【备考2019中考数学学案】第二单元 方程（组）与不等式（组） 第3课时 一元二次方程的应用

第二单元 方程（组）与不等式（组）
第3课时 一元二次方程的应用
考点知识清单
考点一 元二次方程的应用的常见类型
增长率
设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1＋x），两次增长后的值为①__________，依次类推，n次增长后的值为②_________。
利润
问题
单件利润＝单件售价一成本；总利润＝单件利润×销售量＝总售价一总成本
循环
问题
单循环
x个队的单循环赛场数＝③______________。
双循环
x个队的主客场赛场数＝x（x-1）.
数字
问题
一个两位数，十位数字为a，个位数字为b.则这个两位数可以表示为
④__________________。
面积
问题
对于规则图形套用面积公式列方程，不规则图形可通过割补变为规则图形后，根据面积间的和、差关系求解。

题型归类探究
类型一 增长率问题（高频点）
【典例1】（2018·安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元。
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励。
【思路导引】（1）根据增长率公式构建一元二次方程求解；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数＋1000户以后获得的奖励总和≥500万”，列不等式求解最小值。
【自主解答】
【变式训练】
1.（2018·沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元，假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同。
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本。
类型二 利润问题（高频点）
【典例2】（2018·盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件。
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【思路导引】（1）在原销量（20件）的基础上，加上降价3元可多售的件数（6件），即为每天的销售数量；（2）抓住“总利润＝单件利润×销量”这个等量关系列方程求解，注意所得结果必须满足“每件盈利不少于25元”的限制条件。
【自主解答】
【变式训练】
2.（2017·眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元。调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元。
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件。若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
类型三 面积问题（重难点）
【典例3】（2017·深圳）一个矩形周长为56厘米。
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由。
【思路导引】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可；（2）同（1）列出方程，若方程有解则可，否则就不可以。
【自主解答】
【方法技巧】列一元二次方程解答面积问题，一般需用面积公式作为等量关系来列方程，如何用含未知数的代数式来表示边长，是解答该类问题的关键所在，如果图形的面积不易直接求得时，可以利用“平移法”，将分散的图形集中在一起，组成一个规则图形后，借助转化思想和整体思想就很容易列出方程。
【变式训练】
3.（2015·襄阳）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2？
中考真题回放
考点一 增长率问题
1.（2018·眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A. 8％ B. 9％ C. 10％ D. 11％
2.（2017·烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动。现需要购进100个某品牌的足球供学生使用。经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元。
（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案，试问去哪个商场购买足球更优惠？
考点二 利润问题
3.（2018·德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台。假定该设备的年销售量y（单位:台）和销售单价x（单位:万元）成一次函数关系。
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
4.（2017·菏泽）列方程解应用题:
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查:每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
考点三 面积问题
5.（2017·荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺。问折高者几何？意思是:一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A.x2-6＝(10-x)2 B.x2-62＝(10-x)2 C.x2＋6＝(10-x)2 D.x2＋62＝(10-x)2
6.（2018·济南）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A. 10 cm B.13 cm C.14 cm D.16 cm
7.（2018·日照）为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米。设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为__________
__________________。
8.（2017·威海）要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路。下面分别是小亮和小颖的设计方案。
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积。（友情提示:小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同）。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】解:（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得
1280（1＋x）2＝1280＋1600，
解得x＝0.5或x＝-2.5（不合题意，舍去）
答:从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50％。
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
8×1000×400＝3200000＜5000000，∴a＞1000，
1000×8×400＋（a-1000）×5×400≥5000000，
解得a≥1900
答:今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励。
【变式训练】 1.解:（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意得出400(1-x)2＝361.解得x1＝＝5％，x2＝＝1.95＞1（不合题意，需舍去），因此只取x＝5％
答:每个月生产成本的下降率为5％。
（2）361×（1-5％）＝342.95（万元）
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元。
【典例2】
【自主解答】解:（1）26.
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40-x）元，平均每天销售数量为（20＋2x）件，
由题意，得（40-x）（20＋2x）＝1200。 解得:x1＝10，x2＝20.
当x＝10时，40-x＝40-10＝30＞25；
当x＝20时，40-x＝40-20＝20＜25，不符合题意，舍去。
答:当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
【变式训练】 2.解:（1）设此批次蛋糕属第x档次产品，则10＋2（x-1）＝14，解得x＝3。
答:此批次蛋糕属第3档次产品。
（或:∵＋1＝3，∴此批次蛋糕属第3档次产品.）
（2）设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得［10＋2（x-1）］［76-4（x-1）］＝1080，
解之，得x1＝5，x2＝11（舍去）.
答:该烘焙店生产的是第5档次的产品。
【典例3】
【自主解答】解:（1）设矩形的长为x厘米，则宽为（56÷2-x）厘米，依题意有x（56÷2-x）＝180，
解得x1＝10（舍去），x2＝18，28-x＝28-18＝10。
故长为18厘米，宽为10厘米
（2）设矩形的长为y厘米，则宽为（56÷2-y）厘米，依题意有y（56÷2-y）＝200，
即y2-28y＋200＝0，则△＝282-4×200=784-800<0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形。
【变式训练】3.解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则矩形猪舍的另一边长为（25＋1-2x）m
依题意，得x（25＋1-2x）＝80。化简，得x2-13x＋40＝0。
解这个方程，得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26-2x＝16＞12（舍去）；
当x＝8时，26-2x＝10＜12。
答:所建猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2。
【中考真题回放】
1.C
2.解:（1）设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x。根据题意，得200（1-x）2＝162.
解得x＝0.1＝10％，x2＝-1.9（含去）
答:2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10％。
（2）到A商场购买91个足球，赠送9个足球，共100个足球，总价为91×162＝14742（元）
到B商场购买总价为100×162×0.9＝14580（元）.
∵14580＜14742，∴去B商场购买足球更优惠。
3.解:（1）因为该设备的年销售量y（单位:台）和销售单价x（单位:万元）成一次函数关系，
设y＝kx＋b（k≠0），把每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台两组对应值代入，得 解得
∴该一次函数为y=-10x+1000。
（2）因此设备的销售单价为x，成本价为30万元，则每台的利润为（x-30）万元。
由题意，得(x-30)(-10x＋1000)＝1000，解得x1＝80，x2=50。
因为此设备的销售单价不得高于70万元，所以x＝50。
答:该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是50万元。
4.解:设销售单价为x元，由题意，得:（x-360）［160＋2（480-x）］＝20000，
整理，得:x2-920x＋211600＝0，解得:x1＝x2＝460.
答:这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元。
D 6. D
7.x（x＋40）＝1200
8.解:（1）根据小亮的设计方案列方程，得(52-x)(48-x)＝2300。
解这个方程，得x1＝2，x2=98（舍去）。
∴小亮设计方案中路的宽度为2 m。
（2）如图，作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I,J。
∵AB∥CD，∠I＝60°，∴∠ADI＝60o。
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形∴BC＝AD。
由（1），得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD。
在Rt△ADI中AI＝2sin60°＝。∵∠HEJ＝60o，∴HJ＝2sin60o=.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋()2＝2299（m2）.