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第9讲探索直线平行的条件满分冲刺学案（学生版）
【经典例题】
考点一：同位角、内错角、同旁内角
【例1】如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．∠1和∠2是内错角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠1和∠5是同位角 D．∠1和∠2是同旁内角
【分析】本题是考查“同位角、内错角、同旁内角”定义，并用定义来判断，书本上对这三个名称定义只作简单描述，让学生观察图形后来判断，“象图中两个角的位置关系就是”这种提法学生是很难准确地理解定义的，如果学生连定义都靠依照已有图形去模仿并判断，当题目呈现图形发生变化时，学生是无法做出正确判断；准确理解应为：
1个前提下“每组角都有一公共边”时，“同位角、内错角、同旁内角”都是用两个角位置关系来定义或判断的.
※同位角两个角位置相同：如①都在直线之上②右边，在
右边，只有同时满足3个条件（含前提条件:公共边为OB）才真正称得上为“同位角”.
※内错角两个角位置①错开②都是内角（被两直线夹着）：如①右边而
在左边，在直线上面而在下面②都被直线夹着
（简称“内角”），只有同时满足3个条件（含前提条件：公共边为OB）才真正称得“内
错角”.
※同旁内角两个角位置①内角②同旁：如①都被直线夹着（简
称“内角”）②都是直线之上（简称“同旁”）.只有同时满足3个条件（含前提条件：公共边为OB）才真正称得“同旁内角”
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故A错误；
B、∠1与∠4不是内错角，故B错误；
C、∠1与∠是同位角，故C错误；
D、∠1与∠2是同旁内角，故D正确；
故选：D．
考点二：平行公理及推论
【例2】完成下面的证明，括号内填根据．
如图，直线、b、c被直线l所截，∠1＝∠3，∠3=180°．求证：//
( )
( )
( )
【分析】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行于同一直线的两直线平行．
【解答】解：
( 同位角相等，两直线平行)
(同旁内角互补，两直线平行 )
( 平行于同一直线的两直线平行 )
考点三：用“同位角、内错角、同旁内角”判断两直线平行
【例3】如图:已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE=∠AEB，AD与BC平行吗？
为什么？
【分析】首先根据已知BE平分∠ABC利用角平分线的意义可得∠ABE=∠EBC，再有∠ABE=∠AEB，可根据等量代换得到∠AEB=∠EBC，再根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC．
【解答】解：ADBC,理由如下：
BE平分∠ABC（已知），
∠ABE=∠EBC（角平分线的定义），
∠ABE=∠AEB （已知），
∠AEB=∠EBC （等量代换），
ADBC（内错角相等，两直线平行）．
【知识巩固】
1.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
2.如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是_____角，∠1与∠3是____角，∠2与∠3
是_________角．
4.如图，写出图中∠A所有的内错角:________________．
5.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
6.下面说法正确的是（ ）
A．过直线外一点可作无数条直线与已知直线平行
B．过一点可作无数条直线与已知直线垂直
C．过两点有且只有二条直线
D．两点之间线段最短
7.如图，直线、被直线所截，下列条件中，不能判定的是（ )
A．∠2=∠4 B．∠4=∠5 C．∠1=∠3 D．∠1+∠4=180°
8.如图，下列条件中，能判断直线的有（ ）个．
①∠1=∠4； ②∠3=∠5； ③∠2+∠5=180°； ④∠2+∠4=180°
A．1 B．2 C．3 D．4
9.如图，已知直线被直线所截，求证：
10.如图，四边形ABCD中，,分别是平分线，试
说明：（1）. （2）
【培优特训】
11.如图，请完成下列各题：
（1）如果∠1=____，那么DE∥AC（ ）;
（2）如果∠1=_____，那么EF∥BC（ ）；
（3）如果∠FED+_____=180°，那么AC∥ED（ ）；
（4）如果∠2+____=180°，那么AB∥DF（ ）．
12.在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板画出两条平行线．
小明的画法如下：
步骤一：运用三角板一边任意画一条直线l；
步骤二：按如图方式摆放三角板.
步骤三：沿三角板的直角边画出直线AB、CD；
这样，得到AB∥CD．
小明这样画图的依据是____________________________．
13.如图所示，于G,于点H,试判断图中有哪些平行线，并说明理由.
14.如图所示，如果，那么吗？
如图所示，有平面镜与，光线由水平方向射来，传播路线为已知，你知道平面镜与之间的位置关系吗？
如图，已知,试说明
【中考链接】
17.如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
18.如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6
C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
19.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
20.如图，直线a，b被直线c所截，若要，需增加条件________（填一个即可）
并说明理由。
21.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BCAD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
22.如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置
关系为__________________．
23.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，
找出图中的平行线，并说明理由．
24.先画图，再证明．
（1）在所给的图形（如图）中完成下列画图（保留画图痕迹）
①画∠ACB的平分线CD，交AB于点D；
②延长BC到点E，使CE=CA，连接AE；
求证：CDAE．
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第9讲探索直线平行的条件满分冲刺学案（教师版）
【经典例题】
考点一：同位角、内错角、同旁内角
【例1】如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．∠1和∠2是内错角 B．∠1和∠4是内错角
C．∠1和∠5是同位角 D．∠1和∠2是同旁内角
【分析】本题是考查“同位角、内错角、同旁内角”定义，并用定义来判断，书本上对这三个名称定义只作简单描述，让学生观察图形后来判断，“象图中两个角的位置关系就是”这种提法学生是很难准确地理解定义的，如果学生连定义都靠依照已有图形去模仿并判断，当题目呈现图形发生变化时，学生是无法做出正确判断；准确理解应为：
1个前提下“每组角都有一公共边”时，“同位角、内错角、同旁内角”都是用两个角位置关系来定义或判断的.
※同位角两个角位置相同：如①都在直线之上②右边，在
右边，只有同时满足3个条件（含前提条件:公共边为OB）才真正称得上为“同位角”.
※内错角两个角位置①错开②都是内角（被两直线夹着）：如①右边而
在左边，在直线上面而在下面②都被直线夹着
（简称“内角”），只有同时满足3个条件（含前提条件：公共边为OB）才真正称得“内
错角”.
※同旁内角两个角位置①内角②同旁：如①都被直线夹着（简
称“内角”）②都是直线之上（简称“同旁”）.只有同时满足3个条件（含前提条件：公共边为OB）才真正称得“同旁内角”
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故A错误；
B、∠1与∠4不是内错角，故B错误；
C、∠1与∠是同位角，故C错误；
D、∠1与∠2是同旁内角，故D正确；
故选：D．
考点二：平行公理及推论
【例2】完成下面的证明，括号内填根据．
如图，直线、b、c被直线l所截，∠1＝∠3，∠3=180°．求证：//
( )
( )
( )
【分析】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行于同一直线的两直线平行．
【解答】解：
( 同位角相等，两直线平行)
(同旁内角互补，两直线平行 )
( 平行于同一直线的两直线平行 )
考点三：用“同位角、内错角、同旁内角”判断两直线平行
【例3】如图:已知BE平分∠ABC，E点在线段AD上，∠ABE=∠AEB，AD与BC平行吗？
为什么？
【分析】首先根据已知BE平分∠ABC利用角平分线的意义可得∠ABE=∠EBC，再有∠ABE=∠AEB，可根据等量代换得到∠AEB=∠EBC，再根据内错角相等，两直线平行得到AD∥BC．
【解答】解：ADBC,理由如下：
BE平分∠ABC（已知），
∠ABE=∠EBC（角平分线的定义），
∠ABE=∠AEB （已知），
∠AEB=∠EBC （等量代换），
ADBC（内错角相等，两直线平行）．
【知识巩固】
1.如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
解：直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同旁内角， 故选：C．
2.如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，按角的位置关系填空：∠1与∠2是_____角，∠1与∠3是____角，∠2与∠3
是_________角．
解：∠1与∠2是同旁内角，∠1和∠3是内错角，∠2和∠3是邻补角；
故答案为：同旁内， 内错， 邻补．
4.如图，写出图中∠A所有的内错角:________________．
解：根据内错角的定义，图中∠A所有的内错角：∠ACD，∠ACE．
故答案为∠ACD、∠ACE．
5.下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
6.下面说法正确的是（ ）
A．过直线外一点可作无数条直线与已知直线平行
B．过一点可作无数条直线与已知直线垂直
C．过两点有且只有二条直线
D．两点之间线段最短
解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
C、过两点有且只有一条直线，故本选项错误；
D、两点之间，线段最短，故本选项正确．
故选：D．
7.如图，直线、被直线所截，下列条件中，不能判定的是（ )
A．∠2=∠4 B．∠4=∠5 C．∠1=∠3 D．∠1+∠4=180°
解：若∠2=∠4，则，故A选项能判定；
若∠4=∠5，则故B选项能判定；
若∠1=∠3，则不能得到，故C选项不能判定；
若∠1+∠4=180°，则，故D选项能判定；
故选：C．
8.如图，下列条件中，能判断直线的有（ ）个．
①∠1=∠4； ②∠3=∠5； ③∠2+∠5=180°； ④∠2+∠4=180°
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵∠1=∠4，
∴；
∵∠3=∠5，
∴，
∵∠2+∠5=180°，
∴，
∴能判断直线的有3个，
故选：C．
9. 如图，已知直线被直线所截，求证：
解：∵∠1=72°，
∴∠4=180°-∠1=108°，
∴∠4=∠2，
∴（同位角相等，两直线平行），
∵∠2=108°，∠3=72°，
∴∠2+∠3=180°，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（同平行于一条直线的两直线平行）．
10. 如图，四边形ABCD中，,分别是平分线，试
说明：（1）. （2）
解：（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，
∴∠1+∠2=90°；
（2）∵∠C=90°，
∴∠DFC+∠2=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠DFC，
∴BE//DF．
【培优特训】
11.如图，请完成下列各题：
（1）如果∠1=____，那么DEAC（ ）;
（2）如果∠1=_____，那么EFBC（ ）；
（3）如果∠FED+_____=180°，那么ACED（ ）；
（4）如果∠2+____=180°，那么ABDF（ ）．
解：（1）∵∠1=∠C，∴DE//AC．
故答案为：∠C，同位角相等，两直线平行；
（2）∵∠1=∠FED，∴EF//BC．
故答案为：∠FED，内错角相等，两直线平行；
（3）∵∠FED+∠EFC=180°，∴AC//ED．
故答案为：∠EFC，同旁内角互补，两直线平行；
（4）∵∠2+∠AED=180°，
∴AB//DF．
故答案为：∠AED，同旁内角互补，两直线平行．
12.在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板画出两条平行线．
小明的画法如下：
步骤一：运用三角板一边任意画一条直线l；
步骤二：按如图方式摆放三角板.
步骤三：沿三角板的直角边画出直线AB、CD；
这样，得到AB∥CD．
小明这样画图的依据是____________________________．
解：由作图知∠ABC=∠BCD=90°，
所以AB//CD，
所以小明这样画图的依据是内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
13.如图所示，于G,于点H,试判断图中有哪些平行线，并说明理由.
解：ABCD，GPHQ，
理由：∵AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，
∴∠2=∠EGB=90°，∠4=∠CHF=90°，
∴ABCD（内错角相等，两直线平行）．
∵GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，
∴∠1=45°，∠3=45°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=135°，
∴PGHQ（内错角相等，两直线平行）．
14. 如图所示，如果，那么吗？
解：，理由如下：
，
又
15. 如图所示，有平面镜与，光线由水平方向射来，传播路线为已知，你知道平面镜与之间的位置关系吗？
解：平面镜与平面镜互相平行.理由如下：
平面镜与平面镜互相平行
16. 如图，已知,试说明
解：如图分别向两方延长线段于点交AB于点N
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
【中考链接】
17.如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
解：由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4，故选：C．
18.如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
解：∠1的同位角是∠2，∠5的内错角是∠6，故选：B．
19.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定（ ）
A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3
解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得；
由∠1=∠3，不能得到； 故选：D．
20.如图，直线a，b被直线c所截，若要，需增加条件________（填一个即可）
并说明理由。
解：∵∠1=∠3，
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠1=∠3.本题答案不唯一.本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培
养“执果索图”的思维方式与能力．
21.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BCAD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）
解：若∠A+∠ABC=180°，则BCAD；
若∠C+∠ADC=180°，则BCAD；
若∠CBD=∠ADB，则BCAD；
若∠C=∠CDE，则BCAD；
故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不
唯一）
22.如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置
关系为__________________．
解：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同位角，
∠1=∠2，，ABCD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行．
23.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，
找出图中的平行线，并说明理由．
解：OABC，OBAC．
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OBAC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OABC．
24.先画图，再证明．
（1）在所给的图形（如图）中完成下列画图（保留画图痕迹）
①画∠ACB的平分线CD，交AB于点D；
②延长BC到点E，使CE=CA，连接AE；
（2）求证：CDAE．
解：（1）如右图所示为所求；
（2）证明：∵AC=CE，AC⊥CE，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴∠CAE=45°．
又∵CD平分∠ACB．
∴∠ACD=45°．
∴∠ACD=∠CAE．
∴CDAE．
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