【备考2019中考数学学案】第二单元 方程（组）与不等式（组）第4课时 分式方程及其应用

第二单元 方程（组）与不等式（组）
第4课时 分式方程及其应用
考点知识清单
考点一 分式方程及其解法
概念
分母中含有①_____________的方程叫做分式方程。
解法
思路
将分式方程转化为②____________方程.
步骤
（1）去分母，即方程两边同乘以③__________，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验:把求得的未知数的值代入最简公分母，如果不为④_________，则是原分式方程的解，否则是增根，原分式方程无解。
【温馨提示】1.解分式方程产生增根的原因是在通过去分母把分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围扩大，增加了使原方程中分母等于0的值。2.增根是去分母后整式方程的根，但它能使原分式方程中的分母为0.
考点二 分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤与列一次方程（组）解应用题基本相同，其主要区别在于它必须进行双验根，既要检验是否为原分式方程的根，还要检验是否符合题意。
题型归类探究
类型一 分式方程及其根（重难点）
【典例1】（2018·齐齐哈尔）若关于x的方程无解，则m的值为_________。
【思路导引】先通过去分母把分式方程转化成整式方程，然后从整式方程无解和分式方程产生增根两种情形进行讨论。
【自主解答】
【方法技巧】分式方程无解有可能是两种情况:一是去分母后的整式方程无解；二是分式方程有增根导致无解。
【变式训练】
1.（2017·宿迁）若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是______________。
类型二 分式方程的解法（高频点）
【典例2】解下列方程:
（1）（2018·镇江）
（2）（2017·眉山）
【思路导引】去分母→解整式方程→验根→得结论
【自主解答】
【温馨提示】解分式方程常见误区:（1）忘记验根；（2）去分母时，漏乘整式的项；（3）去分母时，没有注意符号的变化。
【变式训练】
2.（2018·南通）解方程:。
类型三 分式方程的应用（重难点）
【典例3】（2018·菏泽）列方程（组）解应用题:
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？
【思路导引】设台式电脑的单价为x万元，则笔记本电脑的单价为1.5x万元，由此可表示出两种电脑的购买台数，于是利用两种电脑数量之和为120台构建分式方程求解。
【自主解答】
【方法技巧】列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而选设未知数，列出方程解决问题，利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际问题的答案。
【变式训练】
3.（2018·广东）某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等。
（1）求该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
中考真题回放
考点一 分式方程的解法
1.（2018·德州）分式方程的解为（ ）
A.x＝1 B.x＝2 C.x＝-1 D.无解
2.（2016·潍坊）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A.m＜ B.m＜且m≠ C.m＞ D.m＞且m≠
3.（2018·济南）若代数式的值是2，则____________。
4.（2018·潍坊）当m＝________时，解分式方程会出现增根。
5.（2017·威海）方程的解是______________。
6.（2017·济宁）解方程:。
考点二 分式方程的应用
7.（2018·临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年1-5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年整年的少20％.今年1-5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1-5月份每辆车的销售价格为x万元根据题意，列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8.（2017·德州）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本.求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.（2018·淄博）“绿水青山就是金山银山.”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25％，结果提前30天完成了这一任务。设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.（2018·威海）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
11.（2018·东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3:4，结果小明比小刚提前4min到达剧院，求两人的速度。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】-1或5或 解析：将分式方程去分母，得x+4+m(x-4)=m+3，化简得(m+1)x=5m-1.①当m+1=0，即m＝-1时，整式方程无解，故原分式方程无解;
②当m＋1≠0时，整式方程的解为x＝。因为分式方程无解，所以＝4或-4，
解得m＝5或。综上可知，m=-1或5或。
【变式训练】1.1
【典例2】
【自主解答】解:（1）去分母，得。
化简，得-4x＝2.解得x＝。
检验:当x＝时，（x＋2）（x-1）≠0
∴x＝是原分式方程的解。
（2）去分母得1＋2（x-2）＝x-1，化简，得:2x＝x+2，
解得:x＝2，检验:当x＝2时，原分式方程分母为0，所以原分式方程无解。
【变式训练】2.解:方程两边乘3（x＋1），得3x＝2x＋3（x＋1）.
去括号，得3x＝2x＋3x＋3。移项、合并同类项，得 - 2x＝3
系数化为1，得x＝。
检验:当x＝时，3（x-1）≠0
所以原分式方程的解为x=.
【典例3】
【自主解答】解:设台式电脑的单价为x万元，则笔记本电脑的单价为1.5x万元，
由题意，得.解得x＝0.24
经检验，x＝0.24为原方程的解，且符合题意。
1.5x＝1.5×0.24＝0.36.
答:台式电脑的单价为0.24万元，笔记本电脑的单价为0.36万元
【变式训练】3.解:（1）设B型芯片单价是x元，A型芯片单价是（x-9）元，
由题意，得。解得x＝35
经检验得x＝35是原方程的解。
故A型芯片单价是35-9＝26（元）
答:A型芯片的单价是26元，B型芯片的单价是35元。
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200-a）条B型芯片。
由题意，得26a＋35(200-a)=6280。解得a＝80，故购买80条A型芯片。
答:购买了80条A型芯片。
【中考真题回放】
1.D 2.B 3. 6 4. 2 5. x＝3
6.解:方程两边乘（x-2），得2x＝x-2＋1
解得x＝-1
检验:当x＝-1时，x-2≠0，
所以原分式方程的解为x=-1。
A 8. B D. C
10.解:设升级前每小时生产x个零件，根据题意，得，解得x＝60。
经检验，x＝60是方程的解，∴60×（1＋）＝80（个）。
答:软件升级后每小时生产80个零件
11.解:设小明和小刚的速度分别是3x m/min和4x m/min，
根据题意，得，解方程，得x=25。
经检验，x=25是原方程的解，则3x=75，4x=100，
所以，小明和小刚的速度分别是 75 m/min和100 m/min。