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第8讲两条直线的位置关系满分冲刺学案（学生版）
【经典例题】
考点一：相交线与平行线
【例1】在同一个平面内，两条直线的位置关系是（ ）
平行或垂直 B．相交或垂直 C．平行或相交 D．不能确定
【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行.这个性质:
前提两条直线①在同一平面内②不重合：结论相交或平行：准确地理解条件和结
论是正确地解答的关键.初中数学定义或性质一般是描述性或定义性（规定）呈现，很难
准确理解：两条直线为什么要在同一平面内？因为两条直线在同一平面内只有3种可能
①平行②相交③重合；若两条直线在异面内就不止3种了（高中才学），这样就不难
理解有2个前提产生2个结论：①平行②相交（注：垂直是相交特殊情形）
【解答】解：在同一个平面内的两条直线一定是平行或相交．
故选：C．
考点二：对顶角
【例2】如图是一种测量角的仪器，它依据的原理是_______________.
【分析】准确地理解对项角定义并根据对顶角相等的性质解答：
对项角定义：书本上描述两个角①有公共顶点②这两个角的两边互为反向延长线
其实也可以理解为①两条直线相交①两个角有公共顶点②这两个角位置在对立面
（不相邻）；定义和性质理解准确才能保证解答的正确性，千万不要死记硬背定义性质.
【解答】解：测量角的仪器依据的原理是：对顶角相等．故答案为：对顶角相等．
考点三：余角和补角.
【例3】如图，点A、O、B在一条直线上，DO⊥AB，CO⊥OE．
（1）图中相等的锐角有_____对，它们是_________．
(2）与∠COD互余的角是________，互补的角是______．
（3）如果∠COD=25°，求∠AOE的度数．
【分析】本题考查余角和补角的知识，属于基础题，注意运用同角的余角（补角）相等
※余角两个角相加等于（注：两个角①相加②），可以顺推，也可以逆用.
※补角两个角相加等于（注：两个角①相加②），可以顺推，也可以逆用.
※性质：①同角或等角的余角相等②同角或等角的补角相等
（1）根据同角的余角相等，可找到相等的锐角；
（2）根据余角、补角的定义，结合图形即可得出答案；
（3）根据∠COD=∠BOE，求出∠BOE的度数，继而可求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）图中相等的锐角有：∠AOC=∠DOE，∠COD=∠EOB，共2对．
（2）与∠COD互余的角有：∠AOC，∠DOE；互补的角有∠AOE；
（3）∵∠BOE=∠CDO=25°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=155°．
考点四：垂线.
【例4】如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】本题考查了①垂线段的性质：②直线的性质：③线段的性质;准确理解几何
性质是解题关键：
①垂线段的性质：垂线段最短.
②直线的性质：两点确定一条直线.
③线段的性质：两点之间线段最短．
【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；
故选：D．
【知识巩固】
1.对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（ ）
A. B． C． D．
2.下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，AB⊥L，AC⊥L，垂足分别为B，A，则A点到直线L的距离是线段______的
长度．
如果那么的余角等于_______度，
的补角等于_______度.
5.如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度
数是（ ）
A．90° B．150° C．180° D．不能确定
6.如图，直线AB、CD相交于点O．若∠1+∠2=100°，则∠BOC的大小为______度．
7.如图，直线相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=5∠COE，求∠AOD的度数．
9.一个角的补角比它的余角的2倍还多40度，求这个角是多少度？
10.如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是_________．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是____________.
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD．
（1）图中除直角外，请写出一对相等的角：_____________
（写出符合的一对即可）；
（2）若∠AOE=28°，求∠BOD和∠COF的度数．
【培优特训】
如图，已知直线AB、DE相交于点O，∠AOC=160°，OC平分∠EOB，求∠AOD的度
数．
如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，
则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
14.如图所示，点O是直线AB上一点，过点O任作一条射线OC,OD,OE分别平分
和，试确定OD与OE的位置关系，并说明理由.
15.如图所示，某人要从点A走到河岸BC，怎样走最近？为什么？如果要从点A走到河
岸上一点D,怎样走最近？为什么？
直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足
为O．
（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条
直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点
数P与直线条数n之间的关系如下表：
直线条数n/条 2 3 4 5 6 7
最多交点个数p/个 1 3 6 10
根据这个规律，请继续把这个表格填完整．
则n与p的关系式为：_____________．
(3)时，最多有多少个交点？
【中考链接】
18.如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
19.如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A.∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
20.下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
21.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
22.如图，三角板的直角顶点在直线Ｌ上，则的度数是_________.
23.已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于____度．
24.如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
25.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
26.如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，求
∠EOF度数．
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第8讲两条直线的位置关系满分冲刺学案（教师版）
【经典例题】
考点一：相交线与平行线
【例1】在同一个平面内，两条直线的位置关系是（ ）
平行或垂直 B．相交或垂直 C．平行或相交 D．不能确定
【分析】在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行.这个性质:
前提两条直线①在同一平面内②不重合：结论相交或平行：准确地理解条件和结
论是正确地解答的关键.初中数学定义或性质一般是描述性或定义性（规定）呈现，很难
准确理解：两条直线为什么要在同一平面内？因为两条直线在同一平面内只有3种可能
①平行②相交③重合；若两条直线在异面内就不止3种了（高中才学），这样就不难
理解有2个前提产生2个结论：①平行②相交（注：垂直是相交特殊情形）
【解答】解：在同一个平面内的两条直线一定是平行或相交．
故选：C．
考点二：对顶角
【例2】如图是一种测量角的仪器，它依据的原理是_______________.
【分析】准确地理解对项角定义并根据对顶角相等的性质解答：
对项角定义：书本上描述两个角①有公共顶点②这两个角的两边互为反向延长线
其实也可以理解为①两条直线相交①两个角有公共顶点②这两个角位置在对立面
（不相邻）；定义和性质理解准确才能保证解答的正确性，千万不要死记硬背定义性质.
【解答】解：测量角的仪器依据的原理是：对顶角相等．故答案为：对顶角相等．
考点三：余角和补角.
【例3】如图，点A、O、B在一条直线上，DO⊥AB，CO⊥OE．
（1）图中相等的锐角有_____对，它们是_________．
(2）与∠COD互余的角是________，互补的角是______．
（3）如果∠COD=25°，求∠AOE的度数．
【分析】本题考查余角和补角的知识，属于基础题，注意运用同角的余角（补角）相等
※余角两个角相加等于（注：两个角①相加②），可以顺推，也可以逆用.
※补角两个角相加等于（注：两个角①相加②），可以顺推，也可以逆用.
※性质：①同角或等角的余角相等②同角或等角的补角相等
（1）根据同角的余角相等，可找到相等的锐角；
（2）根据余角、补角的定义，结合图形即可得出答案；
（3）根据∠COD=∠BOE，求出∠BOE的度数，继而可求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）图中相等的锐角有：∠AOC=∠DOE，∠COD=∠EOB，共2对．
（2）与∠COD互余的角有：∠AOC，∠DOE；互补的角有∠AOE；
（3）∵∠BOE=∠CDO=25°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=155°．
考点四：垂线.
【例4】如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【分析】本题考查了①垂线段的性质：②直线的性质：③线段的性质;准确理解几何
性质是解题关键：
①垂线段的性质：垂线段最短.
②直线的性质：两点确定一条直线.
③线段的性质：两点之间线段最短．
【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；
故选：D．
【知识巩固】
1.对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（ ）
A. B． C． D．
解：A中线段和直线不能相交； B中这条直线与这条射线能相交；
C中线段和射线不能相交； D中直线和射线不能相交． 故选：B．
2.下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，
A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；
C是由两条直线相交构成的图形，正确．
故选：C．
3.如图，AB⊥L，AC⊥L，垂足分别为B，A，则A点到直线L的距离是线段______的
长度．
解：∵ABＬ，
∴则A点到直线Ｌ的距离是线段AB的长度，
故答案为：AB．
如果那么的余角等于_______度，的补角等于_______度.
解：（1）根据余角的定义得，54°的余角度数是90°-54°=36°．故答案为：36．
（2）根据补角的定义得，54°的补角度数是180°-54°=126°．故答案为：126．
5.如图所示，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOE的度
数是（ ）
A．90° B．150° C．180° D．不能确定
解：∵OB平分∠DOE
∴∠BOE=∠DOE=30°
∵∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE=180°-30°=150°
故选：B．
6.如图，直线AB、CD相交于点O．若∠1+∠2=100°，则∠BOC的大小为______度．
解：∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2，
又∵∠1+∠2=100°，
∴∠1=50°．
∵∠1与∠BOC互为邻补角，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-50°=130°．
故答案为：130．
7.如图，直线相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
解：∵∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∴∠2=∠4=180°-∠1=180°-40°=140°．
8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=5∠COE，求∠AOD的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
设∠COE=x，则∠DOE=5x，
∵∠COE+∠EOD=180°，
∴x+5x=180°，
∴x=30°，
∴∠BOC=∠COE+∠BOE=30°+90°=120°，
∴∠AOD=∠BOC=120°．
9.一个角的补角比它的余角的2倍还多40度，求这个角是多少度？
解：设这个角为x°，则其余角为（90-x）°，补角为（180-x）°，依题意有
180-x=2（90-x）+40，
解得x=40，
答：这个角的度数是40度．
10.如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是_________．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是____________.
解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．
（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．
11.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD．
（1）图中除直角外，请写出一对相等的角：_____________
（写出符合的一对即可）；
（2）若∠AOE=28°，求∠BOD和∠COF的度数．
解：（1）∠DOB=∠AOC，∠AOD=∠BOC；故答案为：∠DOB=∠AOC，∠AOD=∠BOC；
（2）∵OE⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠AOE=28°，
∴∠AOC=，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOD=31°
∴∠COF=180°-31°=149°．
【培优特训】
如图，已知直线AB、DE相交于点O，∠AOC=160°，OC平分∠EOB，求∠AOD的度
数．
解：∵∠AOC=160°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-160°=20°，
∵OC平分∠EOB，
∴∠BOE=2∠BOC=2×20°=40°，
∴∠AOD=∠BOE=40°．
如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，
则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠2=45° B．∠1=∠3
C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
解：A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；
B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；
C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；
D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，
∴∠1的余角等于75°30′，不成立．
故选：D．
14.如图所示，点O是直线AB上一点，过点O任作一条射线OC,OD,OE分别平分
和，试确定OD与OE的位置关系，并说明理由.
解：OD与OE的位置关系是：,理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠AOB=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB＝90°
OD与OE的位置关系是：
15.如图所示，某人要从点A走到河岸BC，怎样走最近？为什么？如果要从点A走到河
岸上一点D,怎样走最近？为什么？
解：如图所示：村民取水AE最近，理由：垂线段最短；
到码头AD最近，理由：两点之间，线段最短．
直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足
为O．
（1）若∠EOF=54°，求∠AOC的度数；
（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；
②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．
解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF=54°，
∴∠DOE=90°-54°=36°
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=72°，
∴∠AOC=∠BOD=72°；
(2) ①如图所示：
②∠AOG=∠EOF；
理由：∵OE平分∠BOD.
∴∠BOE=∠DOE，
∵OF⊥CD，OG⊥OE，
∴∠EOF+∠DOE=90°，∠AOG+∠BOE=90°，
∴∠EOF=∠AOG．
在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点；四条
直线两两相交最多有6个交点……当相交直线的条数从2至n变化时，最多可有的交点
数P与直线条数n之间的关系如下表：
直线条数n/条 2 3 4 5 6 7
最多交点个数p/个 1 3 6 10
根据这个规律，请继续把这个表格填完整．
则n与p的关系式为：_____________．
(3)时，最多有多少个交点？
解：∵2条直线相交最多有1个交点，
3条直线相交最多有3个交点，
4条直线相交最多有6个交点．
而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）个交点．
即p=n（n-1），故（2）答案为：p=n（n-1）．
(1)填：21；28.（2）n与p的关系式为：p=n（n-1）．（3）【中考链接】
18.如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（ ）
A．20° B．60° C．70° D．160°
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°， 故选：D．
19.如图，下列各组角中，互为对顶角的是（ ）
A.∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
解：互为对顶角的是：∠1和∠2． 故选：A．
20.下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选：D．
21.如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°
C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°
解：A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选：C．
如图，三角板的直角顶点在直线Ｌ上，则的度数是_________.
解：∵∠1=40°，
∴∠2=180°-90°-40°=50°，
23.已知：如图直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE=60°，则∠BOD等于____度．
解：由垂线的定义，得
∠AOE=90°，
由余角的性质，得
∠AOC=∠AOE-∠COE=30°，
由对顶角相等，得
∠BOD=∠AOC=30°，
故答案为：30．
24.如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
解：由题意得:点P到直线l的距离是线段PB的长度，故选：B．
25.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则
∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=∠AOM=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
26.如图，直线AB、CD相交于点O，作∠DOE=∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°，求
∠EOF度数．
解：∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，
∵∠COD为平角，
∴∠AOC+∠AOF+∠EOF+∠EOD=180°，
∵∠AOC与∠BOD为对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠DOE=∠BOD，
∴2∠AOC+2∠EOF=180°，
又∵∠AOC=28°，
∴∠EOF=62°．
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