陕西省黄陵中学2018-2019学年高二（普通班）上学期期末考试数学（理）试题

高二普通班数学试题（理科）
选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.设命题P：nN，>，则P为
A nN, > B nN, ≤
C nN, ≤ D nN, =
2．已知向量a＝(－1,3)，b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k的值是(　　)
A k＝3　　　　　　　　 B k＝－3
C k＝ D k＝－
3. 设a, b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(　　).
A 若a≠-b,则|a|≠|b|
B 若a=-b,则|a|≠|b|
C 若|a|≠|b|,则a≠-b
D 若|a|=|b|,则a=-b
4．命题“若a>0，则a2>0”的否定是(　　)
A 若a>0，则a2≤0　 B 若a2>0，则a>0
C 若a≤0，则a2>0 D 若a≤0，则a2≤0
5. “a＞0”是“＞0”的
A 充分不必要条件 B必要不充分条件
C 充要条件 D既不充分也不必要条件
6. 已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是(　　)
A 命题“p∧q”是真命题 B 命题“p∧q”是假命题
C 命题“p∨q”是真命题 D 命题“p∧q”是假命题
若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A 或为假 B 假 C 真 D 不能判断的真假

8．若向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　)
A x＝1，y＝1 B x＝，y＝－
C x＝，y＝－ D x＝－，y＝
9．如图所示正方体的棱长为1 ，则点的坐标是（ ）
A B C D
10.平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(　　)
A (，－1，－1) B (6，－2，－2)
C (4,2,2) D (－1,1,4)
11.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若，则x＋y＋z等于(　 　)
A B C D
如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　)
A B C D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a +2 b |= ________．
14.命题“若a已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________．
16. 给出下列结论：
(1)当p是真命题时，“p且q”一定是真命题；
(2)当p是假命题时，“p且q”一定是假命题；
(3)当“p且q”是假命题时，p一定是假命题；
(4)当“p且q”是真命题时，p一定是真命题．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，70分)
17．(本小题满分10分)
已知向量a，b,|a|＝1，|b|＝2，(2a＋3b)·(b－2a)＝12.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
(本小题满分12分)
若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(本小题满分12分)
已知命题p：函数y＝是增函数，命题q：?x∈R，ax2－ax＋1＞0恒成立．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
(本小题满分12分)
长方体中，
（1）求直线所成角；
（2）求直线所成角的正弦.
21.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点．
（1）求证:平面;
（2）求平面和平面的夹角
22.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
A
A
D
B
C
C
D
B
C
[解析]　(1)∵(2a＋3b)·(b－2a)＝－4a·b－4a2＋3b2
＝－4×1×2×cosθ－4×1＋3×4
＝－8cosθ＋8＝12，
∴cosθ＝－，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)由(1)知a·b＝|a|·|b|cos＝1×2×(－)＝－1.
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－2＋4＝3，
∴|a＋b|＝.
解：逆命题：若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0，是假命题．
否命题：若ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，是假命题．
逆否命题：若方程ax2＋bx＋c＝0没有两个不相等的实数根，则ac≥0，是真命题．

解：若命题p真?a＞1，若命题q真，
则或a＝0?0≤a＜4.
因为p∧q假，p∧q真，
所以 命题p与q一真一假．
当命题p真q假时，?a≥4.
当命题p假q真时，?0≤a≤1.
所以所求a的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞)
解：以D为原点建系
（1）
直线所成角为90°
（2）

所求角的正弦值为
解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量
建立空间直角坐标系
则.
.
设平面的法向量为
即 令
则.

又平面平面
（2）底面是正方形,又平面
又,平面
向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.

二面角的平面角为.
22（12分）
解：（Ⅰ）因为, 由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD. 故PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则
,,,．
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则
由,因此可取
设平面PBC的法向量为，
同理得（0，-1， ） ,所以
故二面角A-PB-C的余弦值为 .