【备考2019中考数学学案】第一单元 数与式 第5课时 数的开方及二次根式

第一单元 数与式
第5课时 数的开方及二次根式
考点知识清单
考点一 数的开方
1.算术平方根：非负数x满足x2=a(a≥0)，则x叫做a的算术平方根，记作①____________。
2.平方根：若x2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，记作②_____________。
3.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根（或三次方根），记作③_____________。
【温馨提示】
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根与算术平方根都是0本身，负数没有平方根。
2.一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
考点二 二次根式的有关概念
1.二次根式：式子（④__________）叫做二次根式。
【温馨提示】（a≥0）其实就是a的算术平方根。
2.最简二次根式：同时满足以下两个条件：被开方数都不含⑤___________，也不能含能开得尽方的因数或因式。
【温馨提示】分母中含有根式的不是最简二次根式。如的最简形式应为。
考点三 二次根式的性质
三个重要性质
（a≥0）是⑥_______________；
⑦______________（a≥0）;
⑧________________。
积的算术平方根
商的算术平方根
【温馨提示】与的被开方数的取值范围是不相同的，前者a≥0，后者a为任意实数。
考点四 二次根式的运算
加减
先将各根式化为⑨______________，然后合并同类项。
乘法
=⑩_____________（a≥0,b≥0）.
除法
=?____________（a>0,b≥0）

【温馨提示】二次根式运算的结果必须是最简二次根式，若含有分母，则分母中不能含有根号。

题型归类探究
类型一 数的开方与估算（易错点）
【典例1】（1）（2018·安顺）的算术平方根是（ ）
A. B. C.±2 D.2
（2）（2018·昆明）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面。请你估算的值（ ）
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间 C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
【思路导引】（1）先计算的值，再求其算术平方根；（2）由于2.22=4.84，2.32=5.29，所以介于2.2与2.3之间，进而可求的近似值。
【自主解答】
【方法技巧】（1）无理数的估算常采用夹逼法，即把被开方数放置于两个连续的完全平方数之间，也就把该无理数夹逼在两个相邻的数之间，据此得其近似值。（2）注意“9的平方根”与“的平方根”的不同，前者是一步运算，结果有两个数值±。
【变式训练】
1.（1）（2018·常州）已知a为整数，且＜a＜，则a等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
（2）（2018·广东）一个正数的平方根分别是x+1和x-5，则x=____________。
（3）（2018·常德）-8的立方根是_____________。
类型二 二次根式的性质（重难点）
【典例2】（2017·自贡）若＋＝0，则ab的值等于（ ）
－2 B. 0 C. 1 D. 2
【思路导引】＝，由非负数的特征，可知a-1=0，b-2=0，进而可得a与b的值。
【自主解答】
【方法技巧】若几个非负数的和为0，则这几个数均为0。常见的非负数形式为。
【变式训练】
2.（1）（2018·桂林）若，则x，y的值为（ ）
A. B. C. D.
（2）（2018·无锡）下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
类型三 二次根式的运算（高频点）
【典例3】（2018·聊城）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【思路导引】利用二次根式的加减乘除运算法则及其混合运算顺序，逐一进行识别。
【自主解答】
【变式训练】
3.（2018·山西）计算：_______________。
中考真题回放
考点一 数的开方与估算
1.（2018·济南）4的算术平方根是（ ）
A. 2 B. -2 C. ±2 D.
2.（2018·济宁）的值是（ ）
A. 1 B. -1 C.3 D. -3
3.（2018·徐州）4的平方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. -2 D. 16
4.（2018·莱芜）无理数在（ ）
A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
5.（2018·海南）比较实数的大小：3______（填“>”、“<”或“=”）。
6.（2018·黄冈）化简______________。
7.（2018·苏州）计算：。
考点二 二次根式的性质
8.（2018·兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
9.（2018·日照）若式子有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A. m>-2 B. m>-2且m≠1 C. m≥-2 D. m≥-2且m≠1
10.（2017·济宁）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
11.（2017·枣庄）实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
a 0 b
-2a+b B. 2a-b C. -b D. b
（2017·东营）若与互为相反数，则x+y的值为（ ）
3 B. 4 C. 6 D. 9
13.（2018·烟台）与最简二次根式是同类二次根式，则a=___________。
考点三 二次根式的运算
14.（2017·滨州）下列计算：（1），（2），（3），
（4），其中结果正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
15.（2017·聊城）计算的结果为（ ）
A. 5 B. -5 C. 7 D. -7
16.（2018·台州）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
17.（2018·台湾）算式之值为何？（ ）
A. B. C. D.1
18.（2018·哈尔滨）计算的结果是_______________。
19.（2018·潍坊）用教材中的计算器进行计算，开机后依次按下 ，把显示结果输入如图的程序中，则输出的结果是__________。
20.（2017·大连）计算：。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】（1）B 解析：=2，2的算术平方根；
（2）B 解析：∵2.22=4.84，2.32=5.29，∴2.2<<2.3，∴1.2<-1<1.3。
【变式训练】1.（1）B ；（2）2 ；（3）-2
【典例2】
【自主解答】D 解析：由，得。又，，∴a-1=0，b-2=0，a=1，b=2。∴ab=2。
【变式训练】2.（1）D；（2）A
【典例3】
【自主解答】B 解析：选项A中两个二次根式不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误。
【变式训练】3. 17 解析：原式=。
【中考真题回放】
A 2. B 3. A 4. B 5.> 6. -1
7.解：原式=。
8. B 9. D 10. C 11. A 12. A 13. 2 14. D 15. A 16. D 17. A 18.
19. 7 解析：32=9，输入9后，得9÷3 -=3 ->1，再按程序要求计算
(3+)(3 -)=32 - ()2=7.
20.解：原式=。