江苏省扬州市2019届高三上学期期末检测数学试题（解析版）

扬州市2019届高三上学期期末检测试题
数　学2019．01
第一部分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0}，N＝，则MN＝ ．
答案：
考点：集合的运算，指数运算。
解析：N＝＝，所以，MN＝
2．若i是虚数单位，且复数z满足，则＝ ．
答案：
考点：复数的运算，复数的模。
解析：，所以，＝
3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．
答案：
考点：圆锥的几何结构，体积计算。
解析：圆锥的高为h＝，
圆锥的体积V＝＝
4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．
答案：10
考点：分层抽样方法。
解析：设高一抽取x人，则，解得：x＝10

5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y为3，则输入值x为 ．

答案：－2
考点：算法初步。
解析：y＝sinx不可能等于3，所以，y＝x2－1＝3，又x＜0，所以，x＝－2。
6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a，乙抽出卡片的数字记为b，则a与b的积为奇数的概率为 ．
答案：
考点：古典概型。
解析：设甲乙抽出的卡片为（a，b），则所有可能为：
（1，0），（1，1），（1，3），（2，0），（2，1），（2，3），（3，0），（3，1），（3，3），共9种，
积为奇数的有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，
所以，所示概率为：
7．若直线l1：与l2：平行，则两平行直线l1，l2间的距离为 ．
答案：
考点：直线平行的性质，两平行线之间的距离。
解析：因为两直线平行，所以，，解得：m＝2
在直线上取一点（0,2），到直线l2：的距离为：
d=＝

8．已知等比数列的前n项和为，若，，则＝ ．
答案：1
考点：等比数列的前n项和，通项公式。
解析：，解得：q＝2，＝1
9．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
答案：
考点：双曲线的性质。
解析：的渐近线为：，
所以，，离心率为：e＝
10．已知直线l：与圆C：相交于P，Q两点，则＝ ．
答案：0
考点：圆的标准方程，平面向量。
解析：C（2,1），
，解得：或，
即P（2,2），Q（3,1）
＝（0,1）（1,0）＝0


11．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数m的取值范围为
．
答案：
考点：函数恒成立问题，基本不等式。
解析：恒成立，，
由，得，因为x，y是正实数，所以，y＞0，x＞4，
＝，
所以，
12．设a，b是非零实数，且满足，则＝ ．
答案：
考点：三角恒等变换。
解析：＝，
，所以，＝
13．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为 ．
答案：或
考点：函数的零点，数形结合法，等差数列。
解析：由＝0，得：，
原函数有三个零点，即两函数：，有且仅有三个零点，设三个零点为，且，
（1）如下图所示，

，解得：，
又三个零点构成等差数列，则，得，
，解得：；；
(2)如下图所示，

，解得：，由，得，
，消去y，得：，
由韦达定理，得：，且，
，即，化为：，
，，所以，
综上，可得：a的值为或。
14．若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为
．
答案：
考点：函数的导数及其应用，一元二次不等式，对数运算，计算能力。
解析：由，得，解得：，即，
由，得，即，
令，得，则＝0，得：t＝，
当t∈时，递减，当t∈时，递增，
当t＝时，有唯一的极小值，即最小值：
，所以，的最小值为

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知函数，．
（1）求函数的单调增区间；
（2）求方程在(0，]内的所有解．









16．（本题满分14分）
如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）BB1⊥AC．



17．（本题满分14分）
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．
（1）当cos＝时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．


18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4．P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C．
（1）若点C的横坐标为﹣1，求P点的坐标；
（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围．


19．（本题满分16分）
已知函数，．（e是自然对数的底数，e≈2.718…）
（1）求函数的极值；
（2）若函数在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；
（3）若函数在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且的极大值小于整数b，求b的最小值．










20．（本题满分16分）
记无穷数列的前n项中最大值为，最小值为，令，数列的前n项和为，数列的前n项和为．
（1）若数列是首项为2，公比为2的等比数列，求；
（2）若数列是等差数列，试问数列是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
（3）若，求．











第一部分（附加题）
21．（本题满分10分）
已知矩阵A＝ ，满足A＝，求矩阵A的特征值．


22．（本题满分10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长．


23．（本题满分10分）
将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD．
（1）若AE＝，求直线DE与直线BC所成角；
（2）若二面角A—BE—D的大小为，求AE的长度．

24．（本题满分10分）
已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知定点M(，0)，N(，0)，点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．


扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 参 考 答 案
2019．1
第 一 部 分
1． 2． 3． 4．10 5． 6． 7． 8．1 9．
10．0 11． 12． 13．或 14．
15．解： …………4分
（1）由，解得：
∴函数的单调增区间为 …………8分
（2）由得，解得：，即
∵ ∴或． …………14分
16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形
∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点
∴ ………………4分
∵平面，平面∴平面 ………………8分
（2）∵四边形为矩形 ∴
∵平面平面，平面，平面平面
∴平面 ………………12分
∵平面 ∴ ………………14分

17．解：（1）在中，由，
得，又，∴． ………………2分
∵ ∴
由得：，解得：，
∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴且
∴ ………………5分
在中，，
解得： ………………7分
（2）由（1）得：，

，此时，且…………10分
当时，四边形的面积最大，即，此时
∴，即 …………13分
答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．
…………14分
18．解：由题意得，解得，∴
∴椭圆M的方程是且 …………3分
（1）方法一：设，，∵ ∴直线AC的方程为，
同理：直线BC的方程为．
联立方程，解得，又∵，
∴点C的坐标为， …………6分
∵点的横坐标为 ∴，又∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴
∴点的坐标为． …………8分
（2）设 ∵ ∴，解得：
∵点在椭圆上 ∴ 又
整理得：，解得：或 …………14分
∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴，解得： …………16分
方法二：（1）设的斜率为，， ∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴
∵ ∴的斜率为．
联立方程，解得，即
∵，∴，则AC的方程为
∵，∴，则BC的方程为．
由，得，即 …………6分
∵点的横坐标为 ∴，解得：
∵ ∴ ∴点的坐标为． …………8分
（2）设，，又直线AC的方程为：
联立方程，得 ∴，解得：
∵ ∴， …………14分
∵ ∴ …………16分
19．解：（1），，令，解得，列表：


极大值
∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分
（2）由，得
∵，令，
∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立
∴，解得． …………8分
（3），
令，
∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根． …………10分
∵
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减
则，∴，解得，∴
∵在上连续且
∴在和上各有一个实根
∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．
∴，且
， …………13分
令，当时，，单调递减
∵，∴，即，则
∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分
20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，
则，∴ …………4分
（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为
∵
根据的定义，有以下结论：
，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分
①若，则必有，∴，即对，都有
∴，，
∴，即为等差数列；
②当时，则必有，所以，即对，都有
∴，，
所以，即为等差数列；
③当，
∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
即，，∴为常数数列，所以为等差数列，
综上，数列也一定是等差数列． …………10分
方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．
对于数列：，增加时，有下列情况：
①若时，则，此时，∴对恒成立
则，，∴
即为常数，则数列是等差数列． …………7分
②若时，则， ∴
∵数列是等差数列且 ∴，
∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列．
③若时，则，此时，∴对恒成立
则，，∴
即为常数，则数列是等差数列． …………10分
（3）∵，
∴当时，，即，当时，，即．
以下证明：，
当时，
若，则，，所以，不合题意；
若，则，，则，得：，与矛盾，不合题意；
∴，即；
同理可证：，即时，．
①当时，， ∴ ∴，
∵ ∴
∴ …………13分
②当时，，且
∴，则为或．若为，则为常数，与题意不符
∴ ∴ ∴
∴

∴． …………16分
第二部分（加试部分）
21．（B）解：∵ ∴ …………5分
矩阵A的特征多项式为，
令，解得矩阵的特征值为或． …………10分
21．（C）解：将直线的参数方程为化为方程： …………2分
圆的方程为化为直角坐标系方程：，
即，，其圆心，半径为 …………5分
∴圆心到直线的距离为
∴直线被圆截得的弦长为． …………10分
22．解：∵正方形边长为2 ∴，，
又⊥平面
∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
作，垂足为
∵平面⊥平面，平面，平面平面
∴平面
∵ ∴点为的中点， …………2分
（1）∵
∴，，，，
∴ ∴
∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分
（2）设的长度为，则
∵⊥平面 ∴平面的一个法向量为 …………6分
设平面的法向量为，又
∴ ∴，解得：，取，则
∴平面的一个法向量为 …………8分
∴
∵二面角的大小为 ∴，解得：
∴的长度为． …………10分
23．解：（1）设点，则 ∴
∵ ∴，即 …………2分
（2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．
设直线的方程为：，则联立方程，得：
∴且 ∴ ∴直线的方程为：，
与方程联立得：，化简得：
解得：或 ∵ ∴轴
设的内切圆圆心为，则在轴上且 ……5分
方法（一）∴，且的周长为：
∴
∴ ……8分
方法（二）设，直线的方程为：，其中
直线的方程为：，即，且点与点在直线的同侧
∴，解得：…8分
方法（三）∵ ∴，即，解得：
…8分
令，则
∴在上单调增，则，即的取值范围为． ……10分