5.3 万有引力定律与天文学的发现
1．(多选)在研究宇宙发展演变的理论中，有一说法叫做“宇宙膨胀学说”，宇宙是由一个大爆炸的火球开始形成的，大爆炸后各星球以不同的速度向外运动，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中的地球的公转情况与现在相比( )
A．公转半径R较小 B．公转周期T较小
C．公转速率较大 D．公转角速度ω较小
【解析】 各星球以不同速度向外运动，公转半径变大，A正确；万有引力提供地球做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得G＝m＝mω2R＝m，解得v＝，ω＝，T＝2π ，由于G变小，R变大，所以v变小，ω变小，T变大，B、C正确，D错误．
【答案】 ABC
2．(多选)(2013·石家庄高一检测)天文学家有这样一个大胆推测：地球有一个从未谋面的“兄弟”，其运行轨道就在地球的运行轨道上，也就是说从地球上看，这个“地球兄弟”永远在太阳的背面与地球捉迷藏，所以人类一直未能发现它．由以上信息可以确定这颗行星的(设地球的公转周期T、轨道半径r、平均密度ρ、自转周期T0为已知)( )
A．公转周期 B．平均密度
C．轨道半径 D．自转周期
【解析】 由于其运行轨道与地球运行轨道相同，所以轨道半径与地球的轨道半径相同，C选项正确；由开普勒第三定律＝k可知，其围绕太阳运转的公转周期也与地球绕太阳的公转周期相同，A选项正确．题中没有说明“地球兄弟”行星的半径和自转周期，所以无法确定其平均密度和自转周期，B、D选项均错．
【答案】 AC
3．(2012·福建理综)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为
( )
A. B.
C. D.
【解析】 行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有G＝＝m′①
行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力，有G＝mg②
根据题意，有N＝mg③
解以上三式可得M＝，选项B正确．
【答案】 B
4．(多选)(2013·西安高一检测)月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，一个质量为500 kg的飞行器到达月球后( )
A．在月球上的质量仍为500 kg
B．在月球表面上的重力为980 N
C．在月球表面上方的高空中重力小于817 N
D．在月球上的质量将小于500 kg
【解析】 物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对，D错；由题意可知，物体在月球表面上受到的重力为地球表面上重力的，即F月＝mg＝×500×9.8 N＝817 N，故B错；由F＝知，r增大时，引力F月减小．在星球表面，物体的重力可近似认为等于物体所受的万有引力，故C对．
【答案】 AC
5．(2013·高密高一检测)一物体在地球表面上的重力为16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的示重为9 N，则此时火箭离地面的高度是地球半径R 的( )
A．2倍 B．3倍
C．4倍 D．0.5倍
【解析】 设此时重力加速度为g′，离地面高度h，则mg＝16 N,9 N－mg′＝ma，mg′＝，mg＝，由以上四式可得h＝3R.
【答案】 B
6．(2013·琼海一中月考)2010年10月26日，嫦娥二号卫星成功进入远月点100公里、近月点15公里的试验轨道，以便对月球虹湾区进行高分辨率成像．设想嫦娥二号绕月球表面做匀速圆周运动，并测得其运动的周期为T，则月球的平均密度ρ与T的关系可表达为(K为某个常数)( )
A．ρ＝KT B．ρT＝K
C．ρ＝KT2 D．ρT2＝K
【解析】 G＝mR，而M＝ρ·πR3，所以ρT2＝＝K，故D项正确．
【答案】 D
7．(多选)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N表示人对秤的压力，下列说法中，正确的是( )
A．g′＝0 B．g′＝g
C．N＝0 D．N＝g
【解析】 G＝mg′，而G＝mg，所以g′＝g，A错，B对；飞船绕地心做匀速圆周运动时，处于完全失重状态，人对秤的压力为零，故C对、D错．
【答案】 BC
8．(2010·福建高考)火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1与T2之比为( )
A. B.
C. D.
【解析】 本题意在考查学生应用万有引力定律分析实际问题的能力．火星探测器绕火星做圆周运动过程中，火星对探测器的万有引力提供向心力，即：＝mR1()2?T1＝，同理可知飞船绕地球的周期T2＝，所以＝＝，D项正确．
【答案】 D
9．(2013·徐州高一检测)在一个星球上，宇航员为了估算该星球的平均密度设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T；然后利用弹簧测力计测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力为两极的90%.试写出星球平均密度ρ的估算表达式．
【解析】 设星球的质量为M，半径为R，表面重力加速度为g′，砝码的质量为m.
砝码在赤道上失重1－90%＝10%，表明在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为F＝ΔF＝0.1 mg′，而一昼夜的时间T就是星球的自转周期．根据牛顿第二定律，有0.1mg′＝m()2R，根据万有引力定律，mg′＝G，星球表面的重力加速度为g′＝G＝GπρR，所以星球平均密度的估算式为ρ＝.
【答案】 ρ＝
10．假设某星球的密度与地球相同，但其半径为地球的4倍，已知地球表面重力加速度为g，则该星球表面的重力加速度为多大？
【解析】 设地球半径为R，密度为ρ，则地球表面重力加速度为：g＝G＝G×πR3＝πGρR
该星球表面的重力加速度为：g′＝πGρ×4R
解得：g′＝4g.
【答案】 4g
11．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)
【解析】 设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有
ω1＝ω2，①
r1＋r2＝r，②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
G＝m1ωr1③
G＝m2ωr2④
联立以上各式解得r1＝⑤
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝，⑥
联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝r3
【答案】 r3
12．为了实现登月计划，要测算地月之间的距离．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，在地面附近，物体受到地球的万有引力近似等于物体在地面上的重力，又知月球绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G，则：
(1)地球的质量为多少？
(2)地月之间的距离为多少？
【解析】 (1)设地球质量为M，对地面附近的任何物体m′，有＝m′g
所以M＝.
(2)设地月之间的距离为r，月球的质量为m，则
＝m·r
得r＝＝.
【答案】 (1) (2)
5.3 万有引力定律与天文学的新发现
[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的应用，知道海王星、冥王星等天体的发现过程.2.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路．
一、笔尖下发现的行星——海王星的发现
根据天王星的“出轨”现象，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈利用万有引力定律预言在天王星的附近还有一颗新行星，并计算出了轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
二、哈雷彗星的预报
1．英国天文学家哈雷断言，1682年天空中出现的彗星与1531年、1607年出现的彗星是同一颗星．并根据万有引力定律计算出这颗彗星的椭圆轨道，发现它的周期约为76年，这颗彗星后来被称为哈雷彗星．
2．1759年3月13日，这颗大彗星不负众望，光耀夺目地通过近日点，进一步验证了万有引力定律是正确的．
三、称量天体的质量——太阳质量的估算
1．称量地球的质量
(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)关系式：mg＝G.
(3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
2．太阳质量的计算
(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
(2)关系式：＝mr.
(3)结论：M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．
(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.
[即学即用]
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．(×)
(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．(×)
(3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×)
(4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(×)
(5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(×)
(6)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球的质量约为( )
A．2×1018 kg B．2×1020 kg
C．6×1022 kg D．6×1024 kg
答案 D
一、天体质量和密度的计算
[导学探究]
1．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”．
(1)他“称量”的依据是什么？
(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R，求地球的质量和密度．
答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．
(2)由mg＝G，得：M＝
ρ＝＝＝.
2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？
答案 由＝m地r知M太＝，可以求出太阳的质量．由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．
[知识深化] 天体质量和密度的计算方法
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
G＝m()2r
(G＝m)
(G＝mω2r)
天体质量
天体(如地球)质量：M＝
中心天体质量：M＝(M＝
或M＝)
天体密度
ρ＝＝
ρ＝＝(以T为例)
说明
利用mg＝求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度
由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的行星或卫星质量
例1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G.
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
答案 (1) (2)
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝
注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h.
针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )
A. B．1
C．5 D．10
答案 B
解析 由G＝mr得M∝
已知＝，＝，则＝()3×()2≈1，B项正确．
例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)星球半径与地球半径之比；
(2)星球质量与地球质量之比．
答案 (1)4∶1 (2)64∶1
解析 (1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝.
(2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍．根据M＝得＝·＝.
二、物体所受地球的引力与重力的关系
1．物体在地球表面上所受引力与重力的关系
地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F引，重力为G，自转向心力为F′.当然，真实情况不会有这么大偏差．
图1
(1)物体在一般位置时
F′＝mrω2，F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg(2)当物体在赤道上时，F′达到最大值Fmax′，
Fmax′＝mRω2，此时重力最小；
Gmin＝F引－Fmax′＝G－mRω2.
(3)当物体在两极时F′＝0
G＝F引，重力达最大值Gmax＝G.
可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力．
(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg≈G，g为地球表面的重力加速度．
2．重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．
例3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度．
答案 (1) (2)
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝gt2，解得g＝.
(2)在星球表面满足G＝mg
又M＝ρ·πR3，解得ρ＝.
1．(天体质量的计算)(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”．若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，能计算出( )
A．地球的质量M地＝
B．太阳的质量M太＝
C．月球的质量M月＝
D．月球、地球及太阳的密度
答案 AB
解析 由G＝mg解得地球的质量M地＝，选项A正确；根据地球绕太阳运动的万有引力等于向心力G＝M地L2，可得出太阳的质量M太＝，选项B正确；不能求出月球的质量和月球、太阳的密度，选项C、D错误．
【考点】计算天体的质量
【题点】天体质量的综合问题
2．(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
答案 A
解析 取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.
3．(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
答案 A
解析 由F＝G可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．
4．(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g星的大小；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比.
答案 (1)2 m/s2 (2)
解析 (1)在地球表面以一定的初速度v0竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处，
根据运动学公式可有t＝.
同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t小球落回原处，则5t＝
根据以上两式，解得g星＝g＝2 m/s2
(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即
mg＝，所以M＝
由此可得，＝·＝×＝.
一、选择题
考点一 天体质量和密度的计算
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
答案 B
解析 由天体运动规律知G＝mR可得，地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
2．若地球绕太阳的公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由万有引力提供向心力得＝m，即M∝，所以＝.
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
3．2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107 s)，轨道半径约为1.5×1011 m，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算出类似太阳的恒星的质量约为( )
A．1.8×1030 kg B．1.8×1027 kg
C．1.8×1024 kg D．1.8×1021 kg
答案 A
解析 根据万有引力充当向心力，有G＝mr，则中心天体的质量M＝≈ kg≈1.8×1030 kg，故A正确．
【考点】计算天体的质量
【题点】已知周期、半径求质量
4．某火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)( )
A．ρ＝kT B．ρ＝
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
答案 D
解析 根据万有引力定律得G＝mR，可得火星的质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝＝，选项D正确．
【考点】天体密度的计算
【题点】已知周期、半径求密度
5．“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图2所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )
图2
A. B.
C. D.
答案 A
解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r＝，根据转过的角度和时间，可得ω＝，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G＝mω2r，由以上三式可得M＝.
考点二 重力与万有引力
6．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为( )
A．(－1)R B．R
C.R D．2R
答案 A
解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，物体距地面的高度为h，分别列式＝mg，G＝m，联立得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，选项A正确．
7．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( )
A．0.5 B．2
C．3.2 D．4
答案 B
解析 若地球质量为M0，则“宜居”行星质量为M＝6.4M0，由mg＝G得＝·＝，所以＝＝＝2，选项B正确．
8．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
答案 B
解析 在星球表面有mg＝，设火星表面的重力加速度为g火，则 ＝＝0.4，故B正确．
9．(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转，则地球的质量可表示为( )
A. B.
C. D.
答案 AC
解析 根据G＝mr得，M＝，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mg＝G，则M＝，选项C正确，选项D错误．
二、非选择题
10．(重力与万有引力)若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R.求：(不考虑月球自转的影响)
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度．
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动h＝g月t2，月球表面的自由落体加速度大小g月＝.
(2)因不考虑月球自转的影响，则有G＝mg月，月球的质量M＝.
(3)月球的密度ρ＝＝＝.
万有引力定律与天文学的发现
1.万有引力定律在天文学上的应用
(1)万有引力是天体间的主要作用力，万有引力定律的发现对天文学的发展起到了巨大的推动作用.
(2)计算中心天体的质量.①观测行星围绕恒星做匀速圆周运动的轨道半径r和运转周期T，则可以根据万有引力提供向心力的道理计算出中心天体(恒星)的质量M.②根据同样的道理，只要观测某行星的一颗卫星围绕行星做匀速圆周运动的轨道半径和周期，就能测出该中心天体(行星)的质量.
G
M=()().
(3)如果围绕中心天体运动的轨道半径r很小、与中心天体自身的半径R相差无几，即r=R，则可以进一步估算出中心天体的平均密度：.
(4)未知行星——海王星、冥王星的先后被发现，是天文学上应用万有引力定律的成功范例.
2.应用万有引力定律分析天体(人造卫星)的运动
(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.
公式：G =m()2r=m(2πf)2r.
解决问题时可根据情况选择公式分析、计算.
(2)求天体的质量和密度的方法
通过观察天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力提供向心力得：
Gr
得天体质量M=
①若天体的半径为R，则天体的密度
ρ=
②若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度
2.物体的重力随离地面高度h的变化情况：物体重力近似等于地球对物体的万有引力，即等于，可见重力随h的增大而减小.
3.设地面附近的重力加速度为g0，离地面高度为h处的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响，则有
mg0=G
mg=G
可得g=.
