江西省奉新县第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案

2020届高二上学期期末考试数学（理）试卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。)
1.用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于(　 )
A.a,b,c中没有偶数 B.a,b,c中恰好有一个偶数
C.a,b,c中至少有一个偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数
2．函数的导数为（ ）
A． B．
C． D．
3．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．下列命题中正确的个数是 ( )
①命题“若,则”的逆否命题为“若， 则;
②“ ”是“ ”的必要不充分条件;
③若为假命题，则p，q为假命题;
④若命题<0 ,则.
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
5．已知直线与直线垂直，则的值为 ( ）
A． 0 B． 1 C． D．
6. 若一组数据的方差为1，则的方差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
7．设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，下列四个命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，是在内的射影，，则
C.若是平面的一条斜线，，为过的一条动直线，则可能有
D.若，则
8．已知为实数,直线,,则“”是“”的( )
A． 充要条件 B． 充分不必要条件
C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
9.在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( 　　)
A． B． C． D．
10. 已知点及抛物线上的动点,则的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．
11．设双曲线C:的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A． 2 B． C． D． 4
12．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．函数在点处的切线方程是__________．
14．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是 .
15．观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为_______ ．
16．已知三棱锥中，平面平面，
则三棱锥的外接球的大圆面积为______．
三：解答题(本大题共6小题，共70分．10+12+12+12+12+12=70解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如下图所示．
（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；
（2）在[60，70），[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，求应抽取成绩在[70，80）内的学生的人数；
（3）在（2）的条件下，从这8名学生中随机抽取2名学生到某广场参加环保知识宣传活动，记“抽取的两名学生中成绩在[60，70）内的至多有1人”为事件，求．
18.设命题 实数满足：，其中.命题 实数满足，其中
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19.在等比数列{an}中,a3=,S3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2,且{bn}为递增数列,若cn=,求证:c1+c2+c3+…+cn<.
20.如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形， 为正三角形，且分别为的中点， 平面， 平面．
（1）求证： 平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
21．已知圆C： .
(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C交于，试求直线:在x轴上的截距;
（2）若斜率为1的直线与圆C交于D,E两点，求使面积的最大值及此时直线的方程.
22．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭
圆C交于A，B两点．
1求的周长；
2若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．
2020届高二上学期期末考试数学参考答案（理）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。)
DABBB CBADA BB
二:填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
14.
15. 13＋23＋…＋n3＝ 16 . 　
三:解答题（本大题共5小题，12+12+12+12+12=60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17.【解析】（1）由题图可知，样本容量，，
所以．
（2）成绩在[60，70），[70，80），[80，90）内的学生人数分别为15，20，5，
按分层抽样抽取8名学生的成绩，
则应抽取成绩在[70，80）内的学生的人数为．
（3）由（2）可知应抽取成绩在[60，70）内的学生的人数为3，
从8名学生中随机抽取2名学生共有28种情况，
其中2名学生的成绩均在[60，70）内的共有3种情况，
所以．
.18.18.试题解析：（1） …………………3分
时
为真 真且真…………………………4分
得即为真时，实数的取值范围为…6分
（2）是的充分不必要条件，即
等价于且
记 则………9分
或 得…………12分
19.解析　(1)设{an}的公比为q(q≠0).∵a3=,S3=,
∴?或
∴an=或an=6.
(2)证明:由题意知bn=log2=log2=log222n=2n,
∴cn===,
∴c1+c2+c3+…+cn===-<.
20解：
（2）解：
以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，
不妨设菱形的边长为2，则，
，
则点，
，
设平面的法向量为，
则由，解得，
不妨令，得；
又，
所以与平面所成角的正弦值为．
（1）圆C：，设直线：，联立，则有：，