2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区双井中学九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制）（解析版）
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区双井中学九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制）（解析版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 539.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-01-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区双井中学九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下比﹣4.5大的负整数是（ ）
A．﹣3.5 B．0 C．﹣5 D．﹣1
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．|﹣2|＝2﹣
C．﹣＝ D．﹣（﹣a+1）＝a+1
3．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3×3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3×3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
5．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
7．方程＝0的解为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．无解
8．在一块矩形地上被踩出两条宽1m（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段的长度是1m）的小路，如图，小路①的面积记作S1，小路②的面积记作S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
9．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．将473000用科学记数法表示为 ．
12．函数中x的取值范围是 ．
13．因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
14．不等式组的解集是 ．
15．计算：（﹣）＝ ．
16．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x 时，y随x的增大而减小．
17．不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 ．
18．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
19．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ．
20．已知如图矩形ABCD，沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若矩形ABCD的周长为6，则△ABE的周长为 ；
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
22．面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形，下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点，按照要求设计图形且图形的顶点在格点．
（1）在图1中画一个等腰三角形，面积为3个平方单位；
（2）在图2中画一个矩形，面积为8个平方单位．
23．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 ，圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
24．在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
25．某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．
（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
26．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．
（1）求证：①∠DAE＝∠BAC；②EC＝BD；
（2）若EC∥AB，判断AE与⊙O的位置关系；
（3）若∠CAB＝30°，BC＝6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为 ．
27．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区双井中学九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下比﹣4.5大的负整数是（ ）
A．﹣3.5 B．0 C．﹣5 D．﹣1
【分析】根据题意：设大于﹣4.5的负整数为x，则取值范围为﹣4.5＜x＜0．根据此范围易求解．
【解答】解：符合此两条件：（1）x是负整数，（2）﹣4.5＜x＜0的数有﹣3.5，﹣1．
故大于﹣4.5的负整数有﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了比较有理数的大小，比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．|﹣2|＝2﹣
C．﹣＝ D．﹣（﹣a+1）＝a+1
【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．
【解答】解：A、原式＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
B、原式＝2﹣，故本选项正确；
C、原式＝2﹣，故本选项错误；
D、原式＝a﹣1，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．
3．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3×3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3×3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为3×3的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为3×3的正方形，为保证正视图与左视图也为3×3的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数．
【解答】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为3×3的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6+6＝12个．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，解决此类图的关键是由立体图形得到三视图．
5．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．方程＝0的解为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．无解
【分析】根据解分式方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以x﹣5，得：2﹣x+3＝0，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣5＝0，
所以方程无解．
故选：D．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
8．在一块矩形地上被踩出两条宽1m（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段的长度是1m）的小路，如图，小路①的面积记作S1，小路②的面积记作S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【分析】根据题意可知，小路①、②的面积都相当于长为AB、宽为1米的长方形的面积．
【解答】解：∵过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是1米，
∴S1＝1×AB；S2＝1×AB，
∴S1＝S2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形．
9．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（a，b）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴ab＝k且＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据已知条件得到DE：CD＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（）2＝，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．将473000用科学记数法表示为 4.73×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．
故答案为：4.73×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数中x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】由于是二次根式，同时也在分母的位置，由此即可确定x的取值范围．
【解答】解：∵是二次根式，同时也是分母，
∴x﹣2＞0，
∴x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题主要考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．因式分解：x2y﹣4y3＝ y（x﹣2y）（x+2y） ．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．不等式组的解集是 1≤x＜3 ．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≥0得：x≥1，
解不等式2x﹣5＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．计算：（﹣）＝ 2 ．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（4﹣2）÷
＝2÷
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x ＜2 时，y随x的增大而减小．
【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
【解答】解：在y＝（x﹣2）2﹣3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．
17．不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 ．
【分析】用卡片上数字是偶数的张数除以总张数即可．
【解答】解：∵有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，其中卡片上数字是偶数的有2张，
∴抽取的卡片上数字是偶数的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，是一道基础题．
18．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
【点评】此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．
19．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ≤DF≤+1 ．
【分析】由题意可求AF＝，且点F是以A为圆心，为半径的圆上一点，即可求DF的取值范围．
【解答】解：∵正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1
∴AF＝
∴点F是以A为圆心，为半径的圆上一点
∴当F，D，A三点共线且D在线段AF之间时，DF最短为﹣1
当F，D，A三点共线且A在线段DF之间时，DF最长为+1
∴≤DF≤+1
故答案为≤DF≤+1
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用点F的轨迹求DF的取值范围是本题的关键．
20．已知如图矩形ABCD，沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若矩形ABCD的周长为6，则△ABE的周长为 3 ；
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，矩形ABCD的周长为6，根据折叠的性质得到∠C′＝∠C，C′D＝CD，等量代换得到∠A＝∠C′，AB＝C′D，根据全等三角形的性质得到BE＝DE，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵矩形ABCD的周长为6，
∴AB+AD＝3，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，
∴∠C′＝∠C，C′D＝CD，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，∠C′BD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a＝
原式＝?
＝?
＝
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形，下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点，按照要求设计图形且图形的顶点在格点．
（1）在图1中画一个等腰三角形，面积为3个平方单位；
（2）在图2中画一个矩形，面积为8个平方单位．
【分析】（1）根据单位三角形的面积得出其边长和高，据此结合等腰三角形的定义可得；
（2）利用单位三角形的边长和高，结合矩形的定义作图即可得．
【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2所示，矩形DEFG即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质及矩形的定义．
23．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 35% ，圆心角度数是 126 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，
故答案为：35%，126；
（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），
补全图形如下：
；
（3）根据题意得：2100×＝1344（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
24．在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件DE＝BF可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵DE＝BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
25．某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．
（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【分析】（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，根据花66万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，根据总价＝单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，
根据题意得：，
解得：．
答：该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套．
（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，
根据题意得：1.5（20﹣m）+1.2（30+1.5m）≤68，
解得：m≤，
∵m为整数，
∴m≤6．
答：A种品牌的教学设备购进数量至多减少6套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．
（1）求证：①∠DAE＝∠BAC；②EC＝BD；
（2）若EC∥AB，判断AE与⊙O的位置关系；
（3）若∠CAB＝30°，BC＝6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为 7π ．
【分析】（1）①根据圆的内接四边形的性质，可求∠DAE＝∠BAC，②由题意可证△EAC≌△DAB，可得EC＝BD；
（2）连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，由BO＝CO，AB＝AC，可得AH垂直平分BC，由圆的内接四边形的性质和平行线的性质，可求AE∥BC，可得EA⊥AH，即可判断AE与⊙O的位置关系；
（3）连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC＝∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC．由题意可得BO＝CO＝BC＝6，可证△AGC≌△AFC，可得AG＝AF＝12，∠AGF＝∠AFG＝∠ABC＝75°，即可证点A，点E，点G，点C四点共圆，则可求点E运动路径的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠ABC
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC
同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∴∠EAD＝∠BAC
②
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB
又∵AE＝AD，AC＝AB
∴△EAC≌△DAB（SAS）
∴EC＝DB
（2）连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，
∵BO＝CO，AB＝AC，
∴AH垂直平分BC，即AH⊥BC
∵CE∥AB，
∴∠E+∠EAB＝180°，
∵∠E＝∠ADE，∠ADE＝∠ABC，
∴∠E＝∠ABC，
∴∠ABC+∠EAB＝180°，
∴AE∥BC
∴∠EAH＝180°﹣∠AHC＝90°，
∴EA⊥AH，且OA是半径，
∴AE与⊙O相切
（3）连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC＝∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC
∵∠BAC＝30°
∴∠BOC＝60°，且OB＝OC
∴△OBC是等边三角形
∴OB＝OC＝BC＝6
∵AB＝AC，∠BAC＝30°
∴∠ABC＝75°
∵AF是直径
∴AF＝12，∠ACF＝90°
∵∠ACF＝∠ACG＝90°，∠GAC＝∠FAC，AC＝AC
∴△AGC≌△AFC（ASA）
∴AG＝AF＝12，∠AGF＝∠AFG＝∠ABC＝75°
∴∠GAC＝15°
∵∠ABC＝∠AED，∠AGF＝∠ABC
∴∠AGF＝∠AED
∴点A，点E，点G，点C四点共圆
∵∠ACG＝90°
∴AG是过点A，点E，点G，点C四点的圆的直径
即点E在以AG为直径的圆上．
∵AH＝HC
∴∠GAC＝HCA＝15°
∴∠AHC＝150°
∵点D从点A运动到点C处
∴点E绕点H旋转210°
∴点E运动路径的长为＝＝7π
故答案为：7π
【点评】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键．
27．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于 CB的延长线上 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 a+b （用含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝6；
（3）连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2 +3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．
如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2﹣，﹣）时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标（2﹣，）或（2﹣，﹣），AM的最大值为2+3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下比﹣4.5大的负整数是（ ）
A．﹣3.5 B．0 C．﹣5 D．﹣1
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．|﹣2|＝2﹣
C．﹣＝ D．﹣（﹣a+1）＝a+1
3．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3×3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3×3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
5．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
7．方程＝0的解为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．无解
8．在一块矩形地上被踩出两条宽1m（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段的长度是1m）的小路，如图，小路①的面积记作S1，小路②的面积记作S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
9．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．将473000用科学记数法表示为 ．
12．函数中x的取值范围是 ．
13．因式分解：x2y﹣4y3＝ ．
14．不等式组的解集是 ．
15．计算：（﹣）＝ ．
16．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x 时，y随x的增大而减小．
17．不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 ．
18．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 度．
19．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ．
20．已知如图矩形ABCD，沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若矩形ABCD的周长为6，则△ABE的周长为 ；
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
22．面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形，下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点，按照要求设计图形且图形的顶点在格点．
（1）在图1中画一个等腰三角形，面积为3个平方单位；
（2）在图2中画一个矩形，面积为8个平方单位．
23．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 ，圆心角度数是 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
24．在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
25．某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．
（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
26．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．
（1）求证：①∠DAE＝∠BAC；②EC＝BD；
（2）若EC∥AB，判断AE与⊙O的位置关系；
（3）若∠CAB＝30°，BC＝6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为 ．
27．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市呼兰区双井中学九年级（上）期末数学模拟试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．以下比﹣4.5大的负整数是（ ）
A．﹣3.5 B．0 C．﹣5 D．﹣1
【分析】根据题意：设大于﹣4.5的负整数为x，则取值范围为﹣4.5＜x＜0．根据此范围易求解．
【解答】解：符合此两条件：（1）x是负整数，（2）﹣4.5＜x＜0的数有﹣3.5，﹣1．
故大于﹣4.5的负整数有﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了比较有理数的大小，比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．|﹣2|＝2﹣
C．﹣＝ D．﹣（﹣a+1）＝a+1
【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答．
【解答】解：A、原式＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
B、原式＝2﹣，故本选项正确；
C、原式＝2﹣，故本选项错误；
D、原式＝a﹣1，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去括号，属于基础题，难度不大．
3．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是3×3的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为3×3的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为3×3的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为3×3的正方形，为保证正视图与左视图也为3×3的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数．
【解答】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为3×3的正方形，
则最多能拿掉小立方块的个数为6+6＝12个．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，解决此类图的关键是由立体图形得到三视图．
5．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【分析】根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝40°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝80°，
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．方程＝0的解为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．无解
【分析】根据解分式方程的步骤依次计算可得．
【解答】解：两边都乘以x﹣5，得：2﹣x+3＝0，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣5＝0，
所以方程无解．
故选：D．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
8．在一块矩形地上被踩出两条宽1m（过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段的长度是1m）的小路，如图，小路①的面积记作S1，小路②的面积记作S2，则S1与S2的大小关系为（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【分析】根据题意可知，小路①、②的面积都相当于长为AB、宽为1米的长方形的面积．
【解答】解：∵过A，B间任意一点作AD的平行线，被每条小路截得的线段长都是1米，
∴S1＝1×AB；S2＝1×AB，
∴S1＝S2．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形．
9．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（a，b）是反比例函y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴ab＝k且＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝3：4，连接AE交对角线BD于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．3：4：7 B．9：16：49 C．9：21：49 D．3：7：49
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据已知条件得到DE：CD＝3：7，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：CE＝3：4，
∴DE：CD＝3：7，
∴DE：AB＝3：7，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝，
∴S△DEF：S△ADF：＝3：7，S△DEF：S△ABF＝（）2＝，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于9：21：49，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．将473000用科学记数法表示为 4.73×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．
故答案为：4.73×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数中x的取值范围是 x＞2 ．
【分析】由于是二次根式，同时也在分母的位置，由此即可确定x的取值范围．
【解答】解：∵是二次根式，同时也是分母，
∴x﹣2＞0，
∴x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题主要考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
13．因式分解：x2y﹣4y3＝ y（x﹣2y）（x+2y） ．
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．
故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．不等式组的解集是 1≤x＜3 ．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出公共部分即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≥0得：x≥1，
解不等式2x﹣5＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故答案为：1≤x＜3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15．计算：（﹣）＝ 2 ．
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（4﹣2）÷
＝2÷
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x ＜2 时，y随x的增大而减小．
【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．
【解答】解：在y＝（x﹣2）2﹣3中，a＝1，
∵a＞0，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为x＝2，
当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；
当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．
故答案为：＜2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．
17．不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字是偶数的概率是 ．
【分析】用卡片上数字是偶数的张数除以总张数即可．
【解答】解：∵有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4，其中卡片上数字是偶数的有2张，
∴抽取的卡片上数字是偶数的概率是＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，是一道基础题．
18．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是 150 度．
【分析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．
【解答】解：扇形的面积公式＝lr＝240πcm2，
解得：r＝24cm，
又∵l＝＝20πcm，
∴n＝150°．
故答案为：150．
【点评】此题主要是利用扇形的面积公式先求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角．
19．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1，正方形AEFG绕正方形ABCD的顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长取值范围为 ≤DF≤+1 ．
【分析】由题意可求AF＝，且点F是以A为圆心，为半径的圆上一点，即可求DF的取值范围．
【解答】解：∵正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为1
∴AF＝
∴点F是以A为圆心，为半径的圆上一点
∴当F，D，A三点共线且D在线段AF之间时，DF最短为﹣1
当F，D，A三点共线且A在线段DF之间时，DF最长为+1
∴≤DF≤+1
故答案为≤DF≤+1
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用点F的轨迹求DF的取值范围是本题的关键．
20．已知如图矩形ABCD，沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，若矩形ABCD的周长为6，则△ABE的周长为 3 ；
【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，矩形ABCD的周长为6，根据折叠的性质得到∠C′＝∠C，C′D＝CD，等量代换得到∠A＝∠C′，AB＝C′D，根据全等三角形的性质得到BE＝DE，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵矩形ABCD的周长为6，
∴AB+AD＝3，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，
∴∠C′＝∠C，C′D＝CD，
∴∠A＝∠C′，AB＝C′D，∠C′BD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a＝
原式＝?
＝?
＝
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．面积为1个平方单位的正三角形，称为单位正三角形，下面图中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点，按照要求设计图形且图形的顶点在格点．
（1）在图1中画一个等腰三角形，面积为3个平方单位；
（2）在图2中画一个矩形，面积为8个平方单位．
【分析】（1）根据单位三角形的面积得出其边长和高，据此结合等腰三角形的定义可得；
（2）利用单位三角形的边长和高，结合矩形的定义作图即可得．
【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2所示，矩形DEFG即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质及矩形的定义．
23．《如果想毁掉一个孩子，就给他一部手机!》这是2017年微信圈一篇热传的文章．国际上，法国教育部宣布从2018年9月新学期起小学和初中禁止学生使用手机．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“玩游戏”对应的百分比为 35% ，圆心角度数是 126 度；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数．
【分析】（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以360即可得到结果；
（2）求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的百分比乘以2100即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：1﹣（40%+18%+7%）＝35%，
则“玩游戏”对应的圆心角度数是360°×35%＝126°，
故答案为：35%，126；
（2）根据题意得：40÷40%＝100（人），
∴3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32（人），
补全图形如下：
；
（3）根据题意得：2100×＝1344（人），
则每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）的人数约有1344人．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
24．在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件DE＝BF可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵DE＝BF，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
25．某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A B
进价（万元/套） 1.5 1.2
售价（万元/套） 1.8 1.4
该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．
（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【分析】（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，根据花66万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，根据总价＝单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设该公司计划购进A种品牌的教学设备x套，购进B种品牌的教学设备y套，
根据题意得：，
解得：．
答：该公司计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套．
（2）设A种品牌的教学设备购进数量减少m套，则B种品牌的教学设备购进数量增加1.5m套，
根据题意得：1.5（20﹣m）+1.2（30+1.5m）≤68，
解得：m≤，
∵m为整数，
∴m≤6．
答：A种品牌的教学设备购进数量至多减少6套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点，连接CD并延长至点E，使得AE＝AD．
（1）求证：①∠DAE＝∠BAC；②EC＝BD；
（2）若EC∥AB，判断AE与⊙O的位置关系；
（3）若∠CAB＝30°，BC＝6，点D从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为 7π ．
【分析】（1）①根据圆的内接四边形的性质，可求∠DAE＝∠BAC，②由题意可证△EAC≌△DAB，可得EC＝BD；
（2）连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，由BO＝CO，AB＝AC，可得AH垂直平分BC，由圆的内接四边形的性质和平行线的性质，可求AE∥BC，可得EA⊥AH，即可判断AE与⊙O的位置关系；
（3）连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC＝∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC．由题意可得BO＝CO＝BC＝6，可证△AGC≌△AFC，可得AG＝AF＝12，∠AGF＝∠AFG＝∠ABC＝75°，即可证点A，点E，点G，点C四点共圆，则可求点E运动路径的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC+∠ADE＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC
∴∠ACB＝∠ABC
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC
同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∴∠EAD＝∠BAC
②
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠EAC＝∠DAB
又∵AE＝AD，AC＝AB
∴△EAC≌△DAB（SAS）
∴EC＝DB
（2）连接AO并延长交BC于点H，连接BO、CO，
∵BO＝CO，AB＝AC，
∴AH垂直平分BC，即AH⊥BC
∵CE∥AB，
∴∠E+∠EAB＝180°，
∵∠E＝∠ADE，∠ADE＝∠ABC，
∴∠E＝∠ABC，
∴∠ABC+∠EAB＝180°，
∴AE∥BC
∴∠EAH＝180°﹣∠AHC＝90°，
∴EA⊥AH，且OA是半径，
∴AE与⊙O相切
（3）连接AO并延长交⊙O于点F，连接FC，作∠GAC＝∠FAC，交FC的延长线于点G，取AG中点H，连接HC，OB，OC
∵∠BAC＝30°
∴∠BOC＝60°，且OB＝OC
∴△OBC是等边三角形
∴OB＝OC＝BC＝6
∵AB＝AC，∠BAC＝30°
∴∠ABC＝75°
∵AF是直径
∴AF＝12，∠ACF＝90°
∵∠ACF＝∠ACG＝90°，∠GAC＝∠FAC，AC＝AC
∴△AGC≌△AFC（ASA）
∴AG＝AF＝12，∠AGF＝∠AFG＝∠ABC＝75°
∴∠GAC＝15°
∵∠ABC＝∠AED，∠AGF＝∠ABC
∴∠AGF＝∠AED
∴点A，点E，点G，点C四点共圆
∵∠ACG＝90°
∴AG是过点A，点E，点G，点C四点的圆的直径
即点E在以AG为直径的圆上．
∵AH＝HC
∴∠GAC＝HCA＝15°
∴∠AHC＝150°
∵点D从点A运动到点C处
∴点E绕点H旋转210°
∴点E运动路径的长为＝＝7π
故答案为：7π
【点评】本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线是本题的关键．
27．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b且填空：当点A位于 CB的延长线上 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 a+b （用含a、b的式子表示）．
（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；
（2）①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；
（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，
∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB＝a+b，
故答案为：CB的延长线上，a+b；
（2）①CD＝BE，
理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝6；
（3）连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2 +3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．
如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2﹣，﹣）时，也满足条件．
综上所述，满足条件的点P坐标（2﹣，）或（2﹣，﹣），AM的最大值为2+3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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