第三章 圆复习题---解答题（含解析）
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北师大版数学九下第三章圆复习题---解答题
一．解答题
1．（2018秋?江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
2．（2018秋?瑞安市期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC＝BD，求证：BC＝AD．
3．（2018秋?宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．
（1）求证：DE＝EC；
（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
4．（2018秋?西城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
5．（2018秋?通州区期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
6．（2018秋?瑞安市期末）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
7．（2018秋?朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
8．（2018秋?赣榆区期中）如图是一个圆柱形输水管道的横断面⊙O，水面宽AB＝4cm，有水部分最低点为点C，满足OC⊥AB于点E，已知CE＝2cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出阴影部分的面积．
9．（2018秋?滨湖区期中）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
10．（2018秋?江夏区期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
11．（2018秋?昌平区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．
（1）求证：∠OCF＝∠BCD；
（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．
12．（2018秋?瑞安市期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．
（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．
13．（2018秋?庆阳期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝2，则CD＝ ．
14．（2018秋?上杭县期末）已知△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN＝AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．
15．（2018秋?秀洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
16．（2018?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝，求AD的长．
17．（2018秋?洪泽区期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．
18．（2018秋?福清市期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
19．（2018秋?溧水区期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．
20．（2018?本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．
21．（2018?济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求PD的长度．
22．（2018?绥化）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE＝AB．
23．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
24．（2018?广安）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P＝，CF＝10，求BE的长．
25．（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
26．（2018?黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
27．（2018?邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
28．（2018?永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
29．（2018?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
30．（2018?辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
31．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半径．
32．（2018?青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
33．（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
34．（2018?镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
35．（2018?贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．
36．（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
37．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
38．（2018秋?淮安区期中）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
39．（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
40．（2018秋?岳麓区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．
（1）求劣弧BD的长．
（2）求阴影部分的面积．
41．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
42．（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
43．（2018秋?淮阴区期中）AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，且CE＝2，求图中阴影部分的面积．
44．（2018秋?新吴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．
45．（2018秋?相城区期中）如图，半圆的直径AB＝20，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
46．（2017秋?吴兴区期末）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
47．（2017秋?宝应县月考）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
北师大版数学九下第三章圆复习题---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
【分析】连接OD，由CD＝OA＝OD＝OE，∠CEO＝40°知∠ODE＝∠E＝2∠C＝40°，据此得∠C＝20°，根据∠BOE＝∠C+∠E可得答案．
【解答】解：如图所示，连接OD，
∵CD＝OA＝OD＝OE，∠CEO＝40°，
∴∠ODE＝∠E＝2∠C＝40°，
∴∠C＝20°，
∴∠BOE＝∠C+∠E＝60°．
2．（2018秋?瑞安市期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC＝BD，求证：BC＝AD．
【分析】欲证明BC＝AD，只需推知＝．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴＝．
∴﹣＝﹣．即＝．
∴BC＝AD．
3．（2018秋?宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．
（1）求证：DE＝EC；
（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
【分析】（1）连结AE，BD，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，即AE⊥BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连结AE，BD，
∵E为的中点，
∴＝，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEB是直径所对的圆周角，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△AEC和△AEB中，
∴△AEC≌△AEB（ASA），
∴CE＝BE，
∴DE＝CE＝BE＝BC；
（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，
设半径为r，则AB＝2r，
由（1）得AC＝AB＝2r，
AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，
在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，
∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，
解得：r＝4.5，
∴⊙O的半径为4.5．
4．（2018秋?西城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
5．（2018秋?通州区期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．
【解答】证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
6．（2018秋?瑞安市期末）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
【分析】（1）如图连接EC交OA于H．首先证明DF∥OA，由OA⊥BF推出DF⊥BF即可；
（2）由EC∥FB，推出＝＝2，推出OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，由CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，构建方程方程求出m即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H．
∵＝，
∴OA⊥EC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥EC，
∴OA∥DF，
∵BF是⊙O的切线，
∴OA⊥BF，
∴DF⊥BF，
∴∠F＝90°，
∴△DFB是直角三角形．
（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，
∴EC∥FB，
∴＝＝2，
∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，
∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，
∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴CH＝，
∵OA⊥EC，
∴EH＝HC＝，
∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AFEH是矩形，
∴AF＝EH＝．
7．（2018秋?朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
8．（2018秋?赣榆区期中）如图是一个圆柱形输水管道的横断面⊙O，水面宽AB＝4cm，有水部分最低点为点C，满足OC⊥AB于点E，已知CE＝2cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，根据垂径定理解答即可；
（2）根据扇形面积解答即可．
【解答】解：（1）连接OA
设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△OAE中，，
解得：r＝4；
（2）在Rt△OAE中，OE＝2，OA＝4，
∴∠EOA＝60°，
∵OE⊥AB，
∴，
∴∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积＝．
9．（2018秋?滨湖区期中）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．
在Rt△AOD中，
∵AO2＝OD2+AD2，
∴R2＝64+（R﹣4）2，
解得R＝10；
（2）在Rt△OEM中，
∵OE2＝EM2+OM2，
∴100＝36+OM2，
解得OM＝8，
∴CM＝8﹣6＝2，
即拱顶C 到水面EF的高度是2米．
10．（2018秋?江夏区期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝2m，
∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.04（m2），
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．
∴此货船能不顺利通过这座拱桥．
11．（2018秋?昌平区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．
（1）求证：∠OCF＝∠BCD；
（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠BCD＝∠BFC，接着根据平行线的性质得∠OCF＝∠BFC，从而得到∠OCF＝∠BCD；
（2）用垂径定理得到CE＝CD＝2，再利用tan∠OCF＝tan∠BCD＝得到BE＝1，设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2＝（x﹣1）2+22，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵BF∥OC
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠OCF＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
∵∠OCF＝∠BCD
∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，
∵CE＝2
∴BE＝1，
设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，
在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，
即⊙O半径的长为．
12．（2018秋?瑞安市期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．
（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．
【分析】（1）连接AD．想办法证明∠BAD＝∠CAD，∠CAD＝∠CBE即可解决问题；
（2）由△CAD∽△CBE，推出＝，可得CE＝，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE＝180°，∠CBE+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAC＝2∠CBE．
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝﹣5＝，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
∴BE＝＝＝．
13．（2018秋?庆阳期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝2，则CD＝ 8 ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及圆周角定理即可证明；
（2）利用垂径定理以及勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D．
（2）∵BA是直径，AB⊥CD，
∴CE＝ED，
∵OC＝OA＝5，AE＝2，
∴OE＝3，
∵∠CEO＝90°，
∴CE＝＝4，
∴CD＝2CE＝8，
故答案为8．
14．（2018秋?上杭县期末）已知△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN＝AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠CND＝90°，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出CN＝AN，根据等腰三角形性质求出∠CNM＝45°，根据圆周角定理求出∠CED＝90°，∠CDE＝∠CNE＝45°，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CND＝90°，
∴CN⊥AB，
∵BC＝AC，
∴BN＝AN；
（2）解：CD＝DE，
理由如下：∵△ABC中，∠BCA＝90°，BN＝AN，
∴CN＝AN，
∵点M是CA中点，
∴NM平分∠CNA，
∵∠CNA＝90°，
∴∠CNM＝45°，
∴∠CDE＝∠CNE＝45°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝45°＝∠CDE，
∴DE＝CE，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴CD＝DE．
15．（2018秋?秀洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
【分析】由B是弧CD的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
【解答】证明：∵B是弧CD的中点，
∴＝，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BEC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC．
16．（2018?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝，求AD的长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．解Rt△AEB，得出BE＝AB?cos∠ABE＝，AE＝＝，那么AF＝AE﹣EF＝．再证明∠ABC+∠ADF＝90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF＝cos∠ABC＝．解Rt△ADF，即可求出AD＝＝6．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，
∴BE＝AB?cos∠ABE＝，
∴AE＝＝，
∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，
∴∠ABC+∠ADF＝90°，
∵cos∠ABC＝，
∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，
∴AD＝＝＝6．
17．（2018秋?洪泽区期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝60°，则判断△ABC是等边三角形，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝60°，
而∠CAB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长＝3AB＝6．
18．（2018秋?福清市期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，如图1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
19．（2018秋?溧水区期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】由圆周角定理可知∠ADC＝∠ABC＝∠BAC＝∠BDC＝60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB＝60°，故可得出结论
【解答】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵＝，
∴AC＝BC，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60，
∴△ABC是等边三角形．
20．（2018?本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）结论：DF是⊙O的切线．作OG⊥DF于G．连接OE．想办法证明OG＝OE即可解决问题；
（2）由FA，FD是⊙O的切线，推出FG＝FE，设FG＝FE＝x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG＝CF＝，推出OD＝DF＝+x，由AC＝2OD，CE＝OD，推出AE＝EC＝OD＝+x，由∠A＝30°，推出CD＝OE＝，在Rt△DCF中，根据DF2＝CD2+CF2，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：DF是⊙O的切线．
理由：作OG⊥DF于G．连接OE．
∵BD＝DC，BO＝OA，
∴OD∥AC，
∴∠ODG＝∠DFC，
∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，
∴△OGD≌△DCF（AAS），
∴OG＝CD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∵OD∥CD，
∴四边形CDOE是平行四边形，
∴CD＝OE，
∴OG＝OE，
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵FA，FD是⊙O的切线，
∴FG＝FE，设FG＝FE＝x，
∵△OGD≌△DCF（AAS），
∴DG＝CF＝，
∴OD＝DF＝+x，
∵AC＝2OD，CE＝OD，
∴AE＝EC＝OD＝+x，
∵∠A＝30°，
∴CD＝OE＝，
在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，
∴（+x）2＝（）2+（）2，
解得x＝﹣或﹣﹣（舍弃），
∴OE＝＝1．
21．（2018?济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求PD的长度．
【分析】（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；
解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD＝120°，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；
（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA＝90°．
∵＝，
∴∠BAD＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．
即∠ABD＝30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，
∴DA＝BA＝×6＝3．
∴BD＝DA＝3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，
∴cos30°＝＝．
∴BP＝4．
∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．
22．（2018?绥化）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE＝AB．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD＝∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE＝DM，结合AD＝AD、∠AED＝∠AMD＝90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE＝AM，由∠EAD＝∠MAD可得出＝，进而可得出CD＝BD，结合DE＝DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE＝BM，结合AB＝AM+BM即可证出AE+CE＝AB．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA＝OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE＝DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE＝AM．
∵∠EAD＝∠MAD，
∴＝，
∴CD＝BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE＝BM，
∴AE+CE＝AM+BM＝AB．
23．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG＝∠E，求∠CBG的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC＝90°，
∵∠EFC＝90°＝∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG＝∠E，
Rt△BDC中，∵BD＝3，BC＝5，
∴CD＝4，
S△ABC＝，
6×4＝5BG，
BG＝，
由勾股定理得：CG＝＝，
∴tan∠CBG＝tan∠E＝＝＝．
24．（2018?广安）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P＝，CF＝10，求BE的长．
【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB＝90°，所以∠PCA＝∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB＝∠ABC，从而得结论；
（2）本题介绍两种解法：
方法一：先证明∠CAF＝∠ACF，则AF＝CF＝10，根据cos∠P＝cos∠FAD＝，可得AD＝8，FD＝6，得CD＝CF+FD＝16，设OC＝r，OD＝r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB＝，可得AE的长，从而计算BE的长；
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P＝∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD＝∠EAO＝∠P，同理利用三角函数求得：CH＝8，并设AO＝5x，AH＝4x，表示OH＝3x，OC＝3x﹣8，由OC＝OA列式可得x的值，最后同理得结论．
【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，（2分）
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA＝∠OCB，（3分）
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠PCA＝∠ABC；（4分）
（2）方法一：∵AE∥PC，
∴∠CAF＝∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF＝∠ABC，（5分）
∵∠ABC＝∠PCA，
∴∠CAF＝∠ACF，
∴AF＝CF＝10，（6分）
∵AE∥PC，
∴∠P＝∠FAD，
∴cos∠P＝cos∠FAD＝，
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝，AF＝10，
∴AD＝8，（7分）
∴FD＝＝6，
∴CD＝CF+FD＝16，
在Rt△OCD中，设OC＝r，OD＝r﹣8，
r2＝（r﹣8）2+162，
r＝20，
∴AB＝2r＝40，（8分）
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，cos∠EAB＝，AB＝40，
∴AE＝32，
∴BE＝＝24．（9分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P＝∠EAO，（5分），
∴∠EAO+∠COA＝90°，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA＝90°，
∴∠OCD＝∠EAO＝∠P，（6分）
在Rt△CFH中，cos∠HCF＝，CF＝10，
∴CH＝8，（7分）
在Rt△OHA中，cos∠OAH＝，设AO＝5x，AH＝4x，
∴OH＝3x，OC＝3x+8，
由OC＝OA得：3x+8＝5x，x＝4，
∴AO＝20，
∴AB＝40，（8分）
在Rt△ABE中，cos∠EAB＝，AB＝40，
∴AE＝32，
∴BE＝＝24．（9分）
25．（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC＝∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB＝4，
∴OB＝2
∵∠COB＝60°，
∴S扇形OBC＝＝
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO
∴∠FAC＝∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
26．（2018?黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【分析】（1）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，而A为的中点，则∠ABE＝45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA＝AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝BE＝×2＝，
BD＝DE＝×＝3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE＝90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵BA＝AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
27．（2018?邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC＝∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
28．（2018?永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到＝，则可证明＝，然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB，从而得到CF＝BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH＝，OH＝，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CBE＝∠GCB，
∴CF＝BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，
∵＝，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，
∴BH＝×6＝，
∴OH＝＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠HOB＝∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM＝∠OHB＝90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
29．（2018?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠ACB＝∠BCE，求得AC＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据相似三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO＝∠ABO，
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠BCE，
∵sin∠BCE＝，
∴sin∠ACB＝，
∵AB＝3，
∴AC＝4，
∵∠BDE＝∠BAC，
∴sin∠BDE＝，
∵BD＝AB＝3，
∴DE＝，
∴BE＝＝，
∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，
∴△BDE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝．
30．（2018?辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF＝90°，根据三角形的内角和得到∠ACE＝90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE＝90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出∠ACO＝∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO+90°＝180°，
∵∠ACE+∠AFO＝180°，
∴∠ACE＝90°+∠A，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，
∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，
∴∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝，
∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．
31．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）由∠ABG＝2∠C．可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE＝CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）根据三角函数求BE，CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求半径的长．
【解答】证明（1）如图：连接OE，BE
∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A
∴∠C＝∠A
∴BC＝AB，
∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC
∴CE＝AE，且CO＝OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）∵AC＝8，
∴CE＝AE＝4
∵tan∠C＝＝
∴BE＝2
∴BC＝＝2
∴CO＝
即⊙O半径为
32．（2018?青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP＝2OA，可得出OP﹣PD＝OD，再由PD＝，可得出⊙O的直径．
【解答】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
33．（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD．
、
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵＝，
∴OE⊥AD，
∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，
∴△AKO≌△AKE，
∴AO＝AE＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣×22＝﹣．
34．（2018?镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP＝5 ．
【分析】（1）连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长；
（2）有两种情况：
①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点．
【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝8，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x＝，AP＝；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝＝10PG，
PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5．
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
35．（2018?贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数，从而可以证明结论成立；
（2）要求△AOB的面积只要求出OE的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长，从而可以解答本题．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，DB＝DE，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，
∴∠A+∠DEB＝90°，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB＝12，
∴AE＝EB＝6，OE⊥AB，
又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，DB＝DE，
∴EF＝BF＝3，
∴DF＝＝4，
∵∠AEC＝∠DEF，
∴∠A＝∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO＝∠DFE＝90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴，
即，得EO＝4.5，
∴△AOB的面积是：＝27．
36．（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
【分析】（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的长和∠AOE的度数，分别求出△AOE和扇形AOE的面积，即可求出答案；
（2）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；
（3）连接BE，求出∠FDC＝∠EBC，∠FDC＝∠EDF，即可求出答案．
【解答】（1）解：
连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠FDC＝15°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，
∵OA＝OE，OM⊥AC，
∴AE＝2AM＝3，
∴∠BAC＝∠AEO＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；
（2）证明：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠DAC，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠EDF＝∠DAC．
37．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
38．（2018秋?淮安区期中）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据切线长定理，即可得到PA＝PB，ED＝AD，CE＝BC，从而求得三角形的周长＝2PA；
（2）连接OE，根据切线的性质得出∠P+∠AOB＝180°，由切线长定理得出∠COD＝∠AOB，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
39．（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
【分析】（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC+PB；
【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
依题可得，∠APB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
40．（2018秋?岳麓区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．
（1）求劣弧BD的长．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形的面积公式计算即可；
【解答】解：（1）∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOB＝60°，
∴的长＝＝．
（2）S阴＝S扇形OAD＝＝．
41．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【分析】（1）连结AM、MH，则∠MHP＝∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；
（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP＝∠α．
∵AD＝MC，∠D＝∠C，MD＝HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM＝MH，∠DAM＝∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠HMC＝90°，
∴∠AMH＝90°，
∴∠MHA＝45°，即α+β＝45°．
方法二：连接PA．只要证明△PAQ∽△PHA，
可得∠PAQ＝∠AHP＝α，
∵∠APG＝45°，∠APG＝α+β，
∴α+β＝45°．
（2）由勾股定理可知MH＝＝．
∵∠MHR＝45°，
∴＝＝．
42．（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴．
43．（2018秋?淮阴区期中）AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，且CE＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】连接DE、OE、OD，可得△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE＝∠BOD，则AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；根据阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE求解即可．
【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，
∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°
∵OA＝OE＝OD＝OB
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，
∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝×2﹣×22＝π﹣．
44．（2018秋?新吴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝＝．
45．（2018秋?相城区期中）如图，半圆的直径AB＝20，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
【分析】连接OC，CD，OD，证明CD∥AB，得到△ACD的面积＝△OCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，CD，OD，
∵C，D是半圆的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COD＝60°，∠ADC＝∠BAD，
∴CD∥AB，
∴△ACD的面积＝△OCD的面积，
∴弦AC，AD与围成的阴影部分的面积＝扇形COD的面积＝＝π．
46．（2017秋?吴兴区期末）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理可知AD＝DC，由OA＝OB，推出BC＝2OD＝6，Z在Rt△ACB中，利用勾股定理求出AC．
（2）首先证明△OBC设等边三角形，推出∠AOC＝120°，根据S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC计算即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，∵AO＝OB，
∴BC＝2OD＝6，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6．
（2）连接OC，∵OC＝OB＝BC＝6，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣?6?3＝12π﹣9．
47．（2017秋?宝应县月考）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
【分析】（1）只要求证△AOC≌△BOD，利用已知条件证明即可．
（2）从图中可以得S阴影就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠AOD＝∠BOD+∠AOD；
∴∠AOC＝∠BOD；
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
∴AC＝BD．
（2）解：根据题意得：S阴影＝﹣＝；
∴π＝，
解得：OC＝1（cm）．
一．解答题
1．（2018秋?江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
2．（2018秋?瑞安市期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC＝BD，求证：BC＝AD．
3．（2018秋?宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．
（1）求证：DE＝EC；
（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
4．（2018秋?西城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
5．（2018秋?通州区期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
6．（2018秋?瑞安市期末）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
7．（2018秋?朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
8．（2018秋?赣榆区期中）如图是一个圆柱形输水管道的横断面⊙O，水面宽AB＝4cm，有水部分最低点为点C，满足OC⊥AB于点E，已知CE＝2cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出阴影部分的面积．
9．（2018秋?滨湖区期中）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
10．（2018秋?江夏区期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
11．（2018秋?昌平区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．
（1）求证：∠OCF＝∠BCD；
（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．
12．（2018秋?瑞安市期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．
（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．
13．（2018秋?庆阳期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝2，则CD＝ ．
14．（2018秋?上杭县期末）已知△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN＝AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．
15．（2018秋?秀洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
16．（2018?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝，求AD的长．
17．（2018秋?洪泽区期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．
18．（2018秋?福清市期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
19．（2018秋?溧水区期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．
20．（2018?本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．
21．（2018?济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求PD的长度．
22．（2018?绥化）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE＝AB．
23．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
24．（2018?广安）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P＝，CF＝10，求BE的长．
25．（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
26．（2018?黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
27．（2018?邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
28．（2018?永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
29．（2018?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
30．（2018?辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
31．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半径．
32．（2018?青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
33．（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
34．（2018?镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
35．（2018?贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．
36．（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
37．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
38．（2018秋?淮安区期中）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
39．（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
40．（2018秋?岳麓区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．
（1）求劣弧BD的长．
（2）求阴影部分的面积．
41．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
42．（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
43．（2018秋?淮阴区期中）AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，且CE＝2，求图中阴影部分的面积．
44．（2018秋?新吴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．
45．（2018秋?相城区期中）如图，半圆的直径AB＝20，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
46．（2017秋?吴兴区期末）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
47．（2017秋?宝应县月考）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
北师大版数学九下第三章圆复习题---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?江阴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠CEO＝40°，求∠BOE的度数．
【分析】连接OD，由CD＝OA＝OD＝OE，∠CEO＝40°知∠ODE＝∠E＝2∠C＝40°，据此得∠C＝20°，根据∠BOE＝∠C+∠E可得答案．
【解答】解：如图所示，连接OD，
∵CD＝OA＝OD＝OE，∠CEO＝40°，
∴∠ODE＝∠E＝2∠C＝40°，
∴∠C＝20°，
∴∠BOE＝∠C+∠E＝60°．
2．（2018秋?瑞安市期中）如图，A，B，C，D在⊙O上，若AC＝BD，求证：BC＝AD．
【分析】欲证明BC＝AD，只需推知＝．
【解答】证明：∵AC＝BD，
∴＝．
∴﹣＝﹣．即＝．
∴BC＝AD．
3．（2018秋?宁波期中）如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．
（1）求证：DE＝EC；
（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径
【分析】（1）连结AE，BD，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，即AE⊥BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连结AE，BD，
∵E为的中点，
∴＝，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEB是直径所对的圆周角，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△AEC和△AEB中，
∴△AEC≌△AEB（ASA），
∴CE＝BE，
∴DE＝CE＝BE＝BC；
（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，
设半径为r，则AB＝2r，
由（1）得AC＝AB＝2r，
AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，
在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，
∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，
解得：r＝4.5，
∴⊙O的半径为4.5．
4．（2018秋?西城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求点O到AC的距离；
（2）求∠ADC的度数．
【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）连接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
5．（2018秋?通州区期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．
【解答】证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
6．（2018秋?瑞安市期末）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D．在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F．
（1）求证：△BDF是直角三角形；
（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长．
【分析】（1）如图连接EC交OA于H．首先证明DF∥OA，由OA⊥BF推出DF⊥BF即可；
（2）由EC∥FB，推出＝＝2，推出OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，由CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，构建方程方程求出m即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H．
∵＝，
∴OA⊥EC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DF⊥EC，
∴OA∥DF，
∵BF是⊙O的切线，
∴OA⊥BF，
∴DF⊥BF，
∴∠F＝90°，
∴△DFB是直角三角形．
（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，
∴EC∥FB，
∴＝＝2，
∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，
∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，
∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，
∴m＝（负根已经舍弃），
∴CH＝，
∵OA⊥EC，
∴EH＝HC＝，
∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AFEH是矩形，
∴AF＝EH＝．
7．（2018秋?朝阳区期末）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
8．（2018秋?赣榆区期中）如图是一个圆柱形输水管道的横断面⊙O，水面宽AB＝4cm，有水部分最低点为点C，满足OC⊥AB于点E，已知CE＝2cm．
（1）求⊙O的半径；
（2）求出阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OA，根据垂径定理解答即可；
（2）根据扇形面积解答即可．
【解答】解：（1）连接OA
设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵OE⊥AB，
∴AE＝AB＝2，
在Rt△OAE中，，
解得：r＝4；
（2）在Rt△OAE中，OE＝2，OA＝4，
∴∠EOA＝60°，
∵OE⊥AB，
∴，
∴∠AOB＝120°，
∴阴影部分的面积＝．
9．（2018秋?滨湖区期中）如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．
在Rt△AOD中，
∵AO2＝OD2+AD2，
∴R2＝64+（R﹣4）2，
解得R＝10；
（2）在Rt△OEM中，
∵OE2＝EM2+OM2，
∴100＝36+OM2，
解得OM＝8，
∴CM＝8﹣6＝2，
即拱顶C 到水面EF的高度是2米．
10．（2018秋?江夏区期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB＝2m，
∴CE＝4﹣3.6＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.4＝6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣6.12＝5.04（m2），
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈4.48m＜5m．
∴此货船能不顺利通过这座拱桥．
11．（2018秋?昌平区期末）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．
（1）求证：∠OCF＝∠BCD；
（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．
【分析】（1）利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠BCD＝∠BFC，接着根据平行线的性质得∠OCF＝∠BFC，从而得到∠OCF＝∠BCD；
（2）用垂径定理得到CE＝CD＝2，再利用tan∠OCF＝tan∠BCD＝得到BE＝1，设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2＝（x﹣1）2+22，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵BF∥OC
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠OCF＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
∵∠OCF＝∠BCD
∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，
∵CE＝2
∴BE＝1，
设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，
在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，
即⊙O半径的长为．
12．（2018秋?瑞安市期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．
（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．
【分析】（1）连接AD．想办法证明∠BAD＝∠CAD，∠CAD＝∠CBE即可解决问题；
（2）由△CAD∽△CBE，推出＝，可得CE＝，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE＝180°，∠CBE+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠BAC＝2∠CBE．
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，
∴△CAD∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝﹣5＝，
∵AB是直径，
∴∠E＝90°，
∴BE＝＝＝．
13．（2018秋?庆阳期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若⊙O的半径为5，AE＝2，则CD＝ 8 ．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及圆周角定理即可证明；
（2）利用垂径定理以及勾股定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D．
（2）∵BA是直径，AB⊥CD，
∴CE＝ED，
∵OC＝OA＝5，AE＝2，
∴OE＝3，
∵∠CEO＝90°，
∴CE＝＝4，
∴CD＝2CE＝8，
故答案为8．
14．（2018秋?上杭县期末）已知△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝AC，D是BA边上一点（点D不与A，B重合），M是CA中点，当以CD为直径的⊙O与BA边交于点N，⊙O与射线NM交于点E，连接CE，DE．
（1）求证：BN＝AN；
（2）猜想线段CD与DE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠CND＝90°，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）根据直角三角形斜边上中线性质求出CN＝AN，根据等腰三角形性质求出∠CNM＝45°，根据圆周角定理求出∠CED＝90°，∠CDE＝∠CNE＝45°，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CND＝90°，
∴CN⊥AB，
∵BC＝AC，
∴BN＝AN；
（2）解：CD＝DE，
理由如下：∵△ABC中，∠BCA＝90°，BN＝AN，
∴CN＝AN，
∵点M是CA中点，
∴NM平分∠CNA，
∵∠CNA＝90°，
∴∠CNM＝45°，
∴∠CDE＝∠CNE＝45°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝45°＝∠CDE，
∴DE＝CE，
∵CE2+DE2＝CD2，
∴CD＝DE．
15．（2018秋?秀洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D在弧AB上，连CD交AB于点E，B是弧CD的中点，求证：∠B＝∠BEC．
【分析】由B是弧CD的中点，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．
【解答】证明：∵B是弧CD的中点，
∴＝，
∴∠BCE＝∠BAC，
∵∠BEC＝180°﹣∠B﹣∠BCE，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BEC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BEC．
16．（2018?无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝，求AD的长．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．解Rt△AEB，得出BE＝AB?cos∠ABE＝，AE＝＝，那么AF＝AE﹣EF＝．再证明∠ABC+∠ADF＝90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF＝cos∠ABC＝．解Rt△ADF，即可求出AD＝＝6．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．
作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，
∴BE＝AB?cos∠ABE＝，
∴AE＝＝，
∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，
∴∠ABC+∠ADF＝90°，
∵cos∠ABC＝，
∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．
在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，
∴AD＝＝＝6．
17．（2018秋?洪泽区期中）如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝60°，则判断△ABC是等边三角形，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝60°，
而∠CAB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴△ABC的周长＝3AB＝6．
18．（2018秋?福清市期中）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，如图1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
19．（2018秋?溧水区期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】由圆周角定理可知∠ADC＝∠ABC＝∠BAC＝∠BDC＝60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB＝60°，故可得出结论
【解答】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵＝，
∴AC＝BC，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60，
∴△ABC是等边三角形．
20．（2018?本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．
【分析】（1）结论：DF是⊙O的切线．作OG⊥DF于G．连接OE．想办法证明OG＝OE即可解决问题；
（2）由FA，FD是⊙O的切线，推出FG＝FE，设FG＝FE＝x，由△OGD≌△DCF（AAS），推出DG＝CF＝，推出OD＝DF＝+x，由AC＝2OD，CE＝OD，推出AE＝EC＝OD＝+x，由∠A＝30°，推出CD＝OE＝，在Rt△DCF中，根据DF2＝CD2+CF2，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：DF是⊙O的切线．
理由：作OG⊥DF于G．连接OE．
∵BD＝DC，BO＝OA，
∴OD∥AC，
∴∠ODG＝∠DFC，
∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，
∴△OGD≌△DCF（AAS），
∴OG＝CD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∵OD∥CD，
∴四边形CDOE是平行四边形，
∴CD＝OE，
∴OG＝OE，
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵FA，FD是⊙O的切线，
∴FG＝FE，设FG＝FE＝x，
∵△OGD≌△DCF（AAS），
∴DG＝CF＝，
∴OD＝DF＝+x，
∵AC＝2OD，CE＝OD，
∴AE＝EC＝OD＝+x，
∵∠A＝30°，
∴CD＝OE＝，
在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，
∴（+x）2＝（）2+（）2，
解得x＝﹣或﹣﹣（舍弃），
∴OE＝＝1．
21．（2018?济南）如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若AB＝6，求PD的长度．
【分析】（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；
解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD＝120°，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；
（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．
【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．
∵BA是⊙O直径，
∴∠BDA＝90°．
∵＝，
∴∠BAD＝∠C＝60°．
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．
方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．
即∠ABD＝30°．
（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°．
在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，
∴DA＝BA＝×6＝3．
∴BD＝DA＝3．
在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，
∴cos30°＝＝．
∴BP＝4．
∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．
22．（2018?绥化）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．
求证：（1）DE⊥AE；
（2）AE+CE＝AB．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD＝∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE＝DM，结合AD＝AD、∠AED＝∠AMD＝90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE＝AM，由∠EAD＝∠MAD可得出＝，进而可得出CD＝BD，结合DE＝DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE＝BM，结合AB＝AM+BM即可证出AE+CE＝AB．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1所示．
∵OA＝OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AE．
（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，
∴DE＝DM．
在△DAE和△DAM中，，
∴△DAE≌△DAM（SAS），
∴AE＝AM．
∵∠EAD＝∠MAD，
∴＝，
∴CD＝BD．
在Rt△DEC和Rt△DMB中，，
∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），
∴CE＝BM，
∴AE+CE＝AM+BM＝AB．
23．（2018?铜仁市）如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）求tan∠E的值．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得∠BDC＝90°，由等腰三角形三线合一的性质得：D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG＝∠E，求∠CBG的正切即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD，
∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：如图，连接BG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BGC＝90°，
∵∠EFC＝90°＝∠BGC，
∴EF∥BG，
∴∠CBG＝∠E，
Rt△BDC中，∵BD＝3，BC＝5，
∴CD＝4，
S△ABC＝，
6×4＝5BG，
BG＝，
由勾股定理得：CG＝＝，
∴tan∠CBG＝tan∠E＝＝＝．
24．（2018?广安）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P＝，CF＝10，求BE的长．
【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB＝90°，所以∠PCA＝∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB＝∠ABC，从而得结论；
（2）本题介绍两种解法：
方法一：先证明∠CAF＝∠ACF，则AF＝CF＝10，根据cos∠P＝cos∠FAD＝，可得AD＝8，FD＝6，得CD＝CF+FD＝16，设OC＝r，OD＝r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB＝，可得AE的长，从而计算BE的长；
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P＝∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD＝∠EAO＝∠P，同理利用三角函数求得：CH＝8，并设AO＝5x，AH＝4x，表示OH＝3x，OC＝3x﹣8，由OC＝OA列式可得x的值，最后同理得结论．
【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，（1分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，（2分）
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA＝∠OCB，（3分）
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠PCA＝∠ABC；（4分）
（2）方法一：∵AE∥PC，
∴∠CAF＝∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF＝∠ABC，（5分）
∵∠ABC＝∠PCA，
∴∠CAF＝∠ACF，
∴AF＝CF＝10，（6分）
∵AE∥PC，
∴∠P＝∠FAD，
∴cos∠P＝cos∠FAD＝，
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝，AF＝10，
∴AD＝8，（7分）
∴FD＝＝6，
∴CD＝CF+FD＝16，
在Rt△OCD中，设OC＝r，OD＝r﹣8，
r2＝（r﹣8）2+162，
r＝20，
∴AB＝2r＝40，（8分）
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，cos∠EAB＝，AB＝40，
∴AE＝32，
∴BE＝＝24．（9分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，
∴OC⊥AE，∠P＝∠EAO，（5分），
∴∠EAO+∠COA＝90°，
∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA＝90°，
∴∠OCD＝∠EAO＝∠P，（6分）
在Rt△CFH中，cos∠HCF＝，CF＝10，
∴CH＝8，（7分）
在Rt△OHA中，cos∠OAH＝，设AO＝5x，AH＝4x，
∴OH＝3x，OC＝3x+8，
由OC＝OA得：3x+8＝5x，x＝4，
∴AO＝20，
∴AB＝40，（8分）
在Rt△ABE中，cos∠EAB＝，AB＝40，
∴AE＝32，
∴BE＝＝24．（9分）
25．（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．
（1）求扇形OBC的面积（结果保留π）；
（2）求证：CD是⊙O的切线．
【分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC＝∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB＝4，
∴OB＝2
∵∠COB＝60°，
∴S扇形OBC＝＝
（2）∵AC平分∠FAB，
∴∠FAC＝∠CAO，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝∠CAO
∴∠FAC＝∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C在圆上，
∴CD是⊙O的切线
26．（2018?黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2，∠BCD＝120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【分析】（1）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，而A为的中点，则∠ABE＝45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA＝AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝BE＝×2＝，
BD＝DE＝×＝3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE＝90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵BA＝AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
27．（2018?邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC＝∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
28．（2018?永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到＝，则可证明＝，然后根据圆周角定理得∠CBE＝∠GCB，从而得到CF＝BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH＝，OH＝，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CBE＝∠GCB，
∴CF＝BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，
∵＝，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，
∴BH＝×6＝，
∴OH＝＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠HOB＝∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM＝∠OHB＝90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
29．（2018?鄂尔多斯）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据余角的性质得到∠ACB＝∠BCE，求得AC＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据相似三角形的性质得到CE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO＝∠ABO，
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，
∴∠DBO＝∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠E＝90°，
∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠EBC，
∴∠ACB＝∠BCE，
∵sin∠BCE＝，
∴sin∠ACB＝，
∵AB＝3，
∴AC＝4，
∵∠BDE＝∠BAC，
∴sin∠BDE＝，
∵BD＝AB＝3，
∴DE＝，
∴BE＝＝，
∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，
∴△BDE∽△CBE，
∴＝，
∴CE＝，
∴CD＝，
∴AD＝＝．
30．（2018?辽阳）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．
【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF＝90°，根据三角形的内角和得到∠ACE＝90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE＝90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出∠ACO＝∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO+90°＝180°，
∵∠ACE+∠AFO＝180°，
∴∠ACE＝90°+∠A，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，
∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，
∴∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝BC＝，
∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．
31．（2018?毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若tanC＝，AC＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）由∠ABG＝2∠C．可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE＝CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线
（2）根据三角函数求BE，CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求半径的长．
【解答】证明（1）如图：连接OE，BE
∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A
∴∠C＝∠A
∴BC＝AB，
∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC
∴CE＝AE，且CO＝OB
∴OE∥AB
∵GE⊥AB
∴EG⊥OE，且OE是半径
∴EG是⊙O的切线
（2）∵AC＝8，
∴CE＝AE＝4
∵tan∠C＝＝
∴BE＝2
∴BC＝＝2
∴CO＝
即⊙O半径为
32．（2018?青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA＝OC得出∠ACO＝∠OAC＝30°，再由AP＝AC得出∠P＝30°，继而由∠OAP＝∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；
（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP＝2OA，可得出OP﹣PD＝OD，再由PD＝，可得出⊙O的直径．
【解答】解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
33．（2018?赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题；
（2）连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD．
、
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接OE，OE交AD于K．
∵＝，
∴OE⊥AD，
∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，
∴△AKO≌△AKE，
∴AO＝AE＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
∴S阴＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣×22＝﹣．
34．（2018?镇江）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP＝5 ．
【分析】（1）连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长；
（2）有两种情况：
①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点．
【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝8，
设AP＝x，则DP＝10﹣x，PF＝x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x＝，AP＝；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD＝＝10PG，
PG＝，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝5．
故答案为：＜AP＜或AP＝5．
35．（2018?贺州）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定方法可以求得∠OBD的度数，从而可以证明结论成立；
（2）要求△AOB的面积只要求出OE的长即可，根据题目中的条件和三角形相似的知识可以求得OE的长，从而可以解答本题．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，DB＝DE，
∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE，
∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC，
∴∠A+∠DEB＝90°，
∴∠OBA+∠DBE＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∵OB是圆的半径，
∴BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，
∵点E是AB的中点，AB＝12，
∴AE＝EB＝6，OE⊥AB，
又∵DE＝DB，DF⊥BE，DB＝5，DB＝DE，
∴EF＝BF＝3，
∴DF＝＝4，
∵∠AEC＝∠DEF，
∴∠A＝∠EDF，
∵OE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEO＝∠DFE＝90°，
∴△AEO∽△DFE，
∴，
即，得EO＝4.5，
∴△AOB的面积是：＝27．
36．（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）求证：∠EDF＝∠DAC．
【分析】（1）连接OE，过O作OM⊥AC于M，求出AE、OM的长和∠AOE的度数，分别求出△AOE和扇形AOE的面积，即可求出答案；
（2）连接OD，求出OD⊥DF，根据切线的判定求出即可；
（3）连接BE，求出∠FDC＝∠EBC，∠FDC＝∠EDF，即可求出答案．
【解答】（1）解：
连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∵∠FDC＝15°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∴OM＝OA＝＝，AM＝OM＝，
∵OA＝OE，OM⊥AC，
∴AE＝2AM＝3，
∴∠BAC＝∠AEO＝30°，
∴∠AOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝3π﹣；
（2）证明：连接OD，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴AC∥OD，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD过O，
∴DF是⊙O的切线；
（3）证明：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴∠FDC＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠FDC＝∠DAC，
∵A、B、D、E四点共圆，
∴∠DEF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠EDF＝∠DAC．
37．（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；
（2）根据三角形的内角和求出∠ADC和∠BEC的度数和，然后根据切线长定理，得出∠EDO和∠DEO的度数和，再根据三角形的内角和求出∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；
同理：∠ODE＝∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
38．（2018秋?淮安区期中）已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求：
（1）△PCD的周长；
（2）若∠P＝50°，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据切线长定理，即可得到PA＝PB，ED＝AD，CE＝BC，从而求得三角形的周长＝2PA；
（2）连接OE，根据切线的性质得出∠P+∠AOB＝180°，由切线长定理得出∠COD＝∠AOB，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；
（2）连接OE，如图所示：
由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，
∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，
∴∠AOB+∠P＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，
由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．
39．（2018秋?下城区期中）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
【分析】（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC+PB；
【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
依题可得，∠APB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
40．（2018秋?岳麓区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．
（1）求劣弧BD的长．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形的面积公式计算即可；
【解答】解：（1）∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠DOB＝60°，
∴的长＝＝．
（2）S阴＝S扇形OAD＝＝．
41．（2018?荆州）问题：已知α、β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，求α+β的度数．
探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；
延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．
【分析】（1）连结AM、MH，则∠MHP＝∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；
（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP＝∠α．
∵AD＝MC，∠D＝∠C，MD＝HC，
∴△ADM≌△MCH．
∴AM＝MH，∠DAM＝∠HMC．
∵∠AMD+∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠HMC＝90°，
∴∠AMH＝90°，
∴∠MHA＝45°，即α+β＝45°．
方法二：连接PA．只要证明△PAQ∽△PHA，
可得∠PAQ＝∠AHP＝α，
∵∠APG＝45°，∠APG＝α+β，
∴α+β＝45°．
（2）由勾股定理可知MH＝＝．
∵∠MHR＝45°，
∴＝＝．
42．（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴．
43．（2018秋?淮阴区期中）AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，且CE＝2，求图中阴影部分的面积．
【分析】连接DE、OE、OD，可得△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE＝∠BOD，则AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；根据阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE求解即可．
【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，
∴∠AOE＝∠EOD＝∠DOB＝60°
∵OA＝OE＝OD＝OB
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，
∴AB∥DE，S△ODE＝S△BDE；
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAE﹣S△OAE+S扇形ODE＝×2﹣×22＝π﹣．
44．（2018秋?新吴区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．
【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题；
【解答】解：连接OD，OF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴S△AFD＝S△OFA，
∴S阴＝S扇形OFA，
∵OD＝OA＝2，AB＝6，
∴OB＝4，
∴OB＝2OD，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OF＝OA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴＝S扇形OFA＝＝．
45．（2018秋?相城区期中）如图，半圆的直径AB＝20，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
【分析】连接OC，CD，OD，证明CD∥AB，得到△ACD的面积＝△OCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，CD，OD，
∵C，D是半圆的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COD＝60°，∠ADC＝∠BAD，
∴CD∥AB，
∴△ACD的面积＝△OCD的面积，
∴弦AC，AD与围成的阴影部分的面积＝扇形COD的面积＝＝π．
46．（2017秋?吴兴区期末）如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据垂径定理可知AD＝DC，由OA＝OB，推出BC＝2OD＝6，Z在Rt△ACB中，利用勾股定理求出AC．
（2）首先证明△OBC设等边三角形，推出∠AOC＝120°，根据S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC计算即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，∵AO＝OB，
∴BC＝2OD＝6，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6．
（2）连接OC，∵OC＝OB＝BC＝6，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣?6?3＝12π﹣9．
47．（2017秋?宝应县月考）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若图中阴影部分的面积是，OA＝2cm，求OC的长．
【分析】（1）只要求证△AOC≌△BOD，利用已知条件证明即可．
（2）从图中可以得S阴影就是大扇形减小扇形形所得的弓形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠AOD＝∠BOD+∠AOD；
∴∠AOC＝∠BOD；
在△AOC和△BOD中，
∵，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
∴AC＝BD．
（2）解：根据题意得：S阴影＝﹣＝；
∴π＝，
解得：OC＝1（cm）．