【备考2019中考数学学案】第二单元 方程（组）与不等式（组） 第2课时 一元二次方程

第二单元 方程（组）与不等式（组）
第2课时 一元二次方程
考点知识清单
考点一 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它的一般形式是①_________________。
【温馨提示】1.一元二次方程二次项系数不为零；2.找各项系数时，一定要将方程化为一般形式，注意等号右边是0.
考点二 一元二次方程的解法
开平方法
把方程化成(x＋m)2＝n（n≥0）的形式，可以得x＝②______。
因式分解法
把方程化为(x＋a)(x＋b)＝0的形式得③________________。
公式法
ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时，其根为x＝④________。
配方法
（1）化二次项系数为⑤_________；（2）把常数项移到方程的另一边；（3）方程两边都加上⑥__________；（4）把方程化为(x＋m)2＝n的形式；（5）开平方解方程。
【温馨提示】解形如x2＝x的方程时，切勿两边直接除以x而导致漏解。
考点三 一元二次方程的判别式
定义
⑦________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用“△”表示。
与根的关系
（1）△＞0方程有⑧__________的实数根。
（2）△＝0方程有两个相等的实数根。
（3）△＜0方程⑨________实数根。
【温馨提示】一元二次方程根的判别式的常见应用有:1.不解方程，判别方程根的情况；
2.根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；3.应用判别式证明方程根的情况；
4.应用判别式判断一元二次方程实际问题中的可能性问题。
考点四 一元二次方程根与系数的关系
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2-4ac≥0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系:x1＋x2＝，x1·x2＝。
题型归类探究
类型一 一元二次方程的解法
【典例1】（2017丽水）解方程:(x-3)(x-1)＝3。
【思路导引】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再选用合适的方法解方程。
【自主解答】
【温馨提示】（1）解一元二次方程通常有四种方法:直接开平方法，配方法，求根公式法，因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的；直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来比较简捷。（2）运用求根公式解一元二次方程时，确定各项系数前，一定要将方程化为一般形式，等号的右边为0。
【变式训练】
1.解下列方程:
（1）（2018·齐齐哈尔）2(x-3)＝3x(x-3)；
（2）（2018·兰州）3x2-2x-2＝0.
类型二 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
【典例2】（2018·十堰）已知关于x的一元二次方程x2＋(2k-1)x＋k2＋k-1＝0有实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12＋x22＝11，求k的值。
【思路导引】（1）△≥0 → 解不等式 → 得k的取值范围
（2）
→ → →
【自主解答】
【方法技巧】（1）利用根与系数的关系求解字母系数的值的前提条件是必须满足△≥0。（2）代数式求值的常见变形：【变式训练】
2.（2018·鄂州）已知关于x的方程x2-（3k＋3）x＋2k2＋4k＋2＝0.
（1）求证:无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2＋2x1＋2x2＝36，求k值及该菱形的面积。
中考真题回放
考点一 一元二次方程的解法
1.（2018·临沂）一元二次方程y2-y-＝0配方后可化为（ ）
A.（y＋）2＝1 B.（y - ）2＝1 C.（y＋）2＝ D.（y - ）2＝
2.（2017·威海）若1-是方程x2-2x＋c＝0的一个根，则c的值为（ ）
A.-2 B.4-2 C.3- D.1＋
3.（2017·德州）方程3x（x-1）＝2（x-1）的根为_______________。
4.（2017·菏泽）关于x的一元二次方程（k-1）x2＋6x＋k2-k＝0的一个根是0，则k的值是_________。5.（2017·滨州）根据要求，解答下列问题。
（1）根据要求，解答下列问题。
①方程x2-2x＋1＝0的解为______________。
②方程x2-3x＋2＝0的解为______________。
③方程x2-4x＋3＝0的解为______________。……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想:
①方程x2-9x＋8＝0的解为______________。
②关于x的方程________________的解为x1=1，x2＝n.
（3）请用配方法解方程x2-9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性.
考点二 一元二次方程根的判别式
6.（2018·菏泽）关于x的一元二次方程（k＋1）x2 - 2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A.k≥0 B.k≤0 C.k＜0且k≠-1 D.k≤0且k≠-1
7.（2018·泰安）一元二次方程(x＋1)(x-3)＝2x - 5根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3
8.（2018·聊城）已知关于x的方程（k-1）x2-2kx＋k - 3＝0有两个相等的实根，则k的值是___________。9.（2018·威海）关于x的一元二次方程（m-5）x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是___________。10.（2018·东营）关于x的方程2x2 - 5xsinA＋2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角。
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2-10y＋k2-4k＋29的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长。
考点三 一元二次方程根与系数的关系
11.（2018·潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2 -（m＋2）x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＝4m，则m的值是（ ）
A.2 B.-1 C.2或一1 D.不存在
12.（2017·淄博）已知a，β方是方程x2-3x-4＝0的两个实数根，则a2＋aβ-3a的值为__________。
13.（2018·德州）若x1，x2是一元二次方程x2＋2x-2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2=__________。
14.（2018·莱芜）已知x1，x2是方程2x2-3x-1＝0的两根，则x12＋x22＝______________。
15.（2018·烟台）已知关于x的一元二次方程x2 - 4x＋m-1＝0的实数根x1，x2满足3x1x2 - x1 - x2＞2，则m的取值范围是______________。
16.（2017·日照）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m＝3，n2-n＝3，那么代数式2n2-mm＋2m＋2015＝_________________。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:原方程整理为:x2-4x＝0，x（x-4）＝0，x1＝0，x2＝4.
【变式训练】1.解:（1）2（x-3）-3x（x-3）＝0，（2-3x)(x - 3)=0，
∴2-3x＝0或x-3＝0，解得x1=,x2＝3.
（2）移项，得3x2-2x＝2，配方，得,解得.
【典例2】
【自主解答】解:（1）∵关于x的一元二次方程x2＋（2k-1）x＋k2＋k-1＝0有实数根，
∴△≥0，即（2k-1）2-4×1×（k2＋k-1）＝-8k＋5≥0，解得。
（2）由根与系数的关系可得，
∴。
∵＝11，∴2k2-6k＋3＝11，解得k＝-1或k＝4。∵k≤，k＝4（舍去），∴k＝-1。
【变式训练】2.（1）证明:△＝b2-4ac＝［-（3k＋3）］2-4×1×（2k2＋4k＋2）＝9k2＋18k＋9 - 8k2-16k-8＝k2＋2k＋1＝（k+1)2.
∵无论k为何值，（k＋1）2≥0，∴无论k为何值，原方程都有实数根。
（2）解:由根与系数的关系，得
x1＋x2＝3k＋3，x1x2＝2k2＋4k＋2
∵x1x2＋2x1＋2x2＝36
∴2k2＋4k＋2＋2（3k＋3）＝36，
∴2k2＋10k-28＝0，
∴k1＝2，k2＝-7（不合题意，舍去）
当k＝2时，菱形的面积＝x1x2＝×（3k＋3）＝。
【中考真题回放】
1.B 2.A 3.x1＝1，x2＝3 4.0
5.解:（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3
（2） ①x1＝1，x2＝8；
②x2 -（1＋n）x＋n＝0
（3）x2-9x＋8＝0，x2-9x＝-8，
∴，∴x1＝1，x2＝8.所以猜想正确。
6.D 7.D 8. 9.4
10.解:（1）关于x的方程2x2 - 5 x sinA＋2＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（5sinA）2- 4×2×2＝0，∴sinA＝,
又∵∠A是锐角三角形ABC的一个内角，
∴.
（2）∵关于y的方程y2-10y＋k2-4k＋29有两个根，
∴△＝（10）2 - 4（k2-4k＋29)=-4k2+16k-16＝-4（k2-4k＋4）＝-4（k - 2）2≥0,
又∵-4（k-2）2≤0 ∴-4（k-2）2＝0
∴原一元二次方程有两个相等的实数根，k＝2
此时，方程为y2-10y＋25＝0 解得，y＝5
∵y2-10y＋25＝0的两个根恰好是△ABC的两边长,
∴△ABC是以5为腰的等腰三角形.
①当∠A是等腰△ABC的底角时，
如图，作CD⊥AB，∵sinA＝，CA＝CB＝5,
∴, ∴CD＝4, ∴,∴AB=6。
∴△ABC的周长为5＋5＋6＝16。
②当∠A是等腰△ABC的顶角时，如图，作CD⊥AB，
∵sinA＝，AB＝AC＝5，∴，
∴CD＝4， ∴，∴BD=5-3=2，
∴BC＝，
∴△ABC的周长为5＋5＋2＝10＋2。
综上，△ABC的周长为16或10＋2。
11.A 解析:根据根与系数的关系，得x1＋x2＝。
∴，∴，即m2-m-2＝0，解得m1＝2，m2＝-1.
又∵△＝［-（m＋2）］2 - 4m×＝4m＋4＞0，即m＞-1，∴m＝2.
0 解析:∵a，β方是方程x2-3x-4＝0的两个实数根，∴a2 - 3a - 4＝0且aβ＝ - 4.∴a2-3a＝4.
∴a2＋aβ- 3a ＝（a2-3a）＋aβ＝4-4＝0.
- 4 14.
15. 3＜m≤5 解析:由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2＝m-1，x1＋x2＝4.
代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2.解得m＞3.又△＝16-4（m-1）≥0，∴m≤5.∴3＜m≤5.
16. 2026