江苏省宿迁市2019届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

宿迁市2018~2019学年度第一学期市直高三期末测试
数 学

参考公式：锥体的体积公式 ，其中是锥体的底面面积，是高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合，，则 ▲ ．
答案：
考点：集合的运算。
解析：，
所以，
2． 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
答案：
考点：复数的概念及运算。
解析：，
3． 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度不小于50km/h的汽车中
抽取200辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，则时速
不低于80km/h的汽车有 ▲ 辆．

答案：20
考点：频率分布直方图。
解析：时速不低于80km/h的频率为：0.01×10＝0.1，
时速不低于80km/h的汽车有：0.1×200＝20辆
4． 如图是一个算法的伪代码，运行后输出S的值为 ▲ ．

答案：13
考点：算法初步。
解析：第1步：S＝6，n＝4；第2步：S＝10，n＝3；第3步：S＝13，n＝2，退出循环，所以，输出的S＝13。
5．春节将至，三个小朋友每人自制1张贺卡，然后将3张贺卡装在一盒子中，再由三人
依次任意抽取1张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 ▲ ．
答案：
考点：古典概型。
解析：设甲、乙、丙三个小朋友自制的贺卡分别为A、B、C，
则甲、乙、丙分别抽取的贺卡可能为：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种，
三人都没抽到自己制作的贺卡的有：BCA、CAB，共2种，
所以，所求的概率为：P＝
6. 设圆锥的轴截面是一个边长为2cm的正三角形，则该圆锥的体积为　 ▲ 　cm3．
答案：；
考点：圆锥的空间结构及其体积的计算。
解析：圆锥的底面半径R＝1，高h＝＝，
圆锥的体积为：V＝＝
7. 已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦
点重合，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 ▲ .
答案：
考点：双曲线、抛物线的性质。
解析：抛物线的焦点为F（4,0），因为双曲线与抛物线的焦点重合，
所以，c＝4，离心率e＝＝2，所以，a＝2，b＝，
双曲线为：，渐近线为：，顶点为（－2,0），（2,0）
双曲线的顶点到渐近线的距离为
8. 已知数列前n项和为，，，则的值为 ▲ ．
答案： 1013
考点：等比数列的前n项和，数列的递推公式。
解析：由，得：，即，
所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
设的前n项和为Tn，则＝1022，
S9＝T9－9＝1013

9． 已知正实数满足，则的最小值为 ▲ ．
答案：
考点：函数的导数及其应用。
解析：由得：＞0，所以，0＜b＜1，
令f(b)＝＝
＝＝＝，
当b∈（0，）时，f(b)递减，当b∈（，1）时，f(b)递增，
所以，当b＝时，f（b）有唯一的极小值，
即是最小值：＝
10. 已知点，若圆上存在点M满足,则实数的取值范围是 ▲ .
答案：
考点：动点的轨迹方程，圆的标准方程。
解析：设M（x，y），因为，所以，点M的轨迹方程为：
（－1－x，－y）（1－x，－y）＝3，即x2＋y2＝4，
又因为点M在圆上，
两圆有交点，所以，，
即，解得：
11. 对于函数，如果是偶函数，且其图象上的任意一点都在平面区域
内，则称该函数为“V型函数”.下列函数：①；②；
③； ④.其中是“V型函数”的是 ▲ .（将符合条件
的函数序号都填在横线上）.
答案：③④
考点：函数的奇偶性，函数的导数及其应用，阅读新知识解决问题的能力。
解析：①不是偶函数，排除。
②是偶函数，当x＞0时，＝，不是“V型函数”。
③是偶函数，当x＞0时，，令，＞0，
f（x）在（0，＋∞）是增函数，，即，是“V型函数”。
④是偶函数，当x＞0时，，令，
＝，当时，，是增函数，
＞＝0，所以，，是“V型函数”。
12. 如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于
点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则的取值范围是 ▲ .

答案：
考点：平面向量的数量积。
解析：以C为原点，建立如图所示平面直角坐标系，

点P的轨迹方程为：，点P坐标为P（2cosθ,2sinθ）(θ∈),
A(-4,-2),B(0,-2)，
＝（－4－2cosθ，－2－2sinθ），＝（0－2cosθ，－2－2sinθ），
＝8cosθ＋8sinθ＋8＝，
θ∈，
当，即时，取到最小值：，
当，即时，取到最大值：0，
所以，的取值范围是
13. 已知函数，设点…，
，…都在函数图象上，且满足，，
则的值为 ▲ .
答案：
考点：三角恒等变换，三角函数的性质。
解析：，｛｝为等差数列，所以，，

＝＝，
＝，
的值是以周期为4的数，
＝，＝，
＝，
＝，
所以，＝0
＝＝＝＝
＝＝
14. 已知函数 如果函数恰有2个不同的零
点，那么实数k的取值范围是 ▲ .
答案：
考点：分段函数的图象，数形结合法。
解析：函数恰有2个不同的零点，表示函数有2个交点。
当1≤x＜2时，f（x）＝x－1，
当2≤x＜4时，1≤x＜2，f（x）＝＝2（x－1）＝x－2，
当4≤x＜8时，2≤x＜4，f（x）＝＝2（x－2）＝x－4，
当8≤x＜16时，4≤x＜8，f（x）＝＝2（x－4）＝x－8，
当16≤x＜32时，8≤x＜16，f（x）＝＝2（x－8）＝x－16，
（1）当k＞0时，如下图，与y＝x－4，y＝x－8各有1个交点，但与y＝x－16不能有交点，
所以，，解得：

（2）当k＜0时，如下图，与y＝x－1，y＝x－1各有1个交点，
所以，，解得：

实数k的取值范围是

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15. （本小题满分14分）
已知三角形ABC的面积是S，．
（1）求的值；
（2）若，当三角形ABC的周长取得最大值时，求三角形ABC的面积S．









16．（本小题满分14分）
在四棱锥中，，底面ABCD是菱形．
（1）求证：；
（2）若点是棱AD的中点，点在棱SA上，
且，求证：．

17．（本小题满分14分）
如图所示，桌面上方有一盏电灯，到桌面的距离可以变化，桌面上有一点到点的距离为（为常数），设，灯对点的照度与成正比、与长的平方成反比，且比例系数为正常数.
（1）求灯对点的照度关于的函数关系式；
（2）问电灯与点多远时，可使得灯对点的照度最大？

18．（本小题满分16分）
如图所示，椭圆的离心率为，右准线方程为，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点，与椭圆交于不同两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与直线交于点；
（3）求线段长的取值范围.

19．（本小题满分16分）
已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有.数列各项都是正整数，，，且数列是等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求满足的最小正整数．







20．（本小题满分16分）
已知函数，.
（1）求函数的定义域和单调区间；
（2）当且时，若直线与函数的图象相切，求的值；
（3）当时，若存在，使得，求的取值范围.








数学Ⅱ(附加题)
本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（本小题满分10分）
已知矩阵的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，
求直线：在矩阵对应的变换作用下得到的曲线的方程.

22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线的方程为．
(1)求直线的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；
(2)若直线与椭圆C有公共点，求的取值范围．

23．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，点在棱 上，且．
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值．


24．（本小题满分10分）
已知，若对于任意，都有．
（1）求实数的值；
（2）若，求的值．






高三数学参考答案及评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．； 2．； 3．20； 4．13； 5.;
6.； 7.； 8. 1013 9．； 10. ；
11. ③④； 12. ； 13.； 14. .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15解：（1）由得，
所以. ………… …………………………2分
在三角形ABC中得，………………4分
所以,， ……………………………7分
（2）在三角形ABC中，，
所以，
即，…………………………10分
当且仅当时取等号，
所以，
所以周长的最大值为，此时，
所以面积.……………………………14分
解法二：在三角形ABC中得

所以周长
……………………………10分
由得，当时，周长取得最大值为
此时
所以面积.……………………………14分

16解：（1）因为，，
所以， ………………………………2分
又因为底面ABCD是菱形，得，
由SA，AC都在面SAC内，且，
所以，………………………………5分
由，得；…………7分
（2）由底面ABCD是菱形，得
所以………………9分
又因为，
所以 ，
所以…，………………………11分
因为，
所以.………………………………14分

17解：（1）因为，………………3分
又，
所以，…………6分
（2）令，
EMBED Equation.DSMT4 ，
由得，………………………10分
,则单调递增；
,则单调递减，…………………12分
取得最大值，此时，
时，取得最大值，
答：当电灯与点的距离为时，可使得灯对点的照度最大. ……14分
18解：（1）由
得，，
所以椭圆的方程.………………………………………………4分
（2）设直线，，
联立，消得，
， …………………………………6分
又，

，………8分
，故点三点共线，即直线经过点
同理可得直线经过点，
所以直线与直线交于点. …………………………10分
（3）由（2）可知


…………………………12分
令
又由得所以

……………………………………14分
在上恒成立
在上单调递增
， ，

. …………………………………………………16分

19解：（1）当时，，即，
，
由得； …………………………………………………1分
当时，由得，
所以两式相减得，
所以， …………………………3分
由知
所以
所以数列是首项，公差的等差数列. …………………5分
(2)由（1）得，
由
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列
所以， …………………………………………………7分
又，
所以，即.…………………………10分
（3）由，
所以，……………………………………12分
设，
则，
令得，
由得，
所以，………………14分
又因为，
，
，
，
，
所以当时，，
所以满足的最小正整数为5. …………………………16分
20解（1）由得的定义域，
，………………………………………………2分
由得，
由得，
所以的单调增区间为，
单调减区间为和；………………………………………4分
（2）设与相切于点，
，且，
，化简得，………………………6分
，
令，
，
由得，由得，
在单调递增，在单调递减，………8分
，
在上有唯一解，
.………………………………………10分
（3）令，依题意知，
的值域为，………12分
①当，即时，，
单调递增，
，
解得，不合题意，
②当，即时，，
单调递减，
，
解得，满足题意，………………………………………14分
③当时，存在唯一满足，
时，；时，，
在单调递减，在单调递增，
，
解得 ，
这与矛盾，不合题意，
综上所述，的取值范围为.………………………………………16分


数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21解：由得，
所以，， ……………………………2分
设是直线上任意一点，在矩阵对应的变换作用下得到点，且在曲线上，
由得，…………………………4分
所以， …………………………6分
代入曲线的方程得，
所以曲线的方程. ……………………………10分
22解:(1)，得，…………………2分
由，
得. ……………………………………5分
(2)由消去得.
因为直线与椭圆C有公共点,
所以,即．……………7分
所以的取值范围是，
所以的取值范围是.………10分


23解：在直三棱柱中，由则以为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则,
所以,
设，则,
（1）由得,
所以,
所以=．……………………………………………3分
（2）由，取的一个法向量为,
设的一个法向量,
由（1）知
又因为,
所以，取，
则,…………………6分
所以,
所以．
所以二面角的余弦值为．…………………………10分

24解（1）由,
所以,………………………………………………………………2分
（2）,
所以，
令，，
首先考虑eq \F(1, C)＋eq \F(1, C)＝＋
＝
＝＝eq \F(2n＋2,(2n＋1) C)，
则eq \F(1, C)＝(eq \F(1, C)＋eq \F(1, C))，
因此eq \F(1, C)－eq \F(1, C)＝(eq \F(1, C)－eq \F(1, C))． ………………………………6分
故

＝ (eq \F(1, C)－eq \F(1, C)＋eq \F(1, C)－eq \F(1, C)＋…＋eq \F(1, C)－eq \F(1, C))
＝ (eq \F(1, C)－eq \F(1, C))＝(－1)
＝． ………………………………………………………………………10分







B

A

注　意　事　项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相
符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

C

D

S

M

N

(第16题)











A1

D

C

B1

(第23题)

C1

B

A