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第5讲平方差公式满分冲刺学案（学生版）
【经典例题】
考点一：平方差公式.
【例1】计算：
【分析】根据平方差公式特点：.这是两个特殊多项式相乘，这题可
以用上节多项式乘多项式计算，但步骤多且过程繁杂，如果运用平方差公式计算就可以
简化计算过程，但公式只能运用在特殊类型题目中，这类题目特殊地方是结构特殊上：
①条件可以理解为前一项与后一项是相同数，后一项与是相反数
也可以理解为两数和与两数差的相乘
②结果是两个数平方差.
【解答】解：
＝
＝
【例2】计算：
【分析】此题运用平方差公式计算就可以简化计算过程，解答之前要养成先观察呈现的
多项式乘多项式特点，用公式必须满足公式条件且准确地理解和运用，千万不是模仿.
条件：多项式乘多项式时只要考虑前后两个数一同一相反即可，不必在乎两个数位置.
结果切记：相同的数写在前面平方，相反数写在后面平方，然后再相减.
【解答】解：原式＝
＝
考点二：平方差公式的应用.
【例3】计算：＝__________.
【分析】这是一个大数据运算，运用公式可以简化计算过程，且能保证计算结果的准确
性，这两个不同数相乘如果运用公式来简化计算，一般可以化为平方差公式，化为公式
结构是解答关键，方法：①找出两数平均数：
②写成公式条件结构：
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
【例4】（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为b，则阴影部分的面
积是_________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为________；宽为__________；面积为______________．
（2）由（1）可以得到一个公式：____________________________.
（3）利用你得到的公式计算：．
【分析】这是一道考查平方差公式几何背影下综合题，利用求阴影部分面积的两种方法
来列等式是解题关键.
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：，图②长方形的长为，宽为，面积为：， 故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：，故答案为：
【知识巩固】
计算：
计算：
3.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.若（ ），则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则
7.利用乘法公式计算：．
8.计算：
如图，将边长为的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为的小正方形，将
剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若，求拼好后长方形的面积.
【培优特训】
10.先化简，再求值.，其中；
11.利用平方差公式计算1.
计算：
阅读理解：引入新，新数满足分配律，结合律，交换律，已知,那么
14.阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相
信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：
①
=②
=．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用______________（填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①； ②．
15.观察下列各式
…
根据以上规律，则
你能否由此归纳出一般性规律：
根据以上规律求的结果．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?1f85ca42-d44d-4ce2-8dc6-66857bafd165" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)老师在黑板上写出三个算式：，，，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
【中考链接】
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?488eb8d6-7c79-44fd-9b07-b90155910f0d" \o "此年份及地区表示：该试题最新出现所在的试卷年份及地区" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D.
18. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?532e97fb-2782-4748-a561-a7cf75055f06" \o "此年份及地区表示：该试题最新出现所在的试卷年份及地区" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)化简的结果是__________.
19.已知，则
化简：．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?50dda71a-4d84-4989-929c-cb84af9dcf9a" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)先化简，再根据化简结果，你发现该代数式的值与
的取值有什么关系？（不必说理）．
如果，求的值.
23. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?522a6d14-1473-4ae6-9b2f-eb16b68aa371" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一
个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是________.
24. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?0262d45f-9f69-4660-84f1-e5775548c3cc" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)若，试不用将分数化小数的方法比较、b的大小．
如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线
段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=（上底+下底）×高）．
设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含的式
子表示和；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
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第5讲平方差公式满分冲刺学案（教师版）
【经典例题】
考点一：平方差公式.
【例1】计算：
【分析】根据平方差公式特点：.这是两个特殊多项式相乘，这题可
以用上节多项式乘多项式计算，但步骤多且过程繁杂，如果运用平方差公式计算就可以
简化计算过程，但公式只能运用在特殊类型题目中，这类题目特殊地方是结构特殊上：
①条件可以理解为前一项与后一项是相同数，后一项与是相反数
也可以理解为两数和与两数差的相乘
②结果是两个数平方差.
【解答】解：
＝
＝
【例2】计算：
【分析】此题运用平方差公式计算就可以简化计算过程，解答之前要养成先观察呈现的
多项式乘多项式特点，用公式必须满足公式条件且准确地理解和运用，千万不是模仿.
条件：多项式乘多项式时只要考虑前后两个数一同一相反即可，不必在乎两个数位置.
结果切记：相同的数写在前面平方，相反数写在后面平方，然后再相减.
【解答】解：原式＝
＝
考点二：平方差公式的应用.
【例3】计算：＝__________.
【分析】这是一个大数据运算，运用公式可以简化计算过程，且能保证计算结果的准确
性，这两个不同数相乘如果运用公式来简化计算，一般可以化为平方差公式，化为公式
结构是解答关键，方法：①找出两数平均数：
②写成公式条件结构：
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
【例4】（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为b，则阴影部分的面
积是_________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为________；宽为__________；面积为______________．
（2）由（1）可以得到一个公式：____________________________.
（3）利用你得到的公式计算：．
【分析】这是一道考查平方差公式几何背影下综合题，利用求阴影部分面积的两种方法
来列等式是解题关键.
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：，图②长方形的长为，宽为，面积为：， 故答案为：，，，；
（2）由（1）可得：，故答案为：
【知识巩固】
计算：
解： 答案为
2.计算：
解： 答案为.
3.下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．故A错
故B错
符合公式条件：一个数相同，另一个互为相反数，C正确.
不符合公式条件：
选C.
4.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A．故A错.
.故B错
.C项正确.
.故D错.
选C.
5.若（ ），则括号内应填的代数式是（ ）
A． B． C． D．
解：（ ） ，可写成（ ）
（ ） 选B.
6.已知，则
解：
答案为2.
7.利用乘法公式计算：．
解：原式
8.计算：
解：原式
如图，将边长为的正方形按虚线剪成4个部分，去掉其中边长为的小正方形，将
剩余的3个部分重新拼成一个互不重叠且无缝隙的长方形．
（1）画出拼好的长方形，并标注相应的数据；
（2）求拼好后长方形的周长；
（3）若，求拼好后长方形的面积.
解：（1）如图所示；
（2）拼好后长方形的周长；
（3）拼好后长方形的面积，
当
【培优特训】
10.先化简，再求值.，其中；
解：原式
11.利用平方差公式计算1.
解：，
计算：
解：原式
阅读理解：引入新，新数满足分配律，结合律，交换律，已知,那么
解：，答案为2.
14.阅读并完成下列各题：
通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相
信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．
【例】用简便方法计算995×1005．
解：
①
=②
=．
（1）例题求解过程中，第②步变形是利用______________（填乘法公式的名称）；
（2）用简便方法计算：
①； ②．
解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；
故答案为：平方差公式；
（2）①
=
=
=
=
=
=；
②．
=
=
=．
15.观察下列各式
…
根据以上规律，则
你能否由此归纳出一般性规律：
根据以上规律求的结果．
解：（1）根据题意得：
（2）根据题意得：
（3）原式=．
故答案为：（1）（2）
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?1f85ca42-d44d-4ce2-8dc6-66857bafd165" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)老师在黑板上写出三个算式：，，，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，，…
（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性．
解：（1），．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示，
则．
当同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数．
当一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数
所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．
【中考链接】
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?488eb8d6-7c79-44fd-9b07-b90155910f0d" \o "此年份及地区表示：该试题最新出现所在的试卷年份及地区" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D.
解：A．A选项错
，正确
C.，C选项错
D.,D选项错
选B
18. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?532e97fb-2782-4748-a561-a7cf75055f06" \o "此年份及地区表示：该试题最新出现所在的试卷年份及地区" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)化简的结果是__________.
解：，答案为.
19.已知，则
解：，答案为24.
化简：．
解：原式＝
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?50dda71a-4d84-4989-929c-cb84af9dcf9a" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)先化简，再根据化简结果，你发现该代数式的值与
的取值有什么关系？（不必说理）．
解：原式 该代数式与的取值没有关系．
如果，求的值.
解：
23. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?522a6d14-1473-4ae6-9b2f-eb16b68aa371" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一
个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是________.
解：拼成的长方形的面积，
，
∵拼成的长方形一边长为，从而另一边长是.故答案为：．
24. (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?0262d45f-9f69-4660-84f1-e5775548c3cc" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)若，试不用将分数化小数的方法比较、b的大小．
解：
如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线
段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=（上底+下底）×高）．
设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含的式
子表示和；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
解：
（1）∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴． ；
（2）根据题意得：
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