【备考2019中考数学学案】第二单元 方程（组）与不等式（组） 第1课时一次方程（组）及应用

第二单元 方程（组）与不等式（组）
第1课时 一次方程（组）及应用
考点知识清单
考点一 等式的性质
性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为①________的数，结果仍相等。
考点二 一元一次方程及解法
定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的②________________方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
解法步骤：（1）去分母；（2）③___________；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为④__________。
【温馨提示】1.一元一次方程ax＝b（a≠0）有唯一解。
2.解一元一次方程的五个步骤并不固定，顺序也不固定。
考点三 二元一次方程（组）
二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的⑤___________方程。
方程组的解:方程组中两个方程的公共解。
解法：思想:⑥______________是解方程组的基本思想。方法:代入消元法，⑦___________消元法。【温馨提示】
1.代入消元法的一般步骤:
①选一个系数是1或较简单的方程进行变形，用一个未知数来表示另一个未知数；
②代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出未知数的值；
④将已求出的一个未知数的值代入由①变形后的方程，求出另一个未知数；
⑤写出方程组的解。
2.加减消元法的一般步骤:
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤写出方程组的解。
考点四 一次方程（组）的应用
1.列方程（组）解应用题的一般步骤:
审（审清题意）→设（设未知数）→列［列方程（组）］→解［方程（组）］→验（检验是否符合题意）→答（写出答案）
【温馨提示】 设未知数一般有三种方法:直接设未知数；间接设未知数；设辅助未知数。
2.常见类型及基本数量关系
（1）销售打折问题:售价＝原价×折扣；销售额＝售价×销量；利润＝售价一进价；利润率＝⑧_____。
（2）工程问题:工作量＝工作效率×⑨_________________。
（3）行程问题:（a）相遇问题:路程＝甲走的路程＋乙走的路程.（b）追及问题:同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发:前者走的路程＋两地间的距离＝追者走的路程.（c）顺逆水问题:顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度⑩___________水流速度。
题型归类探究
类型一 解一元一次方程（易错点）
【典例1】（2018·攀枝花）解方程:.
【思路导引】按解一元一次方程的步骤逐步求解即可。
【自主解答】
【易错剖析】（1）去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，也不要忽视分数线的括号作用；（2）去括号时，应将括号外的系数（包括符号）乘以括号内的每一项，注意不要漏乘某项，也不要弄错符号；（3）移项要变号；（4）若方程中某些分母含有小数，为便于去分母，可以先根据分数的基本性质进行恒等变换，把小数转化成整数。
【变式训练】
1.（2017·武汉）解方程:4x-3＝2（x-1）
类型二 解二元一次方程组（高频点）
【典例2】（2018·宿迁）解方程组:
【思路导引】观察系数特征→选择方法→计算结果。
【自主解答】
【方法技巧】当方程组中某个未知数的系数较简单时（如±1），可选择代入消元法求解；当方程组中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，选择加减消元法较为简单。
【变式训练】
2.（2018·嘉兴）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下:
解法一:由①-②，得3x＝3.
解法二:由②，得3x＋（x-3y）＝2，③
把①代入③，得3x＋5＝2.
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误？
若有误，请在错误处打“×”
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答。
类型三 一次方程（组）的应用（高频点）
【典例3】（2018·永州）在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观.以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数。
【思路导引】根据等量关系:“男生人数＋女生人数＝55人”；“男生人数-1＝1.5×女生人数＋4”，列一次方程（组）求解即可。
【自主解答】
【方法技巧】列方程（组）的关键是寻找等量关系，常用的方法有:（1）抓住不变量；（2）找关键词；（3）画线段图或列表格进行分析。
【变式训练】
3.（2018·宜昌）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一题，原文是:“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”意思是:有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？请解答。
中考真题回放
考点一 等式的性质与解一元一次方程
（2017·杭州）设x，y，c是实数，（ ）
A.若x＝y，则x＋c＝y-c B.若x＝y，则xc＝yc
C.若x＝y，则 D.若，则2x＝3y
2.（2018·河北）有三种不同质量的物体 其中，同一种物体的质量都相等。现
左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ）
3.（2017·株洲）在解方程时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（ ）
A.2x-1＋6x＝3（3x＋1） B.2（x-1）＋6x＝3（3x＋1）
C.2（x-1）＋x＝3（3x＋1） D.（x-1）＋x＝3（x＋1）
4.（2018·临沂）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7，为例进行说明:设0.＝x.由0.＝0.7777...可知，10x＝7.777...所以10x-x＝7，解方程得:x＝，于是，得0.＝。将0.写成分数的形式是______________。
5.（2018·菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是____________。
考点二 解二元一次方程组
6.（2018·枣庄）若二元一次方程组的解为，则a-b=__________。
7.（2018·滨州）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是____________。
8.（2018·德州）对于实数a，b定义运算“◇”:a◇b=例如，4◇3，因为4＞3，所以4◇3＝5.若x，y满足方程组，则x◇y=___________。
9.（2018·武汉）解方程组
10.（2017·日照）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求m的值。
考点三 一次方程（组）的应用
11.（2018·泰安）夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
12.（2018·东营）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A.19 B.18 C.16 D.15
13.（2018·青岛）5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15％，乙工厂用水量比5月份减少了10％，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为____________。14.（2018·济南）本学期学校开展以“感受中华传统美德”为主题的研学活动，组织150名学生参观历史博物馆和民俗展览馆，每名学生只能参加其中一项活动，共支付票款2000元，票价信息如下:
地点
票价
历史博物馆
10元/人
民俗展览馆
20元/人
请问参观历史博物馆和民俗展览馆的人数各是多少人？若学生都去参观历史博物馆，则能节省票款多少元。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:去分母，得3（x-3）-2（2x＋1）＝6。
去括号，得3x-9-4x-2＝6.
移项，合并同类项，得-x＝17.
系数化为1，得x＝-17
【变式训练】1.解:去括号，得4x-3＝2x-2
移项，得4x-2x＝3-2.
合并同类项，得2x＝1.
系数化为1，得x＝
【典例2】
【自主解答】解:①×3-②，得2y＝-6，解得y＝-3.
把y＝-3代入①，得x＝6.
所以原方程组的解为
【变式训练】2.解:（1）解法一中的计算有误:由①-②，得3x＝3“×”。
（2）由①-②，得-3x＝3，解得x＝-1
把x＝-1代入①，得-1-3y＝5，解得y＝-2
所以原方程组的解是
【典例3】
【自主解答】解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生有x人，女生有y人，根据题意，得解得
答:小明班上参观禁毒教育基地的男生有35人，女生有20人
【变式训练】3.解:设1个大桶、1个小桶分别可以盛酒x斛，y斛，则解这个方程组，
得。 答:1个大桶、1个小桶分别可以盛酒斛，斛
【中考真题回放】
1.B 2.A 3.B
4. 解析:设0.＝x，由0.＝0.363636……可知100x＝36.3636…，所以100x-x＝36，解方程得x＝。
5. 15 解析:最后一次输出是127，由3x-2＝127解得x＝43，即输入的数是43；若前一次输出的是43，由3x-2＝43解得x＝15，即输入的数是15；而当3x-2＝15时x＝，不是正整数，故输入的最小正整数是15时，可按程序计算输出的结果为127.
6. 解析:∵x＋y＝3，3x-5y＝4，∴两式相加可得:（x＋y）＋（3x-5y）＝3＋4，∴4x-4y＝7，
∴x-y＝，∵x＝a，y＝b，∴a-b＝x-y＝。
解析:观察两个方程组的结构特点，a＋b相当于x，a-b相当于y，故可直接得出:从而得出二元一次方程组的解是
60 解析:解方程组得:.∵5＜12，∴x◇y＝5×12＝60.
9.解:（1）②-①，得x＝6，
把x＝6代入①，得y＝4∴原方程组的解为
10.解:方法一:由题意，得
①-②，得y＝3.将y＝3代入②，得x＝-3.
把x＝-3，y＝3代入3x＋5y＝m＋2，得-9＋15＝m＋2解得m＝4.
方法二:
①×3-②，得y＝7-m，代入①，解得x＝2m-11
又x＋y＝0，∴2m-11＋7-m＝0.解得m＝4.
C 12. B
13.
14.解:设参观历史博物馆的有x人，参观民俗展览馆的人数有y人，
根据题意得解得，
所有人都去参观历史博物馆，所需票款为10×150＝1500（元），
则可省下票款为2000-1500＝500（元）
答:参观历史博物馆的人数为100人，参观民俗展览馆的人数为50人；若所有人都去参观历史博物馆，则可节省票款500元。