广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学理试题（解析版）

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考
理科数学
四校：华南师大附中、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页， 满分150分，考试用时120分钟.
第一部分 选择题 (共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则复数的共轭复数的虚部为
A. B. C. D.
答案：A
考点：复数概念及计算。
解析：，，虚部为
2.设，，则下列不等式中恒成立的是
A. B. C. D.
答案：C
考点：不等式的性质。
解析：对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；
对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。
对于C，，所以选项C正确；
对于D，取反例：
3.已知是等比数列，，，则
A. B. C. D.
答案：C
考点：等比数列的通项公式，前n项和。
解析：由已知求得，数列的公比，，
，
数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，选C.
4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
考点：充分必要条件。
解析：“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以是的充分条件，另一方面，显然、在等高处的截面积不恒相等，、的体积可能相等，因此不是的必要条件，所以答案选A.

5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是
A. B.
C. D.

答案：B
考点：程序框图。
解析：第1次循环，，；第2次循环，，；第3次循环，，；
第4次循环，，，；当时，退出循环，所以，答案选B.

6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A. B.　　　　C. D.

答案：B
考点：几何概型，积分。
解析：阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.
7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为
A. B. C. D.
答案：C
考点：三角函数图象的平移变换。
解析：将图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到，再将的图像上所有点向右平移个单位长度，得到，其图像关于轴对称，所以，即，所以最小值为，答案选C.
8.的展开式中常数项为
A. B. C. D.
答案：C
考点：二项式定理。
解析：.的展开式中常数项为，答案选C.
9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值
A.有最大值 B.是定值 C.有最小值 D.与点的位置有关
答案：B
考点：平面向量的三角形法则，数量积。
解析：如图，为边的中点，，答案选B.

10.函数的部分图像大致是

答案：B
考点：函数的奇偶性，单调性。
解析：定义域，是定义域上的偶函数，排除A；当时，，排除C；当时，，排除D，所以选B.
11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
答案：D
考点：椭圆的性质。
解析：设，，，由线段的中垂线过点得，即，得，即，得，解得，故，故选D.
12.已知函数，，则函数的所有零点之和等于
A. B. C. D.
答案：D
考点：函数的零眯，三角恒谦变换，数形结合法。
解析：

，由得到或者.当时，，，；
当时，，，，；所以的所有零点之和等于，选D.
另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令，则，在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示，两个函数图像在区间有7个交点，所以有7个零点，其中3个零点是，，，另外四个零点为图中的，，，，由对称性可知，，，所以的所有零点之和等于，选D.

第二部分 非选择题 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为 ※※ .
答案：或（答对一个给3分）
考点：直线与圆的位置关系。
解析：为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于，即，解得或.

14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元.
答案：30
考点：线性规划，解应用题。
解析：设该厂生产车皮甲肥料，车皮乙肥料获得的利润为万元，则约束条件为，目标函数为，如图所示，
最优解为，所以.


15.已知等差数列的前项和为，且，，数列的前项和为，且对于任意的N*，，则实数的取值范围为 ※※ .
答案：
考点：等差数列的通项公式，裂项法求数列的前n项。
解析：设公差为，则根据已知条件得到，解得，所以. ，
恒成立，所以，且
恒成立，由于当且仅当时取等号，所以.

16.在半径为4的球的球面上有不同的四点，，，，若，则平面被球所截得的图形的面积为 ※※ .
答案：
考点：球与锥体。
解析：考虑到，则球心与点在平面的两侧，且是等边三角形.由于，则点在平面上的射影是的外心，同理，点在平面上的射影也是的外心，设的外心为，从而平面于点，所以，且是的中点，，是平面被球所截得的圆的半径，所以圆的面积是.

三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.

18.（12分）等边的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（图1）.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，（图2）.

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
19.（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.


20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：

（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关？

（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，

21.（12分）已知函数，R.
（1）试讨论函数的极值点的个数；
（2）若N*，且恒成立，求的最大值.
参考数据：


（二）选考题：共10分.请考生从给出的第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.


23.（10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求实数的取值范围.






华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.或（答对一个给3分） 14. 30 15. 16.

三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）因为，且，
所以…………………………………………………………1分
在中，
所以……………………………………………………………2分
所以
所以………………………………………………………………3分
因为在中，
所以 …………………………………………………………………………4分
因为是的内角
所以.………………………………………………………………………………………5分
（没有说明或的范围，扣1分）
（2）在中，…………………6分
因为是等腰直角三角形，
所以 …………………………………………………7分
……………………………………………………………8分
所以平面四边形的面积
………………………………………9分
因为，所以…………………………………………………10分
所以当时，， …………………………………………………………11分
此时平面四边形的面积有最大值.……………………………………………12分
18.（1）证明：如图1，在中，，
得到…………………………………………1分
所以，从而 ……………………………………2分
所以在图2中，
是二面角的平面角……………………………………………………………3分
所以，即
又因为，平面
所以平面.……………………………………………………………………………5分
（2）方法一：向量法
由（1）知，两两垂直，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………………………………………………………6分
则，，，，且.………………7分
假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，设，其中，
…………………………………8分
平面的一个法向量为……………………………………………………9分
则 ……………10分
解得…………………………………………………………………………………11分
所以存在满足要求的点，且线段的长度为.…………………………………12分
方法二：传统法
由（1）知平面，因为平面，
所以平面平面.………………………………………………………6分
假设线段上存在点，使直线与平面所成的角为，作于，则平面. ……………………………………………………………………………7分
连接，则就是直线与平面所成的角.………………………………8分
设，则，……9分
……………………10分
……………………………11分
解得
所以存在满足要求的点，且线段的长度为.…………………………………………12分
19.解：（1）因为，所以，……① ………………………………………………1分
将点坐标代入椭圆标准方程，得到……② ……………………………2分
联立①②，解得………………………………………………………………………3分
所以椭圆的标准方程为. …………………………………………………4分
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，并设，，线段中点在直线上，
所以……………………………………………………………5分
因为，两式相减得到

因为
所以……………………………………………………………………………………6分
由，消去得到关于的一元二次方程并化简得

，解得……………………………………7分
…………………………………………………………………8分
原点到直线的距离………………………………………………………9分

…………………………………10分
…………………………………………………………11分
当且仅当时取等号……………………………………………………………12分
综上，当时，面积最大值为，此时直线方程为.
（没有总结语，扣1分）

20.解：（1）

……………………………2分
的观测值…………………………………3分
所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分
（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. ………5分
由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为； ……………6分
女员工实得计件工资超过3100元的概率为. ………………………………7分
设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则.
的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分



……………………………………10分
随机变量的分布列为


…………………………11分


.…………………………………………………12分

21.解：（1）函数的定义域为.
………………………………………………………………………………1分
①当时，，在定义域单调递减，没有极值点；…………2分
②当时，在单调递减且图像连续，，时，，所以存在唯一正数，使得，
函数在单调递增，在单调递减，
所以函数有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………3分
综上：当时，没有极值点；
当时，有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………4分
（2）方法一：
由（1）知，当时，有唯一极大值点，所以，
恒成立…………………………………………………………5分
因为，所以，所以.
令，则在单调递增，
由于，，
所以存在唯一正数，使得，
从而.………………………………………………………………………………6分
由于恒成立，
①当时，成立；
②当时，由于，所以.………………………………7分
令，当时，，所以在单调递减，从而.因为，且，且N*，所以.……………………………………………………………………………………8分
下面证明时，.
，且在单调递减，由于，
所以存在唯一，使得，………………………9分
所以. ……10分
令，，易知在单调递减，
所以，
所以 …………………………………11分
即时，.
所以的最大值是10. ………………………………………………………………………12分

方法二：
由于恒成立，所以
，；
，；
，；
因为N*，所以猜想：的最大值是10. ………………………………………………………6分
下面证明时，.
，且在单调递减，由于，
所以存在唯一，使得，……………………………8分
所以. ……9分
令，，易知在单调递减，
所以， ………………10分
所以……………………………………………11分
即时，.
所以的最大值是10.………………………………………………………………………………12分
22．解：（1）由，得到……………………………1分
因为
所以直线普通方程为.………………………………………………………………2分
设，则点到直线的距离
……………………4分
当时，
所以点到直线的距离的最大值为.…………………………………………………5分
（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，
所以对R恒成立，……………………………………………………7分
，其中………………………………8分
从而……………………………………………………………………………9分
由于，解得实数的取值范围是. ……………………………………10分
23.解：（1）当时，……………………1分
因为，所以或者或者………………………3分
解得：或者，
所以不等式的解集为.…………………………………………………5分
（2）对于任意实数，，不等式恒成立，等价于……………………………………………………………6分
因为，当且仅当时等号成立，
所以…………………………………………………………………7分
因为时，
函数单增区间为，单间区减为，
所以当时，………………………………………9分
所以，
所以实数的取值范围.………………………………………………………10分







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