【备考2019中考数学学案】第二单元 方程（组）与不等式（组）专项练习

第二单元 方程（组）与不等式（组）
专项练习
类型一 一元二次方程根的判别式
1.（2017·北京）关于x的一元二次方程x2-（k＋3）x＋2k＋2＝0。
（1）求证:方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围。
2.（2017·玉林）已知关于x的一元二次方程:x2 -（t-1）x＋t-2＝0.
（1）求证:对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.
3.（2016·庆阳）已知关于x的一元二次方程mx2＋mx＋m-1＝0有两个相等的实数根.
（1）求m的值；
（2）解原方程.
4.（2018·玉林）已知关于x的一元二次方程:x2-2x-k-2＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程。
类型二 一元二次方程根与系数的关系
5.（2018·南充）已知关于x的一元二次方程x2 -（2m-2）x＋m2-2m＝0.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值。
6.（2018·淄川一模）已知关于x的一元二次方程x2-x＋a-1＝0.
（1）当a＝-11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足［2＋x1（1 - x1）］［2＋x2（1- x2）］＝9，求a的值。
7.（2017·绥化）已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-4＝0.
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值。
8.（2017·鄂州）关于x的方程x2-（2k-1）x＋k2-2k＋3＝0有两个不相等的实数根。
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得｜x1｜＋｜x2｜＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由。
类型三 方程与不等式（组）的综合应用
9.（2018·昆明）水是人类生命之源.为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策.若居民每户每月用水量不超过10立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价＝基本水价＋污水处理费）；若每户每月用水量超过10立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价100％，每立方米污水处理费不变，甲用户4月份用水8立方米，缴水费27.6元；乙用户4月份用水12立方米，缴水费46.3元。
（注:污水处理的立方数＝实际生活用水的立方数）
（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？
（2）如果某用户7月份生活用水水费计划不超过64元，该用户7月份最多可用水多少立方米？
10.（2018·孝感）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水晶质的需求越来越高，孝感市槐公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等。
（1）求每台A型，B型净水器的进价各是多少元？
（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元。试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值。
11.（2018·潍坊）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元。
（1）分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
参考答案及解析
类型一 一元二次方程根的判别式
1.（1）证明:∵△＝［-（k＋3）］2 - 4（2k＋2）＝k2-2k＋1＝（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根。
（2）解:∵x2-（k＋3）x＋2k＋2＝（x-2）（x-k-1）＝0，∴x1＝2，x2＝k＋1，∵方程有一个根小于1，∴k＋1＜1，∴k＜0，即k的取值范围为:k＜0.
2.（1）证明:∵△＝b2-4ac＝［-（t-1）］2-4（t-2）＝t2-6t＋9＝（t-3）2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根。
（2）解:方法1:∵方程的两个根互为相反数，∴一次项系数为0.∴t-1＝0，∴t＝1.
方法2:设方程的两个根是x1，x2，由题意得x1＝-x2，即x1＋x2＝0.
利用根与系数的关系可得x1＋x2＝t-1＝0，∴t＝1.
3.解:（1）由一元二次方程有两个相等的实数根，得Δ＝m2-4×m·（m-1）＝0，且m≠0.
解得m＝2.
（2）由（1），知m＝2，则原方程为x2＋2x＋1＝0，即（x＋1）2＝0.解得x1＝x2＝-1.
4、解（1）方程x2-2x-k-2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4-4（- k - 2）＝12＋4k＞0,
解得，k＞-3，即的取值范图为k＞-3.
（2）在k＞-3范国内取k＝-2，原方程变为x2-2x＝0,
即x（x-2）＝0，∴x1＝0，x2＝2。
类型二 一元二次方程根与系数的关系
5.（1）证明，根据题意得△＝，∴方程有两个不相等的实数根。
（2）解:由一元二次方程根与系数的关系，得
X1＋x2＝2m-2，x1x2＝m2-2m.
X12＋x22＝10，:（x1＋x2）2-2x1x2＝10.
（2m-2）2-2（m2-2m）＝10.
化简得m2-2m-3＝0，解得m1＝3，m2＝-1.
∴m的值为3或-1.
6.解（1）把a＝-11代入方程，得x2 - x-12＝0，
即（x＋3）（x-4）＝0，解得x1＝-3，x2＝4.
（2）方程有两个实数根x1,x2，∴△≥0
即（-1）2 - 4×1×（a-1）≥0
解得a≤，即a的取值范围为a≤.
（3）x1,x2是方程的两个实数根.
把x1-x12＝a-1，x2-x22＝a-1,代入，得［2＋a - 1]［2＋a - 1]＝9，即（1＋a）2＝9,
解得a＝-4，a＝2（舍去），所以a的值为-4。
7.解；（1）因为方程x2＋（2m＋1）x＋m2 - 4＝0有两个不相等的实数根，
所以△＝（2m＋1）2-4×1×（m2-4）＞0，
解得m＞，故当m＞时，原方程有两个不相等的实数根。
（2）设方程x2＋（2m＋1）x＋m2-4＝0的两个根分别为x1，x2，因为菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，所以x1，x2，都应为正，且。又菱形的对角线互相垂直、平分，所以两条对角线的一半长分别为x1，x2，所以x1＋x2＝52。
所以（x1+x2）2 - 2x1x2＝25，即（2m＋1）2-2（m2-4）＝25.整理得:m2＋2m-8＝0，
解得；m1＝ - 4，m2＝2。
当m1=-4时满足m＞，且x1+x2=7>0，x1x2＝12＞0所以符合题意；
当m2＝2时满足m＞，x1+x2 = - 5<0，x1x2＝0所以不符合题意.
故m的值为 - 4。
8.解:（1）根据题意，得b2-4ac＞0，
∴＞0，
解得k＞，即实数k的取值范围是k＞.
（2）存在，理由如下:由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k-1,x1x2＝k2-2k＋3.
∵k2 - 2k＋3＝（k - 1）2＋2＞0，即x1x2＞0，∴x1,x2同号。
∴x1＋x2＝2k-1，k＞，
∴x1＋x2＞0.:，x1＞0，x2＞0.
∵，x1-x2＝.
（x1-x2）2＝5，即（x1＋x2）2 - 4x1x2＝5，
（2k-1）2-4（k2-2k＋3）＝5，解得k＝4.
∵4>,∴k的值为4。
类型三 方程与不等式（组）的综合应用
9.解:（1）设每立方米的基本水价是x元，每立方米的污水处理费是y元，
根据题意，得解得
答:每立方米的基本水价是2.45元，每立方米的污水处理费是1元。
（2）设该用户7月份生活用水是m立方米，
根据题意，得10（2.45＋1）＋（m - 10）［（1＋100％）×2.45＋1≤64，解得m≤15.
答:该用户7月份最多可用水15立方米。
10.解:（1）设A型净水器每台进价m元，则B型净水器每台进价（m-200）元，
依题意得，解得m＝2000，
经检验:m＝2000是原方程的解，m-200＝1800（元），
∴A型净水器每台进价2000元，B型净水器每台进价1800元。
（2）设购进A型x台，则B型（50-x）台
由题意得:2000x＋1800（50 - x）≤98000，∴x≤40，
又W＝（2500-2000）x＋（2180-1800）（50-x）-ax＝（120-a）x＋19000
当70＜a＜80时，120-a＞0，W随x增大而增大。
∴当x＝40时，W有最大值（120-a）×40＋19000＝23800-40a，W的最大值是（23800-40a）元。
11.解:（1）设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，
根据题意，得，解得。
所以，每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米.
（2）设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖据机有（12-m）台.根据题意，得
W＝4×300m＋4×180（12-m）＝480m＋8640，
因为，解得，
又因为m≠12-m，解得m≠6，所以7≤m≤9。
所以，共有三种调配方案。
方案一:当m＝7时，12-m＝5，即A型挖据机7台，B型挖掘机5台；
方案二:当m＝8时，12-m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
方案三:当m＝9时，12-m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台。
∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，当m＝7时，W最小＝480×7＋8640＝12000，
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元。