28.2解直角三角形专项练习试卷（含答案）

《解直角三角形》专项练习
时间：120分钟 满分：120分
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共32.0分）
在△??????中，∠??=
90
°
，????=6，cos??=
1
3
，则AC等于（）.
A. 18 B. 2 C.
1
2
D.
1
18
已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（）．
A. 15m B. 60m C. 20m D. 10
3
??
如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 2?
??
3
B. 2?
??
6
C. 4?
??
3
D. 4?
??
6
河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1:
3
（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是? （??? ）
A. 5
3
米 B. 10
3
米 C. 15米 D. 10米
某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是（　　）
A. 南偏东
25
°
，50
2
千米 B. 北偏西
25
°
，50
2
千米C. 南偏东
70
°
，100千米 D. 北偏西
20
°
，100千米
下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，则sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，则tanC?sinC=cosC．其中正确的命题有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）
A.
2
5
5
B.
5
5
C. 2D.
1
2

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足a2-ab-b2=0，则tanA等于（　　）
A. 1 B.
1+
5
2
C.
1?
5
2
D.
1±
5
2
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）
A. 30，2 B. 60，2 C. 60，
3
2
D. 60，
3
如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为
????
上的动点，点M，N，P分别是AD，DC，CB的中点．若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是（　　）
A. 1+
3
B. 1+2
3
C. 2+2
3
D. 2+
3

二、填空题（本大题共10小题，共32.0分）
如图，在菱形ABCD中，AE⊥DC于E，AE=8cm，sinD=
2
3
，则菱形ABCD的面积是______．
如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是α，坡度是1：
3
，则α=______．
如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为______．米．
等腰三角形的腰长为20，底边长为32，则其底角的余弦值是______ ．
如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是______．
如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC=______．
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是______．
如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是______．
如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=
4
3
，反比例函数y=
??
??
的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于______．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数y=
??
??
（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=
1
2
，则BN的长为______．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2
3
.求AB的长．


如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=a．（1）求sina、cosa、tana的值；（2）若∠B=∠CAD，求BD的长．

如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=10，BD=8，CD=2
3
． （1）求AD的长．
（2）求△ABC的周长．
四、解答题（本大题共4小题，共38.0分）
已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，求M点的坐标及四边形OBMC面积．
如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若BC=4，cos∠BAD=
3
4
，CF=
10
3
，求BF的长．

如图，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=
??
2
??
的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=
3
5
．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．

如图，抛物线??=
1
4
??
2
+
1
4
??+??与??轴的负半轴交于点??，与??轴交于点??，连结????，点C(6，
15
2
)在抛物线上，直线????与??轴交于点??
(1)求??的值及直线????的函数表达式；
(2)点??在??轴正半轴上，点??在??轴正半轴上，连结????与直线????交于点??，连结????并延长交????于点??，若??为????的中点．
①求证：???????∽???????；
②设点??的横坐标为??，求????的长(用含??的代数式表示)．
答案和解析
1、【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】96cm2
12.【答案】30°
13.【答案】120
3
14.【答案】
4
5
15.【答案】（2+
3
，1）
16.【答案】3
17.【答案】
3
5
18.【答案】
3
19.【答案】-24
20.【答案】3
21.【答案】解：过C作CD⊥AB于D，?∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2
3
，∴CD=
3
，∴BD=CD=
3
，由勾股定理得：AD=
??
??
2
???
??
2
=3，∴AB=AD+BD=3+
3
，答：AB的长是3+
3
．
22.【答案】解：在Rt△ACD中，∵AC=2，DC=1，∴AD=
??
??
2
+??
??
2
=
5
．（1）sinα=
????
????
=
1
5
=
5
5
，cosα=
????
????
=
2
5
=
2
5
5
，tanα=
????
????
=
1
2
； （2）在Rt△ABC中，tanB=
????
????
，即tanα=
2
????
=
1
2
，∴BC=4，∴BD=BC-CD=4-1=3．
23.【答案】解：（1）∵在△ABC中，AD是BC边上高，
∴△ADC和△ABD都是直角三角形，
在Rt△ABD中，AB =10，BD=8，????=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
8
2
=6；
（2）在Rt△ACD中，????=
??
??
2
+??
??
2
=
6
2
+
2
3
2
=4
3
，∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD
=10+4
3
+8+2
3
=18+6
3
.
24.【答案】解：（1）直线y=x-2与坐标轴的交点坐标分别为B（2，0），C（0，-2），以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c中，得
?????+??=0
4+2??+??=0
??=?2
解得
??=1
??=?1
??=?2
∴所求抛物线的解析式是y=x2-x-2；（2）∵y=x2-x-2=（x-
1
2
）2-
9
4
，∴抛物线的顶点坐标为（
1
2
，-
9
4
）；（3）∵因为点M在第四象限内的抛物线上，且tan∠MOC=1，∴设M（x，-x），因为点M在抛物线上，∴x2-x-2=-x．解得x1=
2
，x2=
2
，因点M在第四象限，取x=
2
，∴M（
2
，-
2
），∵OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∵∠COM=45°，∴∠ODC=90°，即OM⊥BC，得OM=2，BC=2
2
，四边形OBMC的面积为
1
2
OM?BC=2
2
．
25.【答案】证明：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）过点B作CF边的垂线交CF于点H． ∵cos∠BAD=
3
4
，∴cos∠BCD=
3
4
，∵BC=4，∴CH=3，∴BH=
7
，∴FH=CF-CH=
1
3
，在Rt△BFH中，BF=
8
3
．
26.【答案】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=
3
5
，∴AE=AO?sin∠AOC=5×
3
5
=3，∴OE=
??
??
2
???
??
2
=4，∴点A的坐标为（-4，3）．∵点A在反比例函数y2=
??
2
??
的图象上，∴k2=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y2=-
12
??
． （2）∵点B（m，-4）反比例函数y2=-
12
??
的图象上，∴-4=-
12
??
，解得：m=3，∴点B的坐标为（3，-4）．将A（-4，3）、B（3，-4）代入y1=k1x+b中，
3
??
1
+??=?4
?4
??
1
+??=3
，解得：
??=?1
??
1
=?1
，∴直线AB的解析式为y=-x-1．当y=-x-1=0时，x=-1，∴点C的坐标为（-1，0），∴S△AOB=
1
2
OC?（yA-yB）=
1
2
×1×[3-（-4）]=
7
2
． （3）观察函数图象可知：当x＜0时，y2＞0；当0＜x＜3时，y2＜-4．∴当x＜3时，y2＞0或y2＜-4．
27.【答案】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得
15
2
=9+
3
2
+c，解得c=-3，∴抛物线解析式为y=
1
4
x2+
1
4
x-3，令y=0可得
1
4
x2+
1
4
x-3=0，解得x=-4或x=3，∴A（-4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得
0=?4??+??
15
2
=6??+??
，解得
??=
3
4
??=3
，∴直线AC的函数表达式为y=
3
4
x+3；（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=
????
????
=
3
4
，在RtAOD中，tan∠OAD=
????
????
=
3
4
，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=
3
4
，∴cos∠EAM=cos∠OAD=
4
5
，∴
????
????
=
4
5
，∴AM=
4
5
AE=
5(??+4)
4
，∵△APM∽△AON，∴
????
????
=
????
????
，即
5
??+4
4
????
=
2??+4
4
，∴AN=
5??+20
2??+4
．