第三章 图形的平移与旋转复习题---解答题（含解析）

北师大版数学八下第三章图形的平移与旋转---解答题
一．解答题
1．（2018秋?南昌期中）如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．
2．（2018春?陆川县期末）解答题
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）试说明∠FDB＝∠DBF
（2）求∠DBE的度数．
（3）若平行移动AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
3．（2018春?昭平县期末）如图，将△ABC沿着从B到D的方向平移后得到△EDF，若AB＝16cm，AE＝12cm，CE＝4cm．
（1）指出△ABC平移的距离是多少？
（2）求线段BD、DE、EF的长．
4．（2018春?长春期末）如图，△ABE的周长是19cm，将△ABE向右平移3cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长．
5．（2018春?宿州期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AC＝6cm，则BE＝　 　cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．
6．（2018春?开鲁县期中）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．
（1）直接写出点C，D的坐标：C　 　，D　 　；
（2）四边形ABCD的面积为　 　；
（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD、PO，试猜想
∠CDP、∠BOP与∠OPD之间的数量关系，并说明理由．
7．（2018春?义安区期末）已知：△ABC与△A'B'C在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出B、B'的坐标：B　 　；B′　 　；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为　 　；
（3）求△ABC的面积．
8．（2018春?泗县期中）如图，已知△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与A1，点B与B1，点C与C1的坐标；
（2）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），求p点坐标．
9．（2018秋?鸡东县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，三角形ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C的坐标为（3，2）
（1）将三角形ABC先沿着x轴负方向平移6个单位，再沿y轴负方向平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1、C1的坐标．
10．（2018秋?香坊区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣2，1）、（﹣1，1），如果将三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到三角形A′B′C′，点A'、B′、C′分别为点A、B、C移动后的对应点．
（1）请直接写出点A′、B'、C′的坐标；
（2）请在图中画出三角形A′B′C′，并直接写出三角形A′B′C′的面积．
11．（2018秋?潮南区期末）如图在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），求证：AB1∥CB．
12．（2018秋?河北区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°到线段AD．△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（I）求∠1的大小．
（Ⅱ）求AE的长．
13．（2018秋?香洲区期末）在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝10，D为AC上点．将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE．
（1）证明：∠ABD＝∠CBE；
（2）连接ED，若ED＝2，求的值．
14．（2018秋?克东县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．
（1）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．
15．（2018秋?饶平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
16．（2018秋?江汉区月考）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△BDE（点A对应点为D），线段AC交线段DE于点F．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）求EFC的度数．
17．（2018秋?东营区校级月考）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试说明△COD是等边三角形；
（2）当a＝150°时，OB＝3，OC＝4，试求OA的长．
18．（2018春?宁晋县期中）如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
19．（2017秋?东营区校级期末）如图，△PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．
（1）分别写出点A与P，点B与Q，点C与R的坐标；
（2）认真观察上述坐标，你发现了它们之间有怎样的关系？
（3）△ABC内有一点M（a，b），点M经过这种变换后得到点N，请你写出点N的坐标；
（4）如果网络图中每个小正方形的边长均为1，试求三角形ABC的面积．
20．（2018?罗平县三模）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次　 　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　 　（填“A”或“B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
21．（2017秋?西华县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移可得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于某直线对称，则对称轴是　 　；
△AOC绕原点O顺时针旋转可得到△DOB，则旋转角至少是　 　°．
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

北师大版数学八下第三章图形的平移与旋转---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?南昌期中）如图，将△ABC沿直线BC向右平移到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于点D．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）请写出图中3条不同类型的正确结论．
【分析】（1）根据平移的性质得到AB∥A1D，利用平行线的性质得到∠A＝∠D即可；
（2）结合题意写出线段平行、相等及角相等的有关结论即可．
【解答】证明：（1）由平移性质，得∠B＝∠A1B1C1．
又∵∠A1B1C1＝∠BB1D．
∴∠B＝∠BB1D，
∴AB∥A1D，
∴∠A＝∠D；
（2）三条不同类型的正确结论是：
①AD∥A1C1；②BB1＝CC1；③∠A＝∠A1．
2．（2018春?陆川县期末）解答题
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）试说明∠FDB＝∠DBF
（2）求∠DBE的度数．
（3）若平行移动AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．
【分析】（1）由AB∥CD知∠ABD＝∠FDB，结合∠DBF＝∠ABD可得答案；
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBF＝∠ABF，即可求得∠DBE的度数．
（3）由AB∥CD知∠BFC＝∠ABF＝2∠ABD、∠ABD＝∠BDC，据此可得∠BFC＝2∠BDC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠FDB，
又∵∠DBF＝∠ABD，
∴∠FDB＝∠DBF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵BE平分∠CBF，
∴∠EBF＝∠FBC，
∵∠DBF＝∠ABD，
∴∠DBF＝∠ABF，
∴∠DBE＝∠DBF+∠EBF＝∠FBC+∠ABF＝∠ABC＝40°；
（3）∠BFC：∠BDC的比值不会随之发生变化，
∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝2∠ABD，∠ABD＝∠BDC，
∴∠BFC＝2∠BDC，
∴∠BFC：∠BDC＝2，即∠BFC：∠BDC的比值不会随之发生变化．
3．（2018春?昭平县期末）如图，将△ABC沿着从B到D的方向平移后得到△EDF，若AB＝16cm，AE＝12cm，CE＝4cm．
（1）指出△ABC平移的距离是多少？
（2）求线段BD、DE、EF的长．
【分析】（1）找准平移前后的对应点即可确定平移的距离；
（2）根据平移的性质分别求得相应的线段的长即可；
【解答】解：（1）∵AE＝12cm，
∴平移的距离＝AE＝12cm；
（2）∵三角形ABC沿着从B到D的方向平移后得到三角形EDF，
∴BD＝AE＝12cm，DE＝AB＝16cm，EF＝AC＝AE﹣CE＝16﹣4＝8cm．
4．（2018春?长春期末）如图，△ABE的周长是19cm，将△ABE向右平移3cm，得到△DCF．求四边形ABFD的周长．
【分析】根据平移的性质可得DF＝AE，然后判断出四边形ABFD的周长＝△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴EF＝AD＝3cm，AE＝DF．
∵△ABE的周长为19cm，
∴AB+BE+AE＝19cm．
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD
＝AB+BE+AE+EF+AD
＝19+3+3
＝25cm．
5．（2018春?宿州期中）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．
（1）若AC＝6cm，则BE＝　6　cm；
（2）若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，求∠CBE的度数．
【分析】（1）由平移性质知△ABC≌△BDE，据此可得BE＝AC＝6cm；
（2）由△ABC≌△BDE得∠DBE＝∠CAB＝50°、∠BDE＝∠ABC＝100°，根据∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE可得答案．
【解答】解：（1）∵将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，
∴BE＝AC＝6cm，
故答案为：6；
（2）由（1）知△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠CAB＝50°、∠BDE＝∠ABC＝100°，
∴∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝30°．
6．（2018春?开鲁县期中）如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（3，0），将A，B同时分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的对应点分别为D，C，连接AD，BC．
（1）直接写出点C，D的坐标：C　（4，2）　，D　（0，2）　；
（2）四边形ABCD的面积为　8　；
（3）点P为线段BC上一动点（不含端点），连接PD、PO，试猜想
∠CDP、∠BOP与∠OPD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标；
（2）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再求出其面积即可；
（3）结论：∠CDP+∠BOP＝∠OPD．过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）由图可知，C（4，2），D（0，2）．
故答案为：（4，2），（0，2）；
（2）∵线段CD由线段BA平移而成，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝4×2＝8．
故答案为：8；
（3）结论：∠CDP+∠BOP＝∠OPD．
理由：如图，过点P作PQ∥AB，
∵CD∥AB，
∴CD∥PQ，AB∥PQ，
∴∠CDP＝∠1，∠BOP＝∠2，
∴∠CDP+∠BOP＝∠1+∠2＝∠OPD．
7．（2018春?义安区期末）已知：△ABC与△A'B'C在平面直角坐标系中的位置如图．
（1）分别写出B、B'的坐标：B　（2，0）　；B′　（﹣2，﹣2）　；
（2）若点P（a，b）是△ABC内部一点，则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为　（a﹣4，b﹣2）　；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据点B、B′在平面直角坐标系中的位置可得答案；
（2）先根据平面直角坐标系得出三角形的平移方向和距离，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）由图知点B′的坐标为（2，0）、点B坐标为（﹣2，﹣2），
故答案为：（2，0）、（﹣2，﹣2）；
（2）由图知△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位可得到△A'B'C′，
则平移后△A'B'C内的对应点P′的坐标为（a﹣4，b﹣2），
故答案为：（a﹣4，b﹣2）；
（3）△ABC的面积为2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2．
8．（2018春?泗县期中）如图，已知△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1分别是对应点，观察各对应点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与A1，点B与B1，点C与C1的坐标；
（2）若点P（x，y）通过上述的平移规律平移得到的对应点为Q（3，5），求p点坐标．
【分析】（1）由坐标系即可得；
（2）先得出平移的方向和距离，据此列出关于x、y的方程组，解之可得．
【解答】解：（1）由图知A（1，2）、A1（﹣2，﹣1）；B（2，1）、B1（﹣1，﹣2）；C（3，3）、C1（0，0）；
（2）由（1）知，平移的方向和距离为：向左平移3个单位、向下平移3个单位，
∴，
解得：，
则点P的坐标为（6，8）．
9．（2018秋?鸡东县期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，三角形ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（1，1），点C的坐标为（3，2）
（1）将三角形ABC先沿着x轴负方向平移6个单位，再沿y轴负方向平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1；
（2）分别写出A1，B1、C1的坐标．
【分析】（1）分别将点A，B，C向左平移6个单位，再向下平移2个单位，再首尾顺次连接即可得．
（2）根据所作图形可得三顶点的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）由图知A1（﹣4，2），B1（﹣5，﹣1），C1（﹣3，0）．
10．（2018秋?香坊区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣2，1）、（﹣1，1），如果将三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，会得到三角形A′B′C′，点A'、B′、C′分别为点A、B、C移动后的对应点．
（1）请直接写出点A′、B'、C′的坐标；
（2）请在图中画出三角形A′B′C′，并直接写出三角形A′B′C′的面积．
【分析】（1）根据点的坐标的平移规律可得；
（2）依据所得点的坐标，描点后首尾顺次连接即可得，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知，点A′的坐标为（2，1）、B'的坐标为（0，﹣1）、C′的坐标为（1，﹣1）；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，
S△A′B′C′＝×1×2＝1．
11．（2018秋?潮南区期末）如图在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），求证：AB1∥CB．
【分析】由于是将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，根据旋转的性质得到AB1＝AB＝CB，AC＝AC1，根据等腰三角形的性质得到∠AC1C＝∠ACC1，等量代换得到∠B1AC1＝∠AC1C，根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△AB1C1，
∴AC1＝AC，∠B1AC1＝∠BAC，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠C，
∵AC＝AC1，
∴∠AC1C＝∠C，
∴∠B1AC1＝∠AC1C，
∴AB1∥CB．
12．（2018秋?河北区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°到线段AD．△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．
（I）求∠1的大小．
（Ⅱ）求AE的长．
【分析】（Ⅰ）由旋转的性质得，AD＝AB，∠ABD＝45°，再由平移的性质即可得出结论；
（Ⅱ）先判断出∠ADE＝∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE即可；
【解答】解：（Ⅰ）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠ABD＝45°，
∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠1＝∠ABD＝45°；
（Ⅱ）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，
∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵AC＝8，AB＝AD＝10，
∴AE＝12.5．
13．（2018秋?香洲区期末）在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝10，D为AC上点．将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE．
（1）证明：∠ABD＝∠CBE；
（2）连接ED，若ED＝2，求的值．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABC＝60°，根据旋转的性质得到∠EBD＝60°，根据角的和差即可得到∠ABD＝∠CBE；
（2）过D作DH∥AB于H，解直角三角形得到AD＝2DH，AH＝DH，求得BH＝10﹣DH，推出△BDE是等边三角形，得到BD＝DE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，
∴∠EBD＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠CBD，∠CBE＝60°﹣∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBE；
（2）过D作DH∥AB于H，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2DH，AH＝DH，
∴BH＝10﹣DH，
∵将BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，
∴BE＝BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE＝2，
在Rt△BDH中，BD2＝BH2+DH2，
即（2）2＝（10﹣DH）2+DH2，
解得：DH＝，或DH＝4（不合题意舍去），
∴AD＝2，
∵AC＝5，
∴CD＝3，
∴＝．
14．（2018秋?克东县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，把Rt△ABC绕着B点逆时针旋转，得到Rt△DBE，点E在AB上．
（1）若∠BDA＝70°，求∠BAC的度数；
（2）若BC＝8，AC＝6，求△ABD中AD边上的高．
【分析】（1）由旋转性质知BD＝BA、∠CBA＝∠EBD，据此可得∠BDA＝∠BAD＝70°，从而得∠ABD＝∠ABC＝40°，结合∠C＝90°可得答案；
（2）由旋转性质得BE＝BC＝8、DE＝AC＝6、AB＝BD＝10，从而得AE＝2，利用勾股定理知AD＝2，作BF⊥AD得AF＝AD＝，再次利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）由旋转性质知BD＝BA、∠CBA＝∠EBD，
∵∠BDA＝70°，
∴∠BAD＝70°，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝50°；
（2）∵BC＝8、AC＝6，∠C＝90°，
∴AB＝10，
由旋转性质知△ABC≌△DBE，
则BE＝BC＝8、DE＝AC＝6，
∴AE＝2，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝2，
作BF⊥AD于点F，
∵BA＝BD，
∴AF＝AD＝，
则BF＝＝＝3．
15．（2018秋?饶平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．
（1）求证：△BDC≌△EFC；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．
【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CF，∠DCF＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠ECF，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F＝90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC＝∠F．
【解答】证明：（1）由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，
∴∠DCE+∠ECF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ECF，
在△BDC和△EFC中，
，
∴△BDC≌△EFC（SAS）；
（2）∵EF∥CD，
∴∠F+∠DCF＝180°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠F＝90°，
∵△BDC≌△EFC，
∴∠BDC＝∠F＝90°．
16．（2018秋?江汉区月考）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△BDE（点A对应点为D），线段AC交线段DE于点F．
（1）求证：∠C＝∠E；
（2）求EFC的度数．
【分析】（1）利用旋转前后的两个三角形全等即可解决问题；
（2）利用“8字型”证明∠OFC＝∠OBE即可；
【解答】解：（1）如图设DE交BC于点O．
由旋转的性质可知：△ABC≌△DBE（旋转不变性），
∴∠C＝∠E．
（2）如图设DE交BC于点O．
∵∠C+∠COF+∠CFO＝180°，∠E+∠EOB+∠OBE＝180°，
又∵∠COF＝∠EOB，∠OBE＝60°，
∴∠CFO＝∠OBE＝60°，
即∠EFC＝60°．
17．（2018秋?东营区校级月考）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）试说明△COD是等边三角形；
（2）当a＝150°时，OB＝3，OC＝4，试求OA的长．
【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC＝OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可求AD＝OB＝3，CO＝OD＝4，∠ADO＝90°，根据勾股定理可求OA的长．
【解答】证明：（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，OD＝OC＝4
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∴OA＝＝5
18．（2018春?宁晋县期中）如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
（2）若点P（a+3b，4a﹣b）与点Q（2a﹣9，2b﹣9）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【分析】（1）根据坐标与图形的性质确定对应点的坐标，找出对应点的横纵坐标之间的关系；
（2）根据对应点的横纵坐标之间的关系列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）点A的坐标为（2，3），点D的坐标为（﹣2，﹣3），点B的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（3，1），点F的坐标为（﹣3，﹣1），对应点的横、纵坐标分别互为相反数；
（2）由（1）得，，
解得，，
答：a＝2，b＝1．
19．（2017秋?东营区校级期末）如图，△PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形．
（1）分别写出点A与P，点B与Q，点C与R的坐标；
（2）认真观察上述坐标，你发现了它们之间有怎样的关系？
（3）△ABC内有一点M（a，b），点M经过这种变换后得到点N，请你写出点N的坐标；
（4）如果网络图中每个小正方形的边长均为1，试求三角形ABC的面积．
【分析】（1）利用坐标系直接得出各点坐标即可；
（2）利用（1）中所求得出对应点之间的关系即可；
（3）利用（2）中规律得出N点坐标即可；
（4）利用△ABC所在矩形的面积进而减去周围三角形面积进而求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：点A与P的坐标分别为：（4，3），（﹣4，﹣3）；
点B与Q的坐标分别为：（3，1），（﹣3，﹣1）；
点C与R的坐标分别为：（1，2），（﹣1，﹣2）；
（2）由（1）得：对应点坐标关于原点对称；
（3）由（2）得：△ABC内有一点M（a，b），点M经过这种变换后得到点N，
则点N的坐标为：（﹣a，﹣b）；
（4）三角形ABC的面积为：2×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×1×2＝2.5．
20．（2018?罗平县三模）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次　平移　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　A　（填“A”或“B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
【分析】（1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②；
（2）将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
（3）以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．
【解答】解：（1）图①经过一次平移变换可以得到图②；
（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；
（3）如图．
21．（2017秋?西华县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移可得到△OBD，则平移的距离是　2　个单位长度；△AOC与△BOD关于某直线对称，则对称轴是　y轴　；
△AOC绕原点O顺时针旋转可得到△DOB，则旋转角至少是　120　°．
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
【分析】（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC＝∠BOD＝60°，则∠AOD＝120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；
（2）根据旋转的性质得到OA＝OD，而∠AOC＝∠BOD＝60°，得到∠DOC＝60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO＝90°．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；
∴△AOC与△BOD关于y轴对称；
∵△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．
（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，
∴OA＝OD，
∵∠AOC＝∠BOD＝60°，
∴∠DOC＝60°，
即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AEO＝90°．
故答案为；2；y轴；120．