)若∠BOD＝62°，求∠AOE和∠DOF的度数；
(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系？并说明理由．
当堂测评答案：
--5：CCACD 6.∠1＋∠2＝90°
4 3 7
8.解：(1)设∠AOC＝x°，则∠BOC＝3x°
∴x°＋3x°＝180°，则x＝45°.
又OC平分∠AOD，∴∠COD＝∠AOC＝45°
(2)OD⊥AB，理由：
由(1)知∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝45°＋45°＝90°，∴OD⊥AB
9.(1) ∠AOE或∠COE
解：(1)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝∠BOE，又∵∠BOE＋∠AOE＝180°，∠DOE＋∠COE＝180°，∴∠DOE的补角是∠AOE或∠COE
∵OE是∠BOD的平分线，∠BOD＝62°，
∴∠BOE＝∠BOD＝31°
∴∠AOE＝180°－31°＝149°
∵∠BOD＝62°，∴∠AOD＝180°－62°＝118°，
∵OF是∠AOD的平分线，∴∠DOF＝×118°＝59°
OE与OF的位置关系是OE⊥OF.理由如下：
∵OE，OF分别是∠BOD，∠AOD的平分线，∴∠DOE＝∠BOD，∠DOF＝∠AOD，∵∠BOD＋∠AOD＝180°
∴∠EOF＝∠DOE＋∠DOF＝(∠BOD＋∠AOD)＝90°，∴OE⊥OF
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