2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一．选择题（共10小题）
1．在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．﹣2
2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．||＝2﹣
C． ＝ D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，小明从左面看在水平讲台上放置的圆柱形水杯和长方体形粉笔盒看到的是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD＝3，则AB的值是（　　）

A．3 B． C．6 D．
6．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
7．方程＝0的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝15 C．x＝5或x＝15 D．无解
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
9．已知P是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，PA⊥x轴于A，若S△AOP＝4，则这个反比例函数的解析式是（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．用科学记数法表示2400000000为　 　．
12．函数中，自变量x的取值范围是　 　．
13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝　 　．
14．不等式组的解集为　 　．
15．计算：×+＝　 　．
16．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是　 　．
17．不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，除颜色外均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为　 　．
18．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的面积是　 　cm2．
19．已知正方形ABCD中，点E在DC边上，DE＝4，EC＝2，如图，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点间的距离为　 　．

20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是　 　．

三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝3tan30°+2cos60°．
22．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，线段AB的端点都在格点上；
（1）在图中画出面积为10的等腰△ABC，且以BC为腰，点C在格点上；
（2）在图中画出以AB为一条对角线的矩形AMBN，且点M、N在格点上、tan∠BAN＝2；连接CM，直接写出CM的长为　 　．

23．为了解哈市今年的空气质量情况，环保部门从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图不完整的统计图：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）请估计哈市这一年（365天）达到优和良的总天数．

24．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC；
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图，若∠A＝∠C＝60°，请写出4个面积等于△ABC面积一半的几何图形．

25．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元；
（1）求键盘和鼠标的单价各是多少元？
（2）经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折．若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘多少个？
26．已知，△ABC内接于⊙O，点P是弧AB的中点，连接PA、PB；
（1）如图1，若AC＝BC，求证：AB⊥PC；
（2）如图2，若PA平分∠CPM，求证：AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BPC＝，AC＝8，求AP的值．

27．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）如图2，点P在线段AB（不包括A，B两点）上，连接CP与y轴交于点D，连接BD．PB、PD的垂直平分线交于点Q，连接DQ并延长到点F，使QF＝DQ，作FE⊥y轴于E，连结BF．求证：DF＝EF；
（3）在（2）的条件下，当△BDF的边BD＝2BF时，求点P的坐标．




2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在、0、1、﹣2这四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．﹣2
【分析】本题是对有理数的大小比较考查，根据任何负数都小于非负数，直接得出答案．
【解答】解：在有理数、0、1、﹣2中，
最大的是1，只有﹣2是负数，
∴最小的是﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，解决此类问题的关键是根据负数的性质得出答案．
2．下列运算正确的是（　　）
A．﹣（﹣x+1）＝x+1 B．||＝2﹣
C． ＝ D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】直接利用绝对值的性质以及完全平方公式以及二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣（﹣x+1）＝x﹣1，故此选项错误；
B、||＝2﹣，正确；
C、﹣＝3﹣，故此选项错误；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及完全平方公式以及二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误；
C、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
4．如图，小明从左面看在水平讲台上放置的圆柱形水杯和长方体形粉笔盒看到的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】先细心观察原立体图形中圆柱和长方体的位置关系，找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：圆柱的左视图是长方形，长方体的左视图是长方形，所以它们的左视图是：

故选：D．
【点评】考查简单组合体的三视图，解题时注意：左视图是从物体的左面看得到的视图．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD＝3，则AB的值是（　　）

A．3 B． C．6 D．
【分析】连接OD，由圆周角定理可得∠DOC＝60°，根据三角函数可求OD的长，即可求AB的长．
【解答】解：连接OD，

∵∠DOC＝2∠A＝2×30°
∴∠DOC＝60°
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°
∴tan∠DOC＝＝
∴OD＝＝＝
∴AB＝2OD＝2
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．方程＝0的解是（　　）
A．x＝5 B．x＝15 C．x＝5或x＝15 D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣5﹣10＝0，
解得：x＝15，
经检验x＝15是分式方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角α＝30°，若AC＝8，BD＝6，则平行四边形ABCD的面积是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先过点D作DE⊥AC于点E，由在?ABCD中，AC＝8，BD＝6，可求得OD的长，又由对角线AC、BD相交成的锐角α为30°，求得DE的长，△ACD的面积，则可求得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵在?ABCD中，AC＝8，BD＝6，
∴OD＝BD＝3，
∵∠α＝30°，
∴DE＝OD?sin∠α＝3×＝1.5，
∴S△ACD＝AC?DE＝×8×1.5＝6，
∴S?ABCD＝2S△ACD＝12．
故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角函数的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
9．已知P是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，PA⊥x轴于A，若S△AOP＝4，则这个反比例函数的解析式是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【分析】直接根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义求解．
【解答】解：∵PA⊥x轴于A，
∴S△AOP＝|k|＝4，
∴k＝±8，
∴这个反比例函数的解析式为y＝或y＝﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．如图，点F是?ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∴，故A正确，，
∵AD＝BC，
∴，故B正确；
∵DE∥BC，
∴，
∴，故C错误；
∵DF∥AB，
∴，故D正确．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
二．填空题（共10小题）
11．用科学记数法表示2400000000为　2.4×109　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2400000000用科学记数法表示为：2.4×109．
故答案为：2.4×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3且x≠1　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x+3≥且x﹣1≠0，解得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x+3≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣3且x≠1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，
＝x（x2﹣2xy+y2），
＝x（x﹣y）2．
故答案为：x（x﹣y）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．不等式组的解集为　6＜x＜9　．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不等式8x＞48，得：x＞6，
解不等式2（x+8）＜34，得：x＜9，
则不等式组的解集为6＜x＜9，
故答案为：6＜x＜9．
【点评】本题考查了不等式组的解法，求不等式组中每个不等式的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．计算：×+＝　7　．
【分析】先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝+5
＝2+5
＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．抛物线y＝3（x+2）2﹣7的对称轴是　x＝﹣2　．
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h即可确定．
【解答】解：∵y＝3（x+2）2﹣7，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握由抛物线的顶点坐标式写出抛物线的对称轴方程，比较容易．
17．不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，除颜色外均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为　2　．
【分析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
【解答】解：设黄球有x个，根据题意，得：
＝，
解得：x＝2，
即黄球有2个，
故答案为：2．
【点评】此题考查了概率公式的应用．解此题的关键是设黄球的个数为x个，利用方程思想求解；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，则此扇形的面积是　240π　cm2．
【分析】首先根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是R，由题意得：l＝＝20π，
解得：R＝24cm，
则扇形的面积S＝lR＝×20π×24＝24×10π＝240πcm2．
故答案是：240π．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确掌握扇形的面积公式以及弧长公式是关键．
19．已知正方形ABCD中，点E在DC边上，DE＝4，EC＝2，如图，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点间的距离为　2或10　．

【分析】分两种情况进行讨论，①当线段AE顺时针旋转时，利用题干条件得到△ADE≌△ABF1，进而得到FC＝EC；②当线段AE逆时针旋转时，利用题干条件得到△ABF2≌△ADE，进而得到F2C＝F2B+BC．
【解答】解：①当线段AD顺时针旋转得到F1点，
在△ADE和△ABF1中，
，
∴△ADE≌△ABF1，
∴DE＝BF1＝4，
∴EC＝F1C＝2；
②逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B＝DE＝4，
F2C＝F2B+BC＝10，
故答案为2或10．

【点评】本题主要考查旋转的性质和正方形的性质，解答本题的关键是注意旋转的方向，此题难度不大．
20．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，则线段AM的长是　　．

【分析】过M作MF⊥BC于F，根据矩形的性质得到∠DAB＝∠B＝90°，推出四边形ABFM是矩形，得到BF＝AM，FM＝AB＝6，根据折叠的性质得到AM＝ME，设AM＝x，则EF＝BF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过M作MF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴BF＝AM，FM＝AB＝6，
∵将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于M点，
∴AM＝ME，
设AM＝x，则EF＝BF＝x，
∴EF＝x﹣4，
在Rt△MEF中，ME2＝EF2+MF2，
∴x2＝（x﹣4）2+62，
解得：x＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝3tan30°+2cos60°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝?（a+1）
＝?（a+1）
＝，
当a＝3×+2×＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，线段AB的端点都在格点上；
（1）在图中画出面积为10的等腰△ABC，且以BC为腰，点C在格点上；
（2）在图中画出以AB为一条对角线的矩形AMBN，且点M、N在格点上、tan∠BAN＝2；连接CM，直接写出CM的长为　2　．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定和勾股定理作图即可得；
（2）根据矩形的判定和正切函数的定义作图可得．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求．


（2）如图所示，矩形AMBN即为所求，其中CM＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形和矩形的判定与性质及勾股定理的应用．
23．为了解哈市今年的空气质量情况，环保部门从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图不完整的统计图：
（1）计算被抽取的天数；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）请估计哈市这一年（365天）达到优和良的总天数．

【分析】（1）根据空气质量是良的天数是32天，所占的百分比是64%，即可求得抽查的总天数；
（2）利用抽查的总天数减去其他已知天数即可求得轻度污染的天数，并补全条形统计图；
（3）利用总天数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）32÷64%＝50（天）
答：抽取的天数是50天；

（2）样本中轻度污染的天数是50﹣8﹣32﹣3﹣1﹣1＝5（天）
画图如下：


（3）（32+8）÷50×100%＝80%，
365×80%＝292（天）．
答：该市这年空气质量达到优和良的总天数为292天．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC；
（1）求证：BE＝AF；
（2）如图，若∠A＝∠C＝60°，请写出4个面积等于△ABC面积一半的几何图形．

【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD＝∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，根据等腰三角形的判定定理得到BE＝DE，即可证得结论；
（2）根据三角形中线的性质和中位线定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∠ABD＝∠BDE，
∴AF＝DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝AF；
（2）∵∠A＝∠C＝60°，
∴AB＝BC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴BD是AC的中线，
∴△ABD的面积＝△BDC的面积＝△ABC的面积的一半，
∵DE∥AB，EF∥AC，
∴AF＝BF，BE＝EC，
∴四边形AFED的面积＝四边形FDCE的面积＝△ABC的面积的一半．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．关键是证得四边形ADEF是平行四边形．
25．为改善教学条件，学校准备对现有多媒体设备进行升级改造，已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元；
（1）求键盘和鼠标的单价各是多少元？
（2）经过与经销商洽谈，键盘打八折，鼠标打八五折．若学校计划购买键盘和鼠标共50件，且总费用不超过1820元，则最多可购买键盘多少个？
【分析】（1）设键盘的单价为x元/个，鼠标的单价为y元/个，根据“购买3个键盘和1个鼠标需要190元；购买2个键盘和3个鼠标需要220元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买键盘m个，则购买鼠标（50﹣m）个，根据总价＝单价×折扣率×数量结合总费用不超过1820元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设键盘的单价为x元/个，鼠标的单价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：键盘的单价为50元/个，鼠标的单价为40元/个．
（2）设购买键盘m个，则购买鼠标（50﹣m）个，
根据题意得：50×0.8m+40×0.85（50﹣m）≤1820，
解得：m≤20．
答：最多可购买键盘20个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．已知，△ABC内接于⊙O，点P是弧AB的中点，连接PA、PB；
（1）如图1，若AC＝BC，求证：AB⊥PC；
（2）如图2，若PA平分∠CPM，求证：AB＝AC；
（3）在（2）的条件下，若sin∠BPC＝，AC＝8，求AP的值．

【分析】（1）根据弧、弦以及圆周角的关系得出AP＝BP，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据圆周角定理、弧、弦以及圆周角的关系得出∠ABC＝∠ACB，利用等腰三角形性质解答即可；
（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，根据垂径定理的推论得到点O在AD上，连结OB，根据圆周角定理和勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）∵点P是弧AB的中点，如图1，
∴AP＝BP，
在△APC和△BPC中
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP＝∠BPC，
在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS），
∴∠AEC＝∠BEC，
∵∠AEC+∠BEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AB⊥PC；
（2）∵PA平分∠CPM，
∴∠MPA＝∠APC，
∵∠APC+∠BPC+∠ACB＝180°，∠MPA+∠APC+∠BPC＝180°，
∴∠ACB＝∠MPA＝∠APC，
∵∠APC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（3）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，
由（2）得出AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝＝7x，
在Rt△ABD中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝＝40x，
∵AC＝8，
∴AB＝40x＝8，
解得：x＝0.2，
∴OB＝5，BD＝4.8，OD＝1.4，AD＝6.4，
∵点P是的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE＝AB＝4，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，OE＝，
∴PE＝OP﹣OE＝5﹣3＝2，
在Rt△APE中，AP＝．
【点评】本题考查了圆的综合题，关键是根据弧、弦以及圆周角的关系，勾股定理、圆周角定理和解直角三角形进行解答．
27．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）如图2，点P在线段AB（不包括A，B两点）上，连接CP与y轴交于点D，连接BD．PB、PD的垂直平分线交于点Q，连接DQ并延长到点F，使QF＝DQ，作FE⊥y轴于E，连结BF．求证：DF＝EF；
（3）在（2）的条件下，当△BDF的边BD＝2BF时，求点P的坐标．

【分析】（1）设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）作辅助线，如图2，根据DQ＝QP＝QB作圆Q，证明E也在圆Q上，证出△BDO≌△COD，得出∠BDO＝∠CDO，再根据∠CDO＝∠ADP，即可得出∠BDE＝∠ADP，连接PE，根据∠ADP＝∠DEP+∠DPE，∠BDE＝∠ABD+∠OAB，∠ADP＝∠BDE，∠DEP＝∠ABD，得出∠DPE＝∠OAB，再证出∠DFE＝∠DPE＝45°，最后根据∠DEF＝90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出结论；
（3）如图3，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO＝∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，得比例式，得出FH＝2，OD＝2BH，再根据∠FHO＝∠EOH＝∠OEF＝90°，得出四边形OEFH是矩形，OE＝FH＝2，EF＝OH＝4﹣OD，根据DE＝EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式，最后根据方程的解可得P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，4），
设直线AB的函数解析式为y＝kx+4，
代入（4，0）得：4k+4＝0，
解得：k＝﹣1，
则直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；

（2）如图2，连接QP，QB，
∵PB、PD的垂直平分线交于点Q，
∴QD＝QP＝QB＝QF，
以Q为圆心，以QD为半径作⊙Q，QF是直径，
∵EF⊥y轴，
∴∠DEF＝90°，
∴E在⊙Q上，
由已知得：OB＝OC，∠BOD＝∠COD＝90°，
又∵OD＝OD，
∴△BDO≌△CDO（SAS），
∴∠BDO＝∠CDO，
∵∠CDO＝∠ADP，
∴∠BDE＝∠ADP，
连接PE
∵∠ADP是△DPE的一个外角，
∴∠ADP＝∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，
∴∠BDE＝∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP＝∠BDE，∠DEP＝∠ABD，
∴∠DPE＝∠OAB，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠DPE＝45°，
∴∠DFE＝∠DPE＝45°，
∵∠DEF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF＝EF；

（3）如图3，过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF＝90°，∠OBF+∠BFH＝90°，
∴∠DBO＝∠BFH，
又∵∠DOB＝∠BHF＝90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴＝＝2，
∴FH＝2，OD＝2BH，
∵∠FHO＝∠EOH＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OE＝FH＝2，
∴EF＝OH＝4﹣BH＝4﹣OD，
∵DE＝EF，
∴2+OD＝4﹣OD，
解得：OD＝，
∴点D的坐标为（0，），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+，
由直线AB的函数解析式为y＝﹣x+4；
得﹣x+4＝x+
解得：x＝2，
则点P的坐标为（2，2）．


【点评】此题考查了三角形和一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的判定和性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，并与方程结合解决问题．