江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

泰州市2019届高三上学期期末考试
数学试题 2019.1

一?填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．
1、函数的最小正周期为　　　　
答案：
考点：正弦函数的图象及其性质。
解析：T＝
2、已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝　　　
答案：±4
考点：集合的运算。
解析：A∩B，所以，＝16，＝±4
3、复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝　　　
答案：5
考点：复数的运算，复数的模。
解析：，｜z｜＝5
4、函数的定义域是　　　
答案：［－1,1］
考点：函数的定义域，二次根式的意义，一元二次不等式。
解析：，即，解得：，所以，定义域为［－1,1］。
5、从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为　　　
答案：
考点：古典概型。
解析：从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，所以可能为：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45，共10种，两个数和为6的有：15、24，共2种，
所以，所求概率为：P＝。
6、一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是　　　

答案：8
考点：算法初步。
解析：第1步：T＝2，i＝2；第2步：T＝8，i＝3，退出循环，此时T＝8。
7、已知数列｛｝满足＝1，则＝　　　
答案：4
考点：对数运算，等比数列的概念及其通项公式的运算。
解析：＝＝1，所以，，
即数列｛｝是以2为公比的等比数列，
＝＝4
8、若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝　　　
答案：
考点：抛物线与双曲线的性质。
解析：双曲线中：c＝，所以，双曲线的准线为：x＝，
抛物线的开口向右，准线为：，
所以，，解得：p＝
9、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C的体积为V2，则的值是　　　

答案：
考点：棱锥和棱柱体积的求法。
解析：设△ABC的面积为S，三棱柱的高为h，
则V1＝VA1－ABC－VM－ABC＝，
V2＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝，
所以，＝
10、已知函数，若，则实数的取值范围为　　　
答案：
考点：函数的奇偶性、增减性。
解析：函数为偶函数，
因为，
所以，当x∈（0，＋∞）时，函数为增函数，当x∈（－∞，0）时，函数为减函数，
由，得，即，解得：
11、在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆
C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝　　　
答案：2
考点：圆的标准方程，两点之间距离公式，二次函数，数形结合的数学思想。
解析：如下图，因为PQ为切线，所以，PQ⊥C2Q，由勾股定理，得：
｜PQ｜＝，要使｜PQ｜最小，则须PC2最小，
显然当点P为C1C2与C1的交点时，PC2最小，
此时，｜PC2｜＝｜C1C2｜－1，所以，当｜C1C2｜最小时，｜PC2｜就最小，
｜C1C2｜＝
当k＝2时，｜C1C2｜最小，得到｜PQ｜最小。

12、已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，
，则＝　　　
答案：－
考点：平面向量的三角形法则。
解析：如下图，因为，
所以，，即，
即，
所以，，
即，所以，，，＝－

13、已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是
　　　
答案：［－1,0）
考点：分段函数的图象，函数的导数及其应用。
解析：（1）当≥0时，
如果，，相当于函数，在x<0处有交点，由图象可知，显然不符。
如果，，相当于函数，在x<0处有交点，由图象可知，显然不符。
（2）当＜0时，
如果，，相当于函数，在x<0处有交点，如下图，两图象相切时，＝3，x＝－1，切点为（－1，－1）代入，得＝－1，
所以，当－1≤＜0时，在x＜0且处有交点，即存在＜0，使得＝0。

如果且＜－1时，，相当于函数，在x<0，即处有交点，因＜0，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，
所以，在处，两图象无交点。

综上，可知：－1≤＜0
14、在△ABC中，已知，其中，
若为定值，则实数＝　　　
答案：
考点：三角函数，三角恒等变换，等式恒成立问题，综合运算能力。
解析：由，得：，，
由，得：，
即：
＝＝
＝＝
＝＝k（k为定值），
即，
即恒成立
所以，k＝4，，
三、解答题（90分）
15、（本题满分　14分）
已知向量，，其中。
（1）若，求x的值；
（2）若tanx＝－2，求｜｜的值。



16、（本题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
求证：（1）直线PB∥平面OEF；
（2）平面OEF⊥平面ABCD。



17、如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。






18、如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。



19、设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”。
（1）若函数不存在“优点”，求实数的值；
（2）求函数的“优点”的横坐标的取值范围；
（3）求证：函数的“优点”一定落在第一象限。



20、已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有
。
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列。



参考答案
1、　　　　　2、±4　　　　3、5　　　　　4、［－1,1］　　　　　5、
6、8　　　　　7、4　　　　　8、　　　　9、　　　　　　　　10、
11、2　　　　　12、－　　　13、［－1,0）　　14、
15、解：（1）因为，所以，sinxcosx＝，即，
因为，所以，；
（2）因为tanx＝＝－2，所以，sinx＝－2cosx，
，
＝＝
16、（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO
而PB平面OEF，FO平面OEF，
∴　PB∥平面OEF。
（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，
∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，
∴　PA∥OE，
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，
∴　PA⊥平面ABCD，
∴　OE⊥平面ABCD
又OE平面OEF，
∴　平面OEF⊥平面ABCD
17、（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝，∠OAP＝，
由正弦定理，得：，又OA＝2，
所以，PA＝，OP＝，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，
∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，
所以，；
（2）令，
，得：，
在上递减，在上递增
所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，即是最小值：＝2，
答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。
18、（1）依题意，有：，即，
又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，
b＝＝，
所以，椭圆C的方程为：，

19、（1）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为，
不妨设x∈（0,1），则＞1，＝，，
当时，＝，即两条切线平行，
所以，时，不存在“优点”。


20、（1）令n＝2，得：，即：，
化简，得：，因为，，，
所以，，解得：r＝1