江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

常州市2019届高三上学期期末试卷
数学2019．1
参考公式：样本数据的方差，其中.
柱体的体积，其中为柱体的底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1、已知集合，则________.
答案：｛1｝
考点：集合的运算。
解析：取集合A，B的公共部分，得：｛1｝
2.已知复数满足（是虚数单位），则复数________.
答案：－
考点：复数的运算。
解析：
3、已知5位裁判给某运动员打出的分数为，且这5个分数的平均
数为，则实数________.
答案：9.5
考点：平均数的计算。
解析：
解得：x＝9.5
4、一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的值为，则输入的实数的
值为________.

答案：3
考点：算法初步。
解析：如果x≥1，则＝1，解得：x＝3
如果x＜1，则＝1，无解
所以，答案是：3
5.函数的定义域为________.
答案：（0，e]
考点：函数的定义域，对函数的性质。
解析：，得，所以，
6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.
答案：
考点：古典概型。
解析：设3门理科为A、B、C，2门文科为1、2，
从中任选2门有：AB、AC、A1、A2、BC、B1、B2、C1、C2、12，共10种，
恰好选中1文1理的有：A1、A2、B1、B2、C1、C2，共6种
所求概率为：P＝
7.已知双曲线的离心率为2，直线经过双曲线的焦点，则双曲线的渐近线方程为________.
答案：
考点：双曲线的性质。
解析：直线与x轴交点为（－2,0），
双曲线的焦点在x轴上，直线经过双曲线的焦点，所以，c＝2，
离心率，所以，，
渐近线方程为：

8、已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的体积的比值为________.

答案：
考点：圆锥、圆柱的体积。
解析：设圆锥的底面圆半径为R，圆柱的底面圆半径为r，
因为P为SO中点，所以，，
＝
9.已知正数满足，则的最小值为________.
答案：4
考点：基本不等式。
解析：＝＝＝＝4，
当，即时，的最小值为4
10、若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数
________.
答案：
考点：函数的导数及其应用。
解析：的导函数为：，设切点为（），
则：，解得：，，
11、已知函数是偶函数，点是函数图象
的对称中心，则最小值为________.
答案：
考点：三角函数的诱导公式，余弦函数的图象及其性质。
解析：函数是偶函数，所以，，
，点（1,0）是对称中心，
，，
因为＞0，所以，的最小值为
12、平面内不共线的三点，满足，点为线段的中点，的平分线交线段于，若|，则________.
答案：
考点：角平分线定理，平向向量的三角形法则。
解析：因为C为AB中点，所以，，
，解得：＝－1
因为OD为角平分线，所以，，

所以，＝＝，
所以，

13、过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.
答案：
考点：直线与圆的方程。
解析：＝1，因为PQ为直径，所以，＝－1，
所以，，即∠QAO＝∠NAO＝∠OQA，
所以，∠NOA＝2∠OAQ＝2∠OAN，
又因为AQ为直径，所以，∠NOA+∠OAN＝90°，从而有∠NOA＝60°，
所以，
直线的方程为

14、数列满足，且数列的前项和为，已知数列的前项和为1，那么数列的首项________.
答案：
考点：数列的前n项和求通项公式，等差数列的前n项和。
解析：设数列的前项和分别为Sn、Tn，则Tn＝，
b1＝1，bn＝，
所以，，，
n为奇数时，，，
n为偶数时，，，
数列的前项和为1，即，即
＝
又＋＝+
＝+＝
所以，＝，
＝＝

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点.
求证：（1）//平面；
（2）平面平面.




16. (本小题满分14分)
已知中，分别为三个内角的对边，且.
(1) 求角；
(2) 若，且，求的周长.

















17.(本小题满分14分)
已知，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在椭圆上，其中，且点是椭圆位于第一象限的交点.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过轴上一点的直线与椭圆相切，与椭圆交于点，已知，求直线的斜率.










18. (本小题满分16分)
某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴米，两根竖轴米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为米.
(1) 若，且两根横轴之间的距离为米，求景观窗格的外框总长度；
(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过米，当景观窗格的面积（多边形的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中的大小与的长度.
















19. (本小题满分16分)
已知数列中，，且.
(1) 求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
(2) 数列中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.

















20.(本小题满分16分)
已知函数，函数.
(1) 若，求曲线在点处的切线方程；
(2) 若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
(3) 若函数对恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，)

























数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知点在矩阵对应的变换作用下得到的点，求：
（1）矩阵；（2）矩阵的特征值及对应的特征向量.











B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，求直线被曲线所截的弦长.









C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知，求证：.

















【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥的高，点和分别在轴和轴上，且，点是棱的中点.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值.



23.是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.












常州市2019届高三年级期末考试
数学参考答案
1、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1、｛1｝　　　　2、－　　　　　3、9.5　　　4、3　　　5、（0，e]
6、　　　　　7、　　8、　　　9、4　　　10、
11、　　　　12、　　　　　13、　　　　14、
2、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内
15、（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO，NO

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AB1的中点，OM∥BB1，且OM＝BB1，
依题意，有CN∥BB1，且CN＝BB1，
∴　OM∥CN，且OM＝CN
∴　四边形CMON为平行四边形，
∴　CM∥ON
而CM平面AB1N，ON平面AB1N，
∴　CM∥平面AB1N。
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴　BB1⊥CM，
又CM⊥AB，AB∩BB1＝B，∴　CM⊥平面ABB1A1，
因为CM∥ON，∴　ON⊥平面ABB1A1
ON平面A1BN，
∴　平面A1BN⊥平面ABB1A1
16、（1）由已知，得：，
由余弦定理，得：cosA＝，由此可以判断A为锐角，
又＝1，所以，＝1，即，
所以，A＝；
（2）A＝，B＋C＝，
＝＝3，
化简，得：，所以，tanB＝，B＝；
所以，三角形ABC为等边三角形，其周长为：＝6

17、（1）如下图所示，依题意，得：c＝b，所以，，
所以，椭圆C1为：，将点代入，解得：b＝1，
所以，C1：，C2：



18、

19、

20、




附加题答案
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
解：（1），所以，，解得：
所以，
（2）矩阵的特征多项式

令＝0，得矩阵的特征值：或
时，，得一非零解：，对应特征向量：
时，，得一非零解：，对应特征向量：

B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
解：直线的，
圆C化为：
即，圆心为（1,1），半径R＝
圆心到直线距离为：
所截弦长为：

C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
证明：



上面三式相加，得：

所以，

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
解：（1）P（0，0，2），A（0，－1，0），B（1，0，0），M（0，，1），
＝（0，1，2），＝（1，1，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝2，y＝－2，z＝1，＝（2，－2，1），
＝（0，，1），
，得cosθ＝＝。
即线与平面所成角的正弦值为
（2）C（0，1，0），P（0，0，2），B（1，0，0）
＝（－1，0，2），＝（－1，1，0），设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝2，y＝2，z＝1，＝（2，2，1），
，得cosα＝。
二面角的余弦值为－
23、，

＝
＝+＋
＝
＝
所以，，