第四章 因式分解复习题---解答题（含解析）

北师大版数学八下第四章分解因式---解答题
一．解答题
1．（2018秋?西城区期末）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
2．（2018秋?双阳区校级期中）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．
3．（2018秋?如皋市期中）因式分解：
（1）x2﹣10x
（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2
4．（2018秋?宁阳县期中）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）
（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）
（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）
5．（2018秋?句容市期中）如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示它们的面积，则S①＝　 　，S②＝　 　；
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；
（3）请你利用上述发现的结论计算式子：20182﹣20172．
6．（2018秋?松江区期中）因式分解：x4﹣16y4．
7．（2018春?工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．
8．（2018秋?江门期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a
9．（2018秋?荔湾区期末）分解因式：
（1）mn2﹣2mn+m
（2）x2﹣2x+（x﹣2）
10．（2018秋?安岳县期末）将下列各式分解因式：
（1）﹣25ax2+10ax﹣a
（2）4x2（a﹣b）+y2（b﹣a）
11．（2018春?定边县期末）因式分解
（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab
（2）（x+1）（x+2）+．
12．（2018秋?海淀区期末）已知2a﹣b＝﹣2，求代数式3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b的值．
13．（2018秋?宽城区期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，
（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．
14．（2018秋?思明区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a＝，b＝1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，证明“如意数”c≤0．
15．（2018秋?思明区校级期中）已知a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
16．（2018秋?延边州期末）如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．
17．（2018秋?宽城区月考）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+3ab+2b2，并根据你拼成的图形分解因式：a2+3ab+2b2．
18．（2018秋?海门市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）试分析28是否为“神秘数”；
（2）2019是“神秘数”吗？为什么？
（3）说明两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”是4的倍数．
（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？
19．（2018秋?延庆区期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．
（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；
（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；
（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？
20．（2018秋?万州区期中）如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．
如46379，由379﹣7×46＝57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．
（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；
（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．
21．（2018秋?南关区期中）如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2
（1）则需要A类卡片　 　张，B类卡片　 　张，C类卡片　 　张；
（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；
（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．
22．（2018春?宁波期中）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数．
（1）15和40是奇妙数吗？为什么？
（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？
（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．
23．（2018春?凤阳县期中）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．
24．（2018春?东明县期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”
（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
25．（2018春?沙坪坝区校级月考）我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
26．（2018春?巴南区期中）任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，那么称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝p+q+pq．例如12可以分解成1×12、2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝3+4+12＝19．
（1）计算：F（18），F（24）
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y是自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为27，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
27．（2018?九龙坡区校级模拟）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．
（1）请根据以上方法判断31568　 　（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．
（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．

北师大版数学八下第四章分解因式---解答题
参考答案与试题解析
一．解答题
1．（2018秋?西城区期末）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）
（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy
【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．
（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．
【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）
＝x（ x﹣a ）﹣y（ x﹣a ）
＝（ x﹣a ）（ x﹣y ）；
（2）解：x3y﹣10x2y+25xy
＝xy（ x2﹣10x+25）
＝xy（ x﹣5）2．
2．（2018秋?双阳区校级期中）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．
【分析】直接找出公因式﹣8x，进而提取公因式得出答案．
【解答】解：原式＝﹣8x（3m2+2n2）．
3．（2018秋?如皋市期中）因式分解：
（1）x2﹣10x
（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2
【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式即可；
（2）直接提取公因式﹣8a，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；
（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2
＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）
＝﹣8a（x﹣y）2．
4．（2018秋?宁阳县期中）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）
（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）
（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）
【分析】根据分解因式的方法﹣提公因式法分解因式即可．
【解答】解：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）＝2（x﹣y）（a+3b）；
（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）＝（a﹣1）（a﹣b﹣1）；
（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）＝（y﹣x）（2x﹣x﹣y）＝﹣（x﹣y）2．
5．（2018秋?句容市期中）如图，图①、图②分别由两个长方形拼成，其中a＞b．
（1）用含a、b的代数式表示它们的面积，则S①＝　a2﹣b2　，S②＝　（a+b）（a﹣b）　；
（2）S①与S②之间有怎样的大小关系？请你解释其中的道理；
（3）请你利用上述发现的结论计算式子：20182﹣20172．
【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式列代数式即可；
（2）根据（1）得出的结果即可直接得出答案；
（3）根据（2）的公式进行计算即可．
【解答】解：（1）图①的面积是a2﹣b2；图②的面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b），
（2）根据（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
相同的两个长方形拼成的两个图形的面积相等，即都等于这两个长方形面积的和；
（3）20182﹣20172
＝（2018+2017）（2018﹣2017）
＝4035×1
＝4035．
6．（2018秋?松江区期中）因式分解：x4﹣16y4．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x4﹣16y4
＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）
＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．
7．（2018春?工业园区期末）分解因式：x4﹣2x2+1．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x4﹣2x2+1
＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
8．（2018秋?江门期末）分解因式：﹣2a3+12a2﹣18a
【分析】先提取公因式﹣2a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）
＝﹣2a（a﹣3）2．
9．（2018秋?荔湾区期末）分解因式：
（1）mn2﹣2mn+m
（2）x2﹣2x+（x﹣2）
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝m（n2﹣2n+1）＝m（n﹣1）2；
（2）原式＝x（x﹣2）+（x﹣2）＝（x﹣2）（x+1）．
10．（2018秋?安岳县期末）将下列各式分解因式：
（1）﹣25ax2+10ax﹣a
（2）4x2（a﹣b）+y2（b﹣a）
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣a（25x2﹣10x+1）＝﹣a（5x﹣1）2；
（2）原式＝4x2（a﹣b）﹣y2（a﹣b）＝（a﹣b）（2x+y）（2x﹣y）．
11．（2018春?定边县期末）因式分解
（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab
（2）（x+1）（x+2）+．
【分析】（1）提公因式分解因式即可；
（2）先根据多项式乘法法则将式子展开，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab＝﹣2ab（2a2b2﹣3a+1）
（2）（x+1）（x+2）+
＝x2+3x+2+
＝x2+3x+
＝（x+）2．
12．（2018秋?海淀区期末）已知2a﹣b＝﹣2，求代数式3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b的值．
【分析】利用去括号法则和合并同类项的方法先对所求式子进行化简，然后根据2a﹣b的值，即可求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：3（2ab2﹣4a+b）﹣2（3ab2﹣2a）+b
＝6ab2﹣12a+3b﹣6ab2+4a+b
＝﹣8a+4b，
∵2a﹣b＝﹣2，
∴原式＝﹣8a+4b＝﹣4（2a﹣b）＝﹣4×（﹣2）＝8．
13．（2018秋?宽城区期末）已知a、b、c分别是△ABC的三边．
（1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解，
（2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用平方差公式分解因式；
（2）利用（1）中分解的结果得到c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0，再提公因式得到（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，于是a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，然后判断三角形的形状．
【解答】解：（1）a2c2﹣b2c2＝c2（a2﹣b2）＝c2（a+b）（a﹣b）；
a4﹣b4＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；
（2）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，
∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）；
∴c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0；
∴（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∵a、b、c分别是△ABC的三边．
∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∴a＝b或c2＝a2+b2，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
14．（2018秋?思明区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a＝，b＝1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，证明“如意数”c≤0．
【分析】（1）c＝ab+a+b＝++1＝2+1；（2）c＝ab+a+b＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）＝4m﹣m2﹣4＝﹣（m﹣2）2≤0．
【解答】解：（1）c＝ab+a+b＝++1＝2+1；
（2）c＝ab+a+b＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）＝4m﹣m2﹣4，
＝﹣（m﹣2）2≤0，
即：c≤0．
15．（2018秋?思明区校级期中）已知a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
【分析】先将已知化简得：a﹣2b＝1，再把所求的式子进行因式分解，最后代入计算．
【解答】解：a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，
a2+a﹣a2﹣2b﹣1＝0，
a﹣2b＝1，
a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，
＝（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），
＝12﹣2×1，
＝﹣1．
16．（2018秋?延边州期末）如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．
【分析】（1）应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
（2）先根据a+b＝7，ab＝10求出a2+b2的值，即可求出a2+b2+ab的值．
【解答】解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，
∴a2+b2+ab＝29+10＝39．
17．（2018秋?宽城区月考）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+3ab+2b2，并根据你拼成的图形分解因式：a2+3ab+2b2．
【分析】用6张卡片（边长为a的正方形卡片1张，边长为b的正方形卡片2张，边长为a、b的矩形卡片3张）拼成一个大长方形，可判断矩形ABCD的面积为a2+3ab+2b2，从而得到因式分解得结果．
【解答】解：如图，矩形ABCD的面积为a2+3ab+2b2，a2+3ab+2b2可分解为（a+b）（a+2b）．
18．（2018秋?海门市期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）试分析28是否为“神秘数”；
（2）2019是“神秘数”吗？为什么？
（3）说明两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”是4的倍数．
（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，两个连续奇数的平方差（k取正整数）是“神秘数”吗？为什么？
【分析】（1）根据“神秘数”定义可判断；
（2）把2019写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；
（3）由（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），可判断构造的“神秘数”是4的倍数；
（4）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62＝64﹣36
∴28是“神秘数”
（2）2019不是“神秘数”
设2 019是由y和y﹣2两数的平方差得到的，
则y2﹣（y﹣2）2＝2 019，
解得：y＝505.75，不是偶数，
∴2 019不是“神秘数”．
（3）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍
（4）（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，是8的倍数，但不是4的倍数，根据定义得出结论，不是“神秘数”．
19．（2018秋?延庆区期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝﹣a+b得到一个新数c，称所得的新数c为数a，b的“机智数”．
（1）若a＝1，b＝2，直接写出a，b的“机智数”c；
（2）如果，a＝m2+2m+1，b＝m2+m，求a，b的“机智数”c；
（3）若（2）中的c值为一个整数，则m的整数值是多少？
【分析】（1）根据题意和a、b的值可以求得“机智数”c；
（2）根据题意，可以求得a＝m2+2m+1，b＝m2+m时的“机智数”c；
（3）根据（2）中的结论和分式有意义的条件可以求得m的值．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝，
∴c＝＝，
即a，b的“机智数”c是；
（2）∵a＝m2+2m+1，b＝m2+m，c＝，
∴c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m；
（3）∵c＝﹣（m2+2m+1）+（m2+m）＝﹣m，c＝﹣m为一个整数，
∴m＝1或m＝﹣1（舍去），
即m的整数值是1．
20．（2018秋?万州区期中）如果一个整数，将其末三位截去，这个末三位数与余下的数的7倍的差能被19整除，则这个数能被19整除，否则不能被19整除，能被19整除的我们称之为“灵异数”．
如46379，由379﹣7×46＝57，∵57能被19整除，∴46379能被19整除，是“灵异数”．
（1）请用上述规则判断52478和9115是否为“灵异数”；
（2）有一个首位数字是1的五位正整数，它的个位数字不为0且是千位数字的2倍，十位和百位上的数字之和为8，若这个数恰好是“灵异数”，请求出这个数．
【分析】（1）根据题意可以判断52478和9115是否能被19整除，从而判断是否为灵异数；
（2）根据题意．写出相应的式子，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）∵478﹣7×52＝114，114÷19＝6，
∴52478能被19整除，是“灵异数”；
∵115﹣7×9＝52，52÷19＝2…14，
∴9115不能被19整除，不是“灵异数”；
（2）设这个五位数的千位为a，则个位为2a，十位为b，则百位为8﹣b，
∵[100（8﹣b）+10b+2a]﹣7×（10×1+a）＝730﹣90b﹣5a，这个数恰好是灵异数，即能被19整除，a为正整数、b为非负整数，
∴730﹣90b﹣5a能被19整除，
解得，，，
∴这个数为：11172或12084．
21．（2018秋?南关区期中）如图，有若干个长方形和正方形卡片，请你选取相应种类和数量的卡片，拼成一个新长方形，使它的面积等于2a2+3ab+b2
（1）则需要A类卡片　2　张，B类卡片　3　张，C类卡片　1　张；
（2）画出你所拼成的图形，并且请你用不同于2a2+3ab+b2的形式表示出所拼图形的面积；
（3）根据你拼成的图形把多项式2a2+3ab+b2分解因式．
【分析】（1）直接由题意可得；
（2）由图形可得；
（3）由图形面积的两种表达形式可把多项式2a2+3ab+b2分解因式．
【解答】解：（1）∵面积等于2a2+3ab+b2
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片1张；
故答案为：2，3，1
（2）如图：图形的面积＝（2a+b）（a+b）
（3）2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）
22．（2018春?宁波期中）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数．
（1）15和40是奇妙数吗？为什么？
（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？
（3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．
【分析】（1）根据题意可判断；
（2）利用平方差公式可证；
（3）将“奇妙数”从小到大排列后，可求第12个奇妙数．
【解答】解：（1）15和40是奇妙数，
理由：15＝42﹣12，40＝72﹣32．
（2）设这两个数为2n﹣1，2n+1
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n
∴是8的倍数．
（3）“奇妙数”从小到大排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19
∴第12个奇妙数为19
23．（2018春?凤阳县期中）发现：任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证：（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸：任意三个连续整数的平方和能被3整除吗？如果不能，余数是几呢？请给出结论并写出理由．
【分析】（1）通过计算可求倍数；
（2）通过完全平方公式可求平方和，即可证平方和是5的倍数；
延伸：通过完全平方公式可求平方和，即可判断平方和是否被3整除．
【解答】解：（1）∵（﹣1）2+02+12+22+32＝1+0+1+4+9＝15＝5×3
∴结果是5的3倍．
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则另四个整数为：n﹣2，n﹣1，n+1，n+2
∴它们的平方和为（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
∵（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2＝5n2+10＝5（n2+2）
∴它们的平方和是5的倍数
延伸：不能被3整除，余数为2
设中间的整数为n，
∵（n﹣1）2+n2+（n+1）2＝3n2+2
∴不能被3整除，余数为2
24．（2018春?东明县期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”
（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
【分析】按照新概念的定义，进行验证即可．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，2020＝5062﹣5042，
∴28和2020是“和谐数”；
（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．
25．（2018春?沙坪坝区校级月考）我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…
（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．
（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．
【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；
（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；
（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k＝45c，化为90a+11a+10b+k＝45c，所以11a+10b+k能同时被45整除，分情况计算可得结论．
【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；
（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），
∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；
（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），
∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，
∴设100a+10b+a+k＝45c，
101a+10b+k＝45c，
90a+11a+10b+k＝45c，
∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，
即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，
∴当a＝1，b＝3，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．
当a＝1，b＝8，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．
当a＝2，b＝2，k＝3时，这个三位“轴对称数”是222．
当a＝3，b＝1，k＝2时，这个三位“轴对称数”是313．
当a＝4，b＝0，k＝1时，这个三位“轴对称数”是404．
当a＝4，b＝9，k＝1时，这个三位“轴对称数”是494．
所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．
26．（2018春?巴南区期中）任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，那么称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝p+q+pq．例如12可以分解成1×12、2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝3+4+12＝19．
（1）计算：F（18），F（24）
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y是自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为27，那么我们称这个数t为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【分析】（1）把18因式分解为1×18，2×9，3×6，再由定义即可得F（18），把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6，再由定义即可得F（24）；
（2）根据吉祥数的定义，求出两位数的吉祥数，再根据F（t）的概念计算即可．
【解答】解：（1）∵18＝1×18＝2×9＝3×6，其中3与6的差的绝对值最小；
∴F（18）＝3+6+18＝27；
∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，
∴F（24）＝4+6+24＝34；
（2）设t＝10x+y，则新的两位是10y+x，
∴（10y+x）﹣（10x+y）＝27，即y﹣x＝3，
∵1≤x≤y≤9，x，y是自然数，
∴t的值为14，25，36，47，58，69，
∵F（14）＝2+7+14＝23，
F（25）＝5+5+25＝35，
F（36）＝6+6+36＝48，
F（47）＝1+47+47＝95，
F（58）＝2+29+58＝81，
F（69）＝3+23+69＝94，
∴吉祥数中F（t）的最大的值为95．
27．（2018?九龙坡区校级模拟）在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．
（1）请根据以上方法判断31568　是　（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．
（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．
【分析】（1）根据定义表示31568的“顺数”与“逆数”，计算它们的差能否被17整除，可判断31568是“最佳拍档数”；根据定义设这个首位是5的四位“最佳拍档数”N，并表示出来，计算的它的“顺数”与“逆数”之差，根据“最佳拍档数”的定义，分情况讨论可得结论；
（2）先证明三位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，再证明四位的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理可得结论．
【解答】（1）解：31568的“顺数”为361568，31568的“逆数”为315668，31568的“顺数”与“逆数”之差为361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍档数”；
设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，
N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，
∵N是四位“最佳拍档数”，
∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，
＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，
＝5940﹣90x﹣900y，
＝90（66﹣x﹣10y），
∴66﹣x﹣10y能被17整除，
①x＝2，y＝3时，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此时N为5326；
②x＝3，y＝8时，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此时N为5835；
③x＝5，y＝1时，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合题意；
④x＝6，y＝6时，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此时N为5662；
⑤x＝8，y＝3时，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合题意；
⑥当x＝9，y＝4时，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合题意；
综上，所有符合条件的N的值为5326，5835，5662；
故答案为：是；
（2）证明：设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，
它的“顺数”：1000z+600+10y+x，
它的“逆数”：1000z+100y+60+x，
∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），
∴任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，
设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a，
∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），
∴任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，
同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．