知识点一 集合的含义与表示
1．集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
2．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
3．集合的相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
4．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
5．常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
6.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
知识点二 集合与集合的关系
1．子集与真子集
定义 符号语言 图形语言 (Venn图)
子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 A?B(或B?A)
真子集 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集 AB(或BA)
2.子集的性质
(1)规定：空集是任何集合的子集，也就是说，对任意集合A，都有??A.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A.
(3)如果A?B，B?C，则A?C.
(4)如果AB，BC，则AC.
3．子集个数的计算
若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
知识点三 集合的运算
1．交集
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
2.并集
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
3.交集与并集的性质
交集的运算性质 并集的运算性质
A∩B＝B∩A A∪B＝B∪A
A∩A＝A A∪A＝A
A∩?＝? A∪?＝A
A?B?A∩B＝A A?B?A∪B＝B
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
5．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言 ?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形语言
题型一 集合的运算
例1 (1)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B等于( )
A．(2,4] B．[2,4]
C．(－∞，0)∪(0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]
(2)(2018年4月学考)已知集合P＝{x|0≤x＜1}，Q＝{x|2≤x≤3}．记M＝P∪Q，则( )
A．{0,1,2}?M B．{0,1,3}?M
C．{0,2,3}?M D．{1,2,3}?M
(3)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝________.
答案 (1)A (2)C (3){7,9}
解析 (1)∵A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|0≤x≤4}，
B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}
＝{x|x<－1或x>2}，
∴A∩B＝{x|2
(2)由题意知，M＝P∪Q＝[0,1)∪[2,3]，故选C.
(3)∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∴?UA＝{4,6,7,9,10}，
∴(?UA)∩B＝{7,9}．
感悟与点拨 (1)集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活运用这些关系，会使运算简化．
跟踪训练1 (1)已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|－1≤x≤3}，则P∩Q等于( )
A．[－1,2) B．(－2,2)
C．(－2,3] D．[－1,3]
(2)已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则( )
A．M?N B．N?M
C．M∩N＝{0,1} D．M∪N＝N
(3)已知集合A＝{3，}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )
A．{2,3} B．{3,4}
C．{，2,3} D．{2,3,4}
答案 (1)A (2)C (3)D
解析 (3)∵A＝{3，}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，
∴＝2，即a＝4，A＝{3,2}，
b＝2，即B＝{2,4}，
则A∪B＝{2,3,4}，故选D.
题型二 对Venn图的考查
例2 如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩?IS D．(M∩P)∪?IS
答案 C
解析 图中的阴影部分是M∩P的子集，
阴影部分也是集合S的补集的子集，即是?IS的子集，
则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩?IS，故选C.
感悟与点拨 对Venn图的考查主要是识图、用图．首先要理解图形的含义，将图形问题转化成符号运算；其次根据集合的相关运算求解．
跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.
答案 {x|0≤x≤1或x＞2}
解析 A∩B＝{x|1由图可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
题型三 根据集合的运算求参数(或参数范围)
例3 设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，集合B＝{x|1A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}
C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}
答案 C
解析 因为集合A＝{x|a－1所以a≤0或a≥6，故选C.
感悟与点拨 (1)如有必要，则先对集合进行化简．
(2)如有必要，根据运算性质进行讨论．如A∩B＝?，可分A＝?，A≠?讨论．
(3)用好数轴或Venn图．
跟踪训练3 (1)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
(2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)·(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.
答案 (1)0或 (2)－1 1
解析 (1)∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝，符合要求；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，
∴a＝.
故a＝0或.
(2)A＝{x|－5＜x＜1}，
又B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，
A∩B＝(－1，n)，
如图，
∴m＝－1，n＝1.
一、选择题
1．设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素个数是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 C
解析 将A用列举法表示得到A＝{x∈Z||x|≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{5,2,1}，所以B中的元素个数是3.
2．已知集合M＝{x∈Z|－3A．12 B．14
C．15 D．16
答案 C
解析 M＝{－2，－1,0,1}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.
3．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)等于( )
A．[2,3] B．(－2,3]
C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
答案 B
解析 ∵Q＝{x∈R|x2≥4}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，
即有?RQ＝{x∈R|－2＜x＜2}，
则P∪(?RQ)＝(－2,3]．
4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－5x＋6≥0}，则下列结论中正确的是( )
A．A∩B＝B B．A∪B＝A
C．A?B D．?RA＝B
答案 C
解析 由x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.
又集合A＝{x|－1≤x≤1}，∴A?B，
故选C.
5．设集合M＝{x|log2(x－1)＞0}，集合N＝{x|x≥－2}，则N∩(?RM)等于( )
A．{x|x≤－2} B．{x|－2＜x≤2}
C．{x|－2≤x≤3} D．{x|－2≤x≤2}
答案 D
解析 ∵M＝{x|x＞2}，
∴?RM＝{x|x≤2}，
∴N∩(?RM)＝{x|－2≤x≤2}．
6．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{0,1,3,5,8}，B＝{2,4,5,6,8}，则(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{5,8} B．{7}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
答案 B
解析 方法一 因为U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{0,1,3,5,8}，B＝{2,4,5,6,8}，所以?UA＝{2,4,6,7}，?UB＝{0,1,3,7}，所以(?UA)∩(?UB)＝{7}，故选B.
方法二 因为 A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{7}，故选B.
方法三
图中的阴影部分表示(?UA)∩(?UB)，故选B.
7．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞log2m}，若A?B，则实数m的取值范围是( )
A．(0,4] B.
C. D.
答案 C
解析 ∵A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＞log2m}，A?B，
∴log2m≤－1，∴m∈.故选C.
8．已知集合P＝{0,1}，M＝{x|x?P}，则集合M的子集个数为( )
A．16 B．32
C．8 D．64
答案 A
解析 ∵集合P＝{0,1}，
∴M＝{x|x?P}＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，
含有4个元素的集合的子集个数为24＝16.故选A.
9.设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1＜x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
答案 C
解析 ∵A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，
由题意知，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有7个．
10．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且?UA＝{－1}，则a的值是( )
A．－1 B．1 C．3 D．±1
答案 A
解析 因为全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且?UA＝{－1}，
所以1,3是集合A中的元素，
方法一 所以或
由得a＝－1.
由得a无解，
所以a＝－1，故选A.
方法二 因为a2＋2≥2，
所以
所以a＝－1，故选A.
二、填空题
11．已知集合A＝{x|x2－3x<0，x∈N*}，则用列举法表示集合A＝________.
答案 {1,2}
解析 由集合A＝{x|x2－3x<0，x∈N*}可得，
集合A＝{x|012．已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________________．
答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)
解析 ∵集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}，
B＝{m}，且A∪B＝A，∴B?A，
∴m≤－4或m≥4，
∴实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
13．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为___________．
答案 {x|x≤1或x>2}
解析 如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1∴阴影部分为?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．
14．设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1,0,1,2,3}，若B??UA，则集合B的个数是________．
答案 4
解析 全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，A＝{－1,0,1,2,3}，?UA＝{－2,4}，
∵B??UA，则集合B＝?，{－2}，{4}，{－2,4}，
因此满足条件的集合B的个数是4.
15．已知集合A＝{x||x－2|答案 [3，＋∞)
解析 由|x－2|0)，
∴A＝(2－a,2＋a)(a>0)．
由x2－2x－3<0，解得－1B＝(－1,3)．
∵B?A，则解得a≥3.
16．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
答案 15
解析 子集只有1个元素的有{－1}，{1}，共2个；
子集有2个元素的有{－1,1}，，，共3个；
子集有3个元素的有，，，，共4个；
子集有4个元素的有，，，共3个；
子集有5个元素的有，
，共2个；
子集有6个元素的有，共1个．
综上可知，满足题意的集合共有15个．
知识点一 函数的概念
1．函数的定义、定义域、值域
2．两个函数相等的条件
(1)定义域相同．
(2)对应关系完全一致．
知识点二 函数的表示及分段函数
1．函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
2．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
知识点三 函数的单调性与最大(小)值
1．函数的单调性
(1)增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
(2)函数的单调性：若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
(3)单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则为减(增)函数．
2．函数的最大值、最小值
最值 类别 最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值．
知识点四 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的概念
偶函数 奇函数
条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数
2.性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不为零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商(分母不为零)为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数．
题型一 函数的定义域、值域
例1 (1)(2018年6月学考)函数y＝log2(x＋1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
(2)函数f(x)＝x＋的值域为____________．
答案 (1)A (2)
解析 (2)因为函数的定义域是，且函数为单调递增函数，所以函数的最小值是f＝，故函数的值域是.
感悟与点拨 (1)求函数的定义域，就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围．
(2)在求函数定义域和值域的时候，要把定义域和值域写成集合或区间的形式．
跟踪训练1 (1)(2018年4月学考)函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．{x|x＞0} B．{x|x≥0}
C．{x|x≠0} D．R
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (1)A (2)(－1,0)
解析 (1)由题意知，所以x＞0.
(2)∵2＋x－x2＞0且|x|－x≠0，
∴x∈(－1,2)且x?[0，＋∞)，
∴x∈(－1,0)．
题型二 函数的图象及图象的应用
例2 (2016年4月学考)下列图象中，不可能成为函数y＝f(x)的图象的是( )
答案 A
解析 当x＝0时，有两个y值对应，故A不可能是函数y＝f(x)的图象．
感悟与点拨 一个图象能不能作为函数的图象，关键是看它是否符合函数的定义及函数的特征．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝则下列函数的图象错误的是( )
答案 D
题型三 分段函数
例3 已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，f(x)的单调递减区间是________．
答案 5 [－1，＋∞)
解析 f(3)＝＝－1，
∴f(f(3))＝f(－1)＝－1＋2＋4＝5.
当x≤1时，f(x)＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，
对称轴为x＝－1，f(x)在[－1,1]上单调递减．
当x>1时，f(x)单调递减，且－12－2×1＋4>，
∴f(x)在[－1，＋∞)上单调递减．
感悟与点拨 解决分段函数问题的关键是：在定义域内的自变量x取不同区间上的值时，有着不同的对应关系，要注意分别考虑．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝则f＋f＝________.
答案 －4
解析 f＋f
＝f＋f－4
＝sin＋sin－4＝－4.
题型四 函数的单调性及应用
例4 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解 由题意可知
解得0又f(x)在(－1,1)上是减函数，
且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0即所求a的取值范围是.
感悟与点拨 利用函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝是R上的减函数，求实数a的取值范围．
解 由题意知，要使原函数在定义域上为减函数，
则需要满足
解得≤a<，故实数a的取值范围是.
题型五 函数的奇偶性及应用
例5 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)＝－.
(1)设g(x)＝f(x＋2)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在[2,3)上是增函数．
(1)解 g(x)是偶函数，证明如下：
∵f(x)＝－，
∴g(x)＝f(x＋2)＝－，
∵g(－x)＝－
＝－＝g(x)，
又∵g(x)的定义域为{x|x≠－1且x≠1}，
∴y＝g(x)是偶函数．
(2)证明 设x1，x2∈[2,3)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵x1，x2∈[2,3)且x1∴x1－x2<0，x1＋x2－4>0，
(x1－1)(x1－3)(x2－1)(x2－3)>0，
综上得f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[2,3)上是增函数．
感悟与点拨 (1)在奇、偶函数定义中，交换条件和结论仍成立．即若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．
(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
跟踪训练5 (1)(2018年4月学考)用列表法将函数f(x)表示为
x 1 2 3
f(x) －1 0 1
则( )
A．f(x＋2)为奇函数 B．f(x＋2)为偶函数
C．f(x－2)为奇函数 D．f(x－2)为偶函数
答案 A
(2)(2017年4月学考改编)已知函数f(x)＝3|x－a|＋|ax－1|，其中a∈R.
①当a＝1时，写出函数f(x)的单调区间；
②若函数f(x)为偶函数，求实数a的值．
解 ①当a＝1时，f(x)＝3|x－a|＋|ax－1|＝4|x－1|，函数f(x)的减区间为(－∞，1)，增区间为(1，＋∞)．
②若函数f(x)为偶函数，一定有f(1)＝f(－1)，
即3|1－a|＋|a－1|＝3|－1－a|＋|－a－1|，解得a＝0，经检验符合题意．
一、选择题
1．(2017年11月学考)函数y＝＋的定义域是( )
A．(－1,2] B．[－1,2]
C．(－1,2) D．[－1,2)
答案 A
解析 由得－1＜x≤2.
2．已知函数f(x)＝则f(－1)＋f(0)等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 f(－1)＋f(0)＝1－＋30＝4.
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 B
解析 对于A，不符合定义域为{x|－2≤x≤2}，故可排除；
对于B，满足函数定义，故符合；
对于C，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以排除；
对于D，因为值域不是{y|0≤y≤2}，故可排除，故选B.
4．已知函数g(x)＝f(x)－x是偶函数，且f(3)＝4，则f(－3)等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．4
答案 B
解析 ∵g(－3)＝g(3)＝f(3)－3＝4－3＝1，
又g(－3)＝f(－3)＋3＝1，
∴f(－3)＝－2.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 ∵f(－1)＝2(－1)2－(－1)＝3，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
6．已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，且F(x)＝f(x)＋3g(x)＋5.若F(a)＝b，则F(－a)等于( )
A．－b＋10 B．－b＋5
C．b－5 D．b＋5
答案 A
解析 ∵f(x)，g(x)都是R上的奇函数，
∴F(－a)＝f(－a)＋3g(－a)＋5
＝－[f(a)＋3g(a)]＋5.
又F(a)＝f(a)＋3g(a)＋5＝b，
即f(a)＋3g(a)＝b－5，
∴F(－a)＝－(b－5)＋5＝－b＋10.
7．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
答案 C
解析 由题意知a≠0，
当a>0时，(2a＋1)－(a＋1)＝2，
解得a＝2；
当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，
解得a＝－2.综上知，a＝±2.
8．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．[4,8)
C．(4,8) D．(1,8)
答案 B
解析 ∵f(x)是R上的单调递增函数，
∴解得4≤a＜8.
9．已知函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))
C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
答案 B
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－a)＝f(a)，
∴(a，f(－a))一定在y＝f(x)的图象上，故选B.
10．已知函数f(x)满足f(4＋x)＝f(－x)．当x1，x2∈(－∞，2)时，>0；当x1，x2∈(2，＋∞)时，<0.若x14，则f(x1)，f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不确定
答案 B
解析 ∵f(4＋x)＝f(－x)，
∴函数图象关于x＝2对称．
∵当x1，x2∈(－∞，2)时，>0，
∴此时函数单调递增．
当x1，x2∈(2，＋∞)时，<0，
∴此时函数单调递减．
∵x14，
∴若2f(x2)；
若x1<24，得x2>4－x1.
∵x1<2，∴－x1>－2，则4－x1>2，
则f(x2)∵f(4＋x)＝f(－x)，
∴f(4－x)＝f(x)，
即f(4－x1)＝f(x1)，
∴f(x2)综上所述，f(x1)>f(x2)．
二、填空题
11．已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________.
答案 －1或
解析 当a≥0时，f(a)＝1－a＝a，得a＝；
当a<0时，f(a)＝＝a，
解得a＝－1或1(舍去)．
∴a＝－1或.
12．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围为______________．
答案 (0,1)∪(1,4)
解析 根据绝对值的意义，
y＝
＝
在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．
根据图象可知，当0＜k＜1或1＜k＜4时，
函数y＝kx－2与y＝的图象恰有两个交点．
13．若关于x的不等式x2－4x－a≥0在[1,3]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，－4]
解析 若关于x的不等式x2－4x－a≥0在[1,3]上恒成立，
则a≤x2－4x在[1,3]上恒成立，
令f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[1,3]，
对称轴为x＝2，开口向上，
∴f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，∴a≤－4.
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝ax＋1，其中a>0，若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 由题意得f(x)＝在平面直角坐标系内分别画出当01时，函数f(x)，g(x)的图象，
由图易得当f(x)，g(x)的图象有两个交点时，
有解得0
三、解答题
15．已知函数f(x)＝ax＋＋，a∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减．
(1)解 因为f(－x)＝－ax＋＋
＝－
＝－f(x)，
又因为f(x)的定义域为{x∈R|x≠－1且x≠1}，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明 任取x1，x2∈(0,1)，设x1则f(x1)－f(x2)＝a(x1－x2)＋
＋
＝(x1－x2).
因为0所以2(x1x2＋1)>2,0<(x－1)(x－1)<1，
所以>2>a，
所以a－<0.
又因为x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减．
16．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，有>0成立．
(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式：f(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)f(x)在[－1,1]上单调递增．证明如下：
任取x1，x2∈[－1,1]，且x1则－x2∈[－1,1]，x1＋(－x2)≠0.
因为f(x)为奇函数，
所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)，
由已知得>0，
又x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[－1,1]上单调递增．
(2)因为f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以
所以－≤x<－1.
所以不等式的解集为.
(3)因为f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．
所以在[－1,1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0对a∈[－1,1]恒成立．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0对a∈[－1,1]恒成立；
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0对a∈[－1,1]恒成立，必须有g(－1)≥0且g(1)≥0，
所以m≤－2或m≥2.
所以m的取值范围是{m|m＝0或m≥2或m≤－2}．
知识点一 分数指数幂
1．规定
正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二 指数函数及其性质
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
知识点三 对数的概念及对数的运算
1．定义
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝logaN，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．特殊对数
3．对数和指数的关系
当a>0，a≠1，N>0时，ax＝N?x＝logaN.
4．对数的性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0.
(3)logaa＝1.
(4)＝N.
(5)logaaN＝N.
5．对数的运算
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0.那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(4)logamMn＝logaM.
6．对数的重要公式
(1)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
知识点四 对数函数及其性质
1．对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象及其性质
a>1 0图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 (1,0)，即当x＝1时，y＝0
函数值的变化 当01时，y>0 当00，当x>1时，y<0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点五 幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 在R上是增函数 在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数 在R上是增函数 在[0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)上是减函数；在(0，＋∞)上是减函数
公共点 (1,1)
题型一 指数幂、对数运算
例1 (1)(2017年4月学考)计算：lg 4＋lg 25等于( )
A．2 B．3
C．4 D．10
(2)(2018年4月学考)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(3－x)，则f(1)等于( )
A．1 B．log26
C．3 D．log29
答案 (1)A (2)C
解析 (1)lg 4＋lg 25＝lg(4×25)＝lg 100＝2.
(2)f(1)＝log2(3＋1)＋log2(3－1)＝2＋1＝3.
感悟与点拨 (1)在指数幂运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)在对数运算中，要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )
A．5 B．3
C．－1 D.
(2)已知函数f(x)＝，则f(log23)＋f＝________.
答案 (1)A (2)1
解析 (1)∵f(1)＝log21＝0，
∴f(f(1))＝f(0)＝2.
∵log3＜0，
∴f＝＋1＝＋1＝2＋1＝3.
∴f(f(1))＋f＝2＋3＝5.
(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝1，
又log4＝＝－log23，
∴f(log23)＋f＝1.
题型二 函数的图象与性质
例2 函数f(x)＝log2(2x)的图象大致是( )
答案 A
解析 函数f(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，可由y＝log2x的图象向上平移1个单位得到．y＝log2x的图象过(1,0)点且在(0，＋∞)上递增，其图象向上平移1个单位后，得到函数f(x)＝log2(2x)，图象过点且在定义域内单调递增．
感悟与点拨 (1)①幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；②可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、轴对称变换得到其图象．
(3)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究，有时也可利用平移等方法，从原来标准函数入手分析．
(4)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小、解不等式等．
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象为( )
答案 (1)B (2)C
解析 (1)∵lg a＋lg b＝0，∴lg ab＝0，即ab＝1.
A项，∵g(x)的定义域为{x|x>0}，∴A错误；
B项，由图象知指数函数单调递增，
∴a>1，此时g(x)单调递增，满足条件；
C项，由图象知指数函数单调递减，
∴0D项，由图象知指数函数单调递增，
∴a>1，此时g(x)单调递增，不满足条件．
故选B.
(2)由二次函数的图象易得－1＜b＜0，a＞1，则函数g(x)＝ax＋b单调递增，当x＝0时，g(0)＝a0＋b＝b＋1∈(0,1)，即函数图象在y轴上的截距在(0,1)内，故选C.
题型三 幂函数、指数函数、对数函数的单调性
例3 (2016年10月学考)设函数f(x)＝x，g(x)＝x，其中e为自然对数的底数，则( )
A．对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)
B．存在正实数x0使得f(x0)>g(x0)
C．对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)
D．存在正实数x0使得f(x0)答案 D
解析 ＝，＝，所以0<<<1，作函数f(x)和g(x)的草图如图所示，易知D正确．
感悟与点拨 (1)函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性．对指数、对数、幂函数来说就是单调性．
(2)要熟练掌握单调增函数(或减函数)的特征，充分利用数形结合进行求解．
跟踪训练3 若loga(a2＋1)A．(0,1) B.
C. D.
答案 B
解析 因为a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
所以a2＋1>2a.
由loga(a2＋1)又loga2a<0＝loga1，所以2a>1，解得a>.
综上所述，题型四 指数函数、对数函数的综合应用
例4 已知定义在R上的奇函数f(x)＝a·3x＋3－x，a为常数．
(1)求a的值；
(2)用单调性定义证明f(x)在[0，＋∞)上是减函数；
(3)解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)<0.
(1)解 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋1＝0，解得a＝－1，
经检验，符合题意．
(2)证明 由(1)知f(x)＝－3x＋3－x，
设x1>x2≥0，
则f(x1)－f(x2)＝－＋－，
∵x1>x2≥0，∴－x1<－x2，
∴<，<，
即－<0,－<0，
∴f(x1)－f(x2)＝－＋－<0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
(3)解 ∵f(x)是奇函数且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在R上是减函数．
∵f(x－1)＋f(2x＋3)<0，
∴f(2x＋3)<－f(x－1)＝f(1－x)，
∴2x＋3>1－x，解得x>－.
即不等式的解集为.
感悟与点拨 解决指数函数、对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质，都要注意：
(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
解 (1)∵a＞0且a≠1，
设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，
又当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，
即当x∈[0,2]时，3－ax＞0恒成立，
∴3－2a＞0，∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.
(2)假设存在实数a使f(x)在[1,2]上为减函数，
则f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)＝1，
此时a＝，f(x)＝，
当x＝2时，f(x)没有意义．
故不存在这样的实数a，
使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
一、选择题
1．(2017年4月学考)函数y＝3α的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0,3]
答案 A
2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
答案 D
解析 根据函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax知函数图象为幂函数的一部分和对数函数图象．A选项没有幂函数图象，不符合；B选项f(x)＝xa(x≥0)中a＞1，而g(x)＝logax(x＞0)中0＜a＜1，不符合；C选项f(x)＝xa(x≥0)中0＜a＜1，而g(x)＝logax(x＞0)中a＞1，不符合；D选项两者都是0＜a＜1，符合，故选D.
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
答案 A
解析 ∵函数y＝xα的定义域为R，
∴α≠－1和.
当α＝1和3时，y＝xα为奇函数，故选A.
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上是单调增函数的是( )
A．y＝ B．y＝|x|－1
C．y＝lg x D．y＝|x|
答案 B
解析 对于A，y＝为定义域上的奇函数，不满足题意；
对于B，y＝|x|－1是定义域R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是单调增函数，满足题意；
对于C，y＝lg x是非奇非偶的函数，不满足题意；
对于D，y＝|x|是定义域上的偶函数，但在(0，＋∞)上是单调减函数，不满足题意．
故选B.
5．函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
答案 C
解析 令t＝x2＋2x－1，
则t＝(x＋1)2－2≥－2，
∴y＝t≤－2＝4.
又y＝t＞0，
∴0＜y≤4.
6．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝0的实数解x0为( )
A.，0 B．－2,0
C. D．0
答案 D
解析 当x≤1时，f(x)＝3x－1＝0，解得x＝0；
当x＞1时，f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，舍去．
故方程f(x)＝0的实数解x0为0.
7．下列不等式正确的是( )
A．log30.2＜0.23＜30.2 B．log30.2＜30.2＜0.23
C．0.23＜log30.2＜30.2 D．30.2＜log30.2＜0.23
答案 A
解析 log30.2＜log31＝0，
0＜0.23＜0.20＝1,30.2＞30＝1，
∴log30.2＜0.23＜30.2.
8．已知函数f(x)＝则f(log23)的值为( )
A．－ B. C. D.
答案 D
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋3)．
又log23＋3>4，
∴f(log23)＝＝3×
＝×＝×＝.
9．函数f(x)＝(0
答案 C
解析 方法一 (特殊值法)取a＝，
当x＝2时，f(2)＝－1<0，排除A，B；
当x＝－2时，f(－2)＝1>0，排除D.故选C.
方法二 由函数性质知f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为减函数，故选C.
10．对于函数f(x)＝lg x，定义域中任意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③＞0；
④f＜.
上述结论中正确结论的序号有( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
答案 B
解析 由运算律f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg x1x2＝f(x1x2)，所以①错误，②对；
因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；
f＝lg ，
＝＝lg ，
因为≥，又x1≠x2，
所以lg ＞lg ，所以④错误．故选B.
二、填空题
11．已知f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
答案 2
解析 由幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数；当m＝－1时，f(x)＝x0，不符合题意．
∴m＝2.
12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称．若g(m)＝－1，则m＝________.
答案 －
解析 由题意，得f(x)＝ln x.
由于函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称，
可得g(x)＝f(－x)＝ln(－x)，g(m)＝－1，
即ln(－m)＝－1，解得m＝－e－1＝－.
13．已知点(n，an)(n∈N*)在函数y＝ex的图象上，若满足Tn＝ln a1＋ln a2＋…＋ln an＞k时n的最小值为5，则k的取值范围是________．
答案 [10,15)
解析 ∵点(n，an)(n∈N*)在函数y＝ex的图象上，
∴an＝en，∴ln an＝n，
∴Tn＝ln a1＋ln a2＋…＋ln an＝1＋2＋…＋n＝.
又Tn＞k时n的最小值为5，
∴T4≤k＜T5，即10≤k＜15.
14．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)＞0的解集是________________．
答案
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f＝f＝0.
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．
∴f(log4x)＞0，即log4x＞或log4x＜－.
解得x＞2或0＜x＜.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．
(1)若a＝3，f＝－5，求x的值；
(2)若f(3a－1)>f(a)，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)在区间[a,2a]上最大值是最小值的3倍，求a的值．
解 (1)f＝log3＝－5，
∴＝3－5，∴x＝＝＝38.
(2)①若a>1，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴3a－1>a>1，解得a>1；
②若0∴0<3a－1综上，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
(3)由题意知，当0logaa＝3loga2a，解得a＝；
当a>1时，loga2a＝3logaa，解得a＝.
∴a＝或.
16．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)∵f(x)为定义域R上的奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)，即＝－.
解得a＝2.经检验，符合题意．
(2)∵f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)．
∵f(x)为奇函数，∴f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)．
由(1)得f(x)＝＝＝－＋，
∴f(x)在定义域内为单调递减函数．
∴t2－2t＞－2t2＋k，即3t2－2t－k＞0恒成立．
∴k＜3t2－2t对t∈R恒成立，
其中g(t)＝3t2－2t在t∈R上的最小值为－，
∴k＜－.
知识点一 函数的零点
1．函数零点的概念
(1)定义
对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义
函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，就是函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二 几类函数模型及其增长差异
1．几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b，n为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax
知识点三 应用函数模型解决问题的基本步骤
用已知函数模型解决实际问题的基本步骤
第一步：审题，设出变量．
第二步：根据所给模型，列出函数关系式．
第三步：解函数模型．
第四步：将所得结论转译成具体问题的解答．
题型一 零点个数的判断
例1 (1)函数f(x)＝ln x－的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)设函数f(x)＝x2＋(x≠0)．当a＞1时，方程f(x)＝f(a)的实数根的个数为________．
答案 (1)C (2)3
解析 (1)如图画出y＝ln x与y＝的图象，
由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．
(2)令g(x)＝f(x)－f(a)，
即g(x)＝x2＋－a2－，
整理得g(x)＝(x－a)(ax2＋a2x－2)．
显然g(a)＝0，
令h(x)＝ax2＋a2x－2.
∵h(0)＝－2＜0，
h(a)＝2(a3－1)＞0，
∴h(x)在区间(－∞，0)和(0，a)上各有一个零点．
∴g(x)有3个零点，
即方程f(x)＝f(a)有3个实数解．
感悟与点拨 函数零点个数的确定，常从函数单调性分析，结合零点存在性定理或数形结合来判断．
跟踪训练1 若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
答案 C
解析 因为2a＋b＝0，
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
所以零点为0，－.
题型二 根据函数零点存在情况求参数
例2 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
则y＝a的图象只能夹在y＝0与y＝的图象之间，
故a的取值范围是.
感悟与点拨 根据函数的零点存在情况求参数．常用如下方法处理：
(1)y＝g(x)－m有零点即y＝g(x)与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解．
(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根?y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．
跟踪训练2 设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是( )
A．(0,1) B．[1,2]
C．(0,1] D．(1,2)
答案 A
解析 画出函数f(x)在[0,2π]的图象，如图所示：
若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，
即y＝f(x)和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，
结合图象知0＜m＜1.
题型三 函数与方程思想的应用
例3 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根．
解 (1)方法一 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，
则y＝g(x)－m就有零点．
方法二 作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象(如图所示)．
可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实数根，
即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋(x＞0)的大致图象(如图所示)．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
∴其图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.
故当m－1＋e2＞2e，
即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异的实数根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
感悟与点拨 求函数零点的值、判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．
跟踪训练3 已知a，b∈R，定义运算“?”：a?b＝函数f(x)＝(x2－2)?(x－1)，x∈R，若方程f(x)－a＝0只有两个不同实数根，则实数a的取值范围是( )
A．[－2，－1]∪(1,2) B．(－2，－1]∪(1,2]
C．[－2，－1]∪[1,2] D．(－2，－1]∪(1,2)
答案 B
解析 由x2－2－(x－1)≤1，
解得x∈[－1,2]，
故f(x)＝
画出函数图象如图所示，
由图可知当f(x)＝a有两个不同实数根时，a的取值范围为(－2，－1]∪(1,2]．
题型四 函数应用问题
例4 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.元
答案 A
解析 依题意可设sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，
又sA(100)＝sB(100)，
所以100k＋20＝100m，即k－m＝－0.2，
于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，
即两种方式电话费相差10元，故选A.
感悟与点拨 函数应用问题、文字量往往比较大，所以解决此类问题，一般要审读、提炼、建模．就本题而言：(1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析题目提供的信息，从题目内容可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．
跟踪训练4 某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5 000元降到2 560元，则平均每次降价的百分率是( )
A．10% B．15%
C．16% D．20%
答案 D
解析 设平均每次降价的百分率为x，
则由题意得5 000(1－x)3＝2 560，
解得x＝0.2，即平均每次降价的百分率为20%，故选D.
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－|x|－6，则f(x)的零点个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 当x>0时，令x2－x－6＝0，
解得x＝－2或3，∴x＝3；
当x<0时，x2＋x－6＝0，
解得x＝2或－3，∴x＝－3.
∴f(x)的零点个数为2.
2．若方程x＝有解x0，则x0所在区间是( )
A．(2,3) B．(1,2)
C．(0,1) D．(－1,0)
答案 C
解析 令f(x)＝x－，
∵f(0)＝1>0，f(1)＝－<0，
∴f(0)f(1)<0，
∴方程x＝x的解所在区间为(0,1)．
3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A．y＝log2x B．y＝2x－1
C．y＝x2－1 D．y＝－x3
答案 B
解析 当x＝0时，y＝log2x无意义，故A错误；
y＝x2－1在(－1,0)上单调递减，故C错误；
y＝－x3在(－1,1)上单调递减，故D错误．
∵y＝2x－1在(－1,1)上单调递增，
f(－1)＜0，f(1)＞0，
∴y＝2x－1在(－1,1)内存在零点．
4．若函数f(x)＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，则m的取值范围为( )
A．[－1,0]∪[1,2] B．[－2，－1]∪[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,2]
答案 A
解析 令f(x)＝x2－2mx＋m2－1＝0，
可得x1＝m－1，x2＝m＋1，
∵函数f(x)＝x2－2mx＋m2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，
∴0≤m－1≤1或0≤m＋1≤1，
∴－1≤m≤0或1≤m≤2.故选A.
5．已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 令f(x)＝0，得x＝cos x，
分别作出函数y＝x和y＝cos x的图象，
由图象可知y＝x和y＝cos x在[0,2π]上有3个交点，
∴f(x)在[0,2π]上有3个零点，故选C.
6．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 因为函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)上是单调递增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
所以根据零点存在性定理可知，
在区间(0,1)上函数的零点个数为1，
故选B.
7．(2017年4月学考)若实数a，b，c满足1A．在区间(－1,0)内没有实数根
B．在区间(－1,0)内有一个实数根，在(－1,0)外有一个实数根
C．在区间(－1,0)内有两个相等的实数根
D．在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根
答案 D
解析 由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(0)＝c>0，f(－1)＝a－b＋c>0，
∵1∴0<4ac<1，
∴Δ＝b2－4ac>0.
又对称轴为x＝－∈(－1,0)，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根，故选D.
8．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 当x≤0时，只有一个零点－3，
当x＞0时，也只有一个零点e2.
9．(2017年11月学考)已知1是函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的一个零点．若存在实数x0，使得f(x0)<0，则f(x)的另一个零点可能是( )
A．x0－3 B．x0－
C．x0＋ D．x0＋2
答案 B
解析 由题意可知a＋b＋c＝0，
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，
∴1是方程ax2＋bx＋c＝0的较大的根．
∵f(x0)<0，∴x0<1，
由另一个零点小于x0知C，D不正确．
∵a>b，∴<1，∴－>－.
设另一个零点为x2，则>－，
∴x2>－2.
对于A，∵x0<1，∴x0－3<－2，排除A.
当a>0>b>c时，－1<<0，
对称轴－∈，
∴∈，
∴x2∈(－1,0)．
又x0<1，B中x0－∈，
∴f(x)的另一个零点可能是x0－.故选B.
10．(2018年4月学考)设a为实数，若函数f(x)＝2x2－x＋a有零点，则函数y＝f(f(x))的零点个数是( )
A．1或3 B．2或3
C．2或4 D．3或4
答案 C
二、填空题
11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1,2)
解析 由题意可得函数f(x)＝
若它的图象和直线y＝x有3个不同的交点，
即直线y＝x和直线y＝2有交点，
且y＝x2＋4x＋2的图象和直线y＝x有两个交点，
即必须使函数y＝2－x有零点，
并且函数y＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)有两个零点，
从而得到m<2并且m≥－1.
故答案为[－1,2)．
12．(2016年10月学考改编)函数f(x)按照下列方式定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝f(x－2)．则方程f(x)＝的所有实数根之和是________．
答案 18
解析 作函数y＝f(x)的草图如下，
知f(1)＝1，f(3)＝，f(5)＝，f(7)＝，所以f(x)＝有6个根，它们的和是2×1＋2×3＋2×5＝18.
13．已知函数f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝或f(x)＝1.
作出y＝f(x)的大致图象，
由图象知零点的个数为5.
14．已知f(x)为R上的增函数，且对任意x∈R，都有f(f(x)－3x)＝4，则f(2)＝________.
答案 10
解析 根据题意得，f(x)－3x为常数，设f(x)－3x＝m，
则f(m)＝4，f(x)＝3x＋m，
∴3m＋m＝4，
易知该方程有唯一解m＝1，
∴f(x)＝3x＋1，∴f(2)＝10.
15．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x(x∈N*)台的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)边际利润函数MP(x)＝________________；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值分别为________________．
答案 (1)2 480－40x (2)74 120,2 440
解析 由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
(2)P(x)＝－20x2＋2 500x－4 000＝－202＋74 125.
当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74 120元．
∵MP(x)＝2 480－40x是减函数，
∴当x＝1时，MP(x)的最大值为2 440元．
∴利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)的最大值分别为74 120和2 440.
三、解答题
16．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解 由题意可知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个根，
可得解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．
令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
模块检测(必修1)
(时间：80分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)
1．若集合M＝{y|y＝2－x}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于( )
A．{y|y>1} B．{y|y≥1}
C．{y|y≥0} D．{y|y>0}
答案 D
解析 因为M＝{y|y＝2－x}＝{y|y>0}，
N＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，
所以M∩N＝{y|y>0}，故选D.
2．已知集合A＝{x|(2x－5)(x＋3)＞0}，B＝{1,2,3,4,5}，则(?RA)∩B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,3}
C．{1,2} D．{1}
答案 C
解析 由(2x－5)(x＋3)＞0，解得x＞或x＜－3，
所以集合A＝(－∞，－3)∪，
所以?RA＝.
所以(?RA)∩B＝{1,2}，故选C.
3．已知全集U＝N，集合A＝，B＝，则图中阴影部分所表示的集合等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵A＝，
∴B＝＝，
∴图中的阴影部分所表示的集合为(?UA)∩B＝.
4．函数f(x)＝x－2＋ln x的零点所在的大致区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝x－2＋ln x在定义域(0，＋∞)内单调递增，且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，所以函数f(x)的零点所在的大致区间为(1,2)，故选B.
5．已知函数f(x)＝则f＋f等于( )
A．3 B．5 C. D.
答案 A
解析 由题意得f＋f
＝f－1＋f＝2×－1＝2×2－1＝3，
故选A.
6．若点A(a，－1)在函数f(x)＝的图象上，则a等于( )
A．1 B．10
C. D.
答案 D
解析 由x≥1，≥1，知0＜a＜1，则f(a)＝lg a＝－1，a＝.
7．若a＝0.32，b＝20.3，c＝log0.32，则a，b，c由大到小的关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．b＞c＞a D．c＞a＞b
答案 B
解析 ∵0＜a＝0.32＜1，b＝20.3＞1，c＝log0.32＜0，
∴c＜a＜b.故选B.
8．设f(x)＝ax，g(x)＝，h(x)＝logax，且a满足loga(1－a2)>0，那么当x>1时必有( )
A．h(x)B．h(x)C．f(x)D．f(x)答案 B
解析 因为a满足loga(1－a2)>0＝loga1，
所以0<1－a2<1，所以0当x>1时，logax<0,01，
所以h(x)9．某商场去年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为( )
A．f(x)＝20×x B．f(x)＝－6log3x＋8
C．f(x)＝x2－12x＋19 D．f(x)＝x2－7x＋14
答案 D
解析 因为选项A，B中的函数均为单调递减函数，不满足题意；
选项C中，f(1)＝1－12＋19＝8，f(3)＝32－12×3＋19＝－8≠2，不满足题意；
选项D中，函数满足先减后增，且f(1)＝1－7＋14＝8，
f(3)＝32－7×3＋14＝2，满足题意，故选D.
10．函数f(x)＝ln的图象大致为( )
答案 B
解析 因为函数y＝ln x在(0，＋∞)内单调递增，
函数y＝－x在(－∞，0)和(0，＋∞)内分别单调递减，
所以函数f(x)＝ln在(－∞，－1)和(0,1)内分别单调递减，
观察各选项，只有B选项符合，故选B.
11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)是单调递减函数，则f(log25)，f，f(log53)的大小关系是( )
A．fB．fC．f(log53)D．f(log25)答案 D
解析 因为f(x)为偶函数，
所以f＝f＝f(log35)，
而0＜log53则根据f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
得f(log53)>f(log35)>f(log25)，
即f(log25)12．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足0＜b＜1＜a，则n的值为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
答案 D
解析 ∵函数f(x)＝ax＋x－b为增函数，
常数a，b满足0＜b＜1＜a，
∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，
∴函数f(x)＝ax＋x－b在(－1,0)内有一个零点，
∴n＝－1，故选D.
13．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵函数f(x)＝
设x1＜x2＜x3，
根据二次函数性质得出x2＋x3＝6，
画出函数图象如图所示．
则存在互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)等价于y＝m与f(x)有3个交点，
当x2－6x＋6取最小值－3时对应x1＝－，
此时y＝－3与f(x)有2个交点，
∴－＜x1＜0，
∴＜x1＋x2＋x3＜6.
14．已知a，b(a＞b)是方程log3x3＋log27(3x)＝－的两个根，则a＋b等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设log3x3＝t，则t＋＝－，
∴t1＝－1，t2＝－，
∴a＝，b＝，
∴a＋b＝.故选C.
15．若a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
答案 B
解析 由y＝loga(－x)，得对数函数的定义域为(－∞，0)，排除A，C；则由B，D选项中的对数函数的图象易得a>1，则指数函数y＝ax单调递增，排除D，故选B.
16．已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B.
C．(－∞，2] D.
答案 B
解析 由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，
即实数a的取值范围为，故选B.
17．设函数f(x)的定义域为A.若函数f(x)满足：
①A＝{x|x≠2k－1，k∈Z}；
②函数f(x)是奇函数；
③对任意x∈A，有f(x＋1)＝－.
则下面关于函数f(x)的叙述中错误的是( )
A．函数f(x)是周期函数，且最小正周期是2
B．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
C．函数f(x)在(0,1)上是增函数
D．函数f(x)的零点是x＝2k(其中k∈Z)
答案 C
解析 由f(x＋1)＝－得f(x)＝－，
f(x＋1)＝－，
所以f(x)＝f(x＋2)，所以函数的最小正周期为2，
由此可画出满足条件的函数f(x)的一个简图，
如图所示，由图易知C不正确，故选C.
18．已知函数f(x)＝log2(x＋2)与g(x)＝(x－a)2＋1，若对任意的x1∈[2,6)，都存在x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,3] B．[－1,1]
C．[，] D．[－1,2－]∪[，3]
答案 D
解析 当x∈[2,6)时，f(x)＝log2(x＋2)∈[2,3)，
则由对任意的x1∈[2,6)，都存在x2∈[0,2]，
使得f(x1)＝g(x2)，得当x∈[0,2]时，
g(x)min≤2，g(x)max≥3.
当a＜0时，g(x)min＝g(0)＝a2＋1，
g(x)max＝g(2)＝(2－a)2＋1，
则由g(x)min≤2，g(x)max≥3，
解得－1≤a＜0；
当0≤a＜1时，
g(x)min＝g(a)＝1，
g(x)max＝g(2)＝(2－a)2＋1，
则由g(x)min≤2，g(x)max≥3，
解得0≤a≤2－；
当1≤a＜2时，g(x)min＝g(a)＝1，
g(x)max＝g(0)＝a2＋1，
则由g(x)min≤2，g(x)max≥3，
解得≤a＜2；
当a≥2时，g(x)min＝g(2)＝(2－a)2＋1，
g(x)max＝g(0)＝a2＋1，
则由g(x)min≤2，g(x)max≥3，
解得2≤a≤3，
综上所述，实数a的取值范围为[－1,2－]∪[，3]，
故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)
19．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A＝________；(?RA)∩B＝________.
答案 [0,2] (2，＋∞)
解析 ∵A＝{x|2x－x2≥0}＝[0,2]，B＝(0，＋∞)，
∴?RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
∴(?RA)∩B＝(2，＋∞)．
20．设函数f(x)＝则f(f(1))＝________.
答案 1
解析 ∵f(1)＝2e1－1＝2，
∴f(f(1))＝f(2)＝log3(22－1)＝1.
21．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，其关于y＝x对称的函数为g(x)．若f(2)＝9，则g＋f(3)的值是________．
答案 25
解析 函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
其关于y＝x对称的函数为g(x)，
则函数f(x)＝ax的反函数为g(x)＝logax.
又f(2)＝9，
即a2＝9，∴a＝3，∴g(x)＝log3x，
∴g＋f(3)＝log3＋33＝25.
22．已知函数f(x)＝sin ＋e－|x－1|，有下面四个结论：
①图象关于直线x＝1对称；
②f(x)的最大值是2；
③f(x)的最小值是－1；
④f(x)在[－2 015,2 015]上有2 015个零点．
其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)
答案 ①②④
解析 对于①，因为函数y＝sin 的对称轴为x＝1＋2k，k∈Z，函数y＝e－|x－1|的对称轴为直线x＝1，
所以函数f(x)＝sin ＋e－|x－1|的对称轴为直线x＝1，①正确；
对于②，当x＝1＋4k，k∈Z时，
函数y＝sin 取得最大值1，
当x＝1时，函数y＝e－|x－1|取得最大值1，
所以函数f(x)＝sin ＋e－|x－1|的最大值为1＋1＝2，②正确；
对于③，因为函数y＝sin 的最小值等于－1，
函数y＝e－|x－1|大于0，
所以函数f(x)＝sin ＋e－|x－1|的最小值大于－1，③错误；
对于④，在平面直角坐标系内画出函数y＝sin 与函数y＝－e－|x－1|的图象(图略)，
由图易得当x∈(1,2 015]时，
两函数图象有503×2＋1＝1 007个交点，
当x∈[－2 015,1)时，两函数图象有504×2＝1 008个交点，
所以两函数图象共有1 007＋1 008＝2 015个交点，
即函数f(x)＝sin ＋e－|x－1|在[－2 015,2 015]上有2 015个零点，④正确．
综上所述，正确的结论为①②④.
三、解答题(本大题共3小题，共31分)
23．(10分)已知函数f(x)＝2x，x∈(0,2)的值域为A，函数g(x)＝log2(x－2a)＋(a<1)的定义域为B.
(1)求集合A，B；
(2)若B?A，求实数a的取值范围．
解 (1)A＝(1,4)，B＝(2a，a＋1]，a<1.
(2)∵(2a，a＋1]?(1,4)，
∴
∴≤a<1.
故实数a的取值范围为.
24．(10分)已知函数f(x)＝x2－|x2－ax－2|，a为实数．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在[0,3]上的最小值和最大值；
(2)若函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝
结合图象(图略)可知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)在[0,3]上的最小值为f＝－，
f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)＝5.
(2)令x2－ax－2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，
必有两根x1＝，x2＝，
∴f(x)＝
若函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，
则只需满足即可，
解得1≤a≤8.
故实数a的取值范围为[1，8].
25．(11分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上恒成立，求实数k的取值范围．
解 (1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，其对称轴为x＝1.
因为a＞0，所以g(x)在[2,3]上是增函数，
故解得
(2)由已知可得f(x)＝x＋－2，
所以f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化为1＋2－2·≥k，
令t＝，则k≤t2－2t＋1，
因为x∈[－1,1]，故t∈，
记h(t)＝t2－2t＋1，
因为t∈，故h(t)min＝0，
所以k的取值范围是(－∞，0]．
