江苏省沭阳县2019届高三上学期期期末考试数学试题+扫描版含答案

一．填空题：
1． 2． 3． 4． 21 5． 6． 7． 8．
9. 10. 11. 12. 13. -6 14.
二．解答题：
15．（1）由，，则，…………2分
所以． ……………………………………………………6分
（2）由，则为锐角，又，所以，…8分
所以 ……………………………12分
． ……………………………………………14分
16．（1）因为分别是的中点，所以∥． ………………………2分
因为平面，平面，
所以∥平面． …………………………6分
（2）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以． ……8分
因为，且是的中点，
所以． ………………………………10分
因为，平面，
所以平面． ………………………12分
因为平面，
所以平面平面． …………………14分
17．（1）因为在中，已知，，
所以由的面积，解得． ………………2分
在中，由余弦定理得：
，……………………………………………4分
所以．…………………………………………………5分
（2）由，则，．
在中，，，由正弦定理得，
所以，．………………………………………7分
记该计划所需费用为，
则．
………………………………………………………………………………………10分
令，则， ………………11分
由，得．所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增． ………………………………12分
所以时，该计划所需费用最小． ……………………………………14分
18．（1）由题意，得，解得，所以，
所以椭圆C的标准方程为． ………………………………………4分
（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；
所以设的斜率为，则直线的方程为，又准线方程为，
所以点的坐标为，………………………………………………6分
由得，，即
所以，， …………8分
所以，从而直线的方程为，（也可用点差法求解）
所以点的坐标为，…………………………………………………10分
所以以为直径的圆的方程为，
即， ………………………………14分
因为该式对恒成立，令，得，
所以以为直径的圆经过定点．………………………………16分
19．（1）因为，所以当时，，
则， ……………………………………………………………1分
当时，，
所以在处的切线方程为； ………………………………………3分
（2）因为对于任意的正数，恒成立，
所以当时，即时，，； ……………………………5分
当时，即时，恒成立，所以； ………………………6分
当时，即时，恒成立，所以，
综上可知，对于任意的正数，恒成立，． ……………………7分
（3）因为函数存在两个极值点，
所以存在两个不相等的零点．
设，则．…………………………………8分
当时，，所以单调递增，至多一个零点．…………………9分
当时，因为时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以时，． …………………………………11分
因为存在两个不相等的零点，所以，解得．
因为，所以．
因为，所以在上存在一个零点． ………13分
因为，所以．又因为，
设，则，因为，
所以单调递减，所以，
所以，所以在上存在一个零点．
综上可知：．…………………………………………………………16分
20．（1）当时，由，
得，又，所以，………………2分
又，所以．……4分
（2）由，得，
又，所以，……………………………………………6分
又因为，
所以，
所以，
，
所以． ……………………………………………………………………10分
②由题意，得，，因为，，成等比数列，
所以，又所以， ………………12分
所以，即(*)．
由于，所以，即．
当时，，得．……………………………………………………14分
当时，由(*)右边知为奇数，所以左边为奇数，
所以，即代入(*)得，即，无正整数解．
综上，符合条件的所有的值为，．………………………………16分
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21．【选做题】
A． 易得， ……………………………………………5分
所以． ………………………………10分
B． 曲线：的普通方程为， …………………………4分
设过点的直线的普通方程为，
因为直线与曲线有且只有一个公共点，
所以，解得． ……………………………………………8分
从而直线的斜率为． ……………………………………………………10分
C． （1）不等式的解集是； ……………………………………4分
（2）要证，只要证，只需证，
而，
从而原不等式成立. ………………………………………………………………… 10分
22．因为平面，，所以可以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，，
，，
因为点为线段的中点，所以.
，，所以
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.……………………………………5分
（2）设平面的法向量为，
因为，，所以，，
即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
因为，，所以，，
即且，取，得，，
所以是平面的一个法向量．
所以． ……………………………………8分
所以二面角的余弦值为. ………………………………………10分
23．（1）证明：当时，，结论显然成立；
假设当时，，
则当时，，
综上，.……………………………………………………………………4分
（2）由（1）知，，所以.因为，
所以，即，6分
于是，所以，
故构成以2为公比的等比数列，其首项为.
于是，从而，
所以，即，于是，………………………………8分
因为当时，，
当时，，
所以对，有，所以，所以，
从而.………10分