第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数 同步测试（解析版）

《锐角三角形》同步测试
满分100分 时间90分钟
题号
一
二
三
四
总分
得分
第I卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
在Rt△ABC中，cosA=
1
2
，那么sinA的值是（　　）
A.
2
2
B.
3
2
C.
3
3
D.
1
2
△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B-3|+（2sinA-
3
）2=0，则△ABC是（　　）
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等边三角形C. 等腰(不等边)三角形 D. 等腰直角三角形
如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（　　）
A.
6
13
65
B.
5
13
78
C.
13
13
D.
5
13
26

如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东
45
°
方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东
30
°
方向上的B处，这时，B处于灯塔P的距离为()
A. 30
3
海里 B. 15
3
海里 C. 30
2
海里 D. 15
2
海里
在平面直角坐标系内P点的坐标是（cos30°，tan45°），则P点关于y轴对称点P′的坐标为（　　）
A. (?
3
2
,?1) B. (?1,
3
2
) C. (
3
2
,?1) D. (?
3
2
,1)
在钝角△ABC中，∠C是钝角，sinA=
3
11
，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为（　　）
A.
3
11
B.
9
11
C.
6
11
D. 条件不足，无法确定
如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2
2
，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（　?? 　）
A. 1????? 　　　　 B.
2
2
???????? 　　　C.
2
3
???? ?? 　　　　 D.
2
3
如图所示,AB是⊙??的直径，AM,BN是⊙??的两条切线，D,C分别在AM,BN上,DC切⊙??于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P,AE与OD相交于点Q,已知????=4,????=9,以下结论:①⊙??的半径为
13
2
;②????//????;③????=
18
13
13
;④tan∠??????=
2
3
其中正确结论有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
3
，则sin
??
2
= ______ ．
计算：sin60°?cos30°-tan45°= ______ ．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=
2
，则AC=______．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，则∠ADE的度数为______．
如图,在边长为??的正方形????????中,??是边????上一动点(点??与点??、??不重合),??是????的中点,且∠??????=∠??????，则tan∠??????=? ? ? ? ? ??．
直角坐标系内，点A与点B（sin60°，
3
）关于y轴对称，如果函数??=
??
??
的图象经过点A，那么k=_____．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
计算：
8
-2sin45°+|
2
?2|-（
1
2
）-2+（
3
?1）0．
先化简，再求值：（1-
??
??
2
+??
）÷
??
2
?1
??
2
+2??+1
，其中a=sin30°．
先化简，再求值：（
??
??
2
+??
-1）÷
??
2
?1
??
2
+2??+1
，其中x=
8
-4sin45°+2．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．
如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：AB=100米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PQ的长．（
2
≈1.414，
3
≈1.732，结果精确到0.1米）

已知，如图，抛物线y=-x2+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，D是边AC的中点，CE⊥BD交AB于点E.
（1）求tan∠ACE的值；
（2）求AE∶EB.
已知：如图，正方形OABC的边长为2，OA与y轴的夹角为30°，求点A、B、C的坐标。
答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：∵Rt△ABC中，cosA=，∴sinA==，故选B.利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．此题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解本题的关键．
2.【答案】B【解析】
解：由|tan2B-3|+（2sinA-）2=0，得tan2B-3=0，2sinA-=0，由∠A，∠B均为锐角，得tanB=，sinA=，A=60°，B=60°，∠C=180°-∠A-∠B=60°，∴∠C=∠A=∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．根据非负数的性质，可得特殊角三角函数，根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出tan2B-3=0，2sinA-=0是解题关键，又利用了特殊角三角函数值．
3.【答案】A【解析】
解：如图， 由图形知：AB==5，AC==， 过C作CD⊥AB于D， ∵S△ABC=×AB?CD=BC?AE， CD= ∴sin∠BAC===， 故选：A． 过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC和AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出CD的长，进而求出sin∠BAC的值． 本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数值，本题的难点是得到∠BAC所在的直角三角形的两条直角边长度．
4.【答案】C【解析】
解：由题意得，∠APC=45°，∠BPC=60°，∴PC=PA?cos∠APC=15，在Rt△BPC中，BP===30（海里），故选：C．根据题意得到∠APC=45°，∠BPC=60°，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、方向角的概念是解题的关键．
5.【答案】D【解析】
解：∵P点的坐标是（cos30°，tan45°），∴P（，1），∴P点关于y轴对称点P′的坐标为：（-，1）．故选：D．直接利用特殊角的三角函数值代入，再利用关于y轴对称横坐标互为相反数进而得出答案．此题主要考查了关于y轴对称点的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6.【答案】A【解析】
解：sinA=，现在拿一个放大三倍的放大镜置于∠A上方，则放大镜中的∠A的正弦值为， 故选：A．根据锐角三角函数的定义，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，正弦函数是对边比斜边，注意放大镜中的∠A的正弦值不变．
7.【答案】D【解析】
【分析】本题考查的是翻折变换的性质和锐角三角函数的定义，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．根据翻折变换的性质得到∠FEA=∠DEA，DE=FE，结合题意知DE=EC，于是∠EFC=∠ECF，根据三角形内角和定理得到∠EFC+∠ECF+∠FEC=∠FEA+∠DEA+∠FEC=180°，得到∠ECF=∠DEA，根据正切的概念得到tan∠ECF，进而得到，设GC=x，则，再利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：过E作EG⊥FC于点G，
在矩形ABCD中，CD=AB=2，AD=，
根据翻折的性质知：∠FEA=∠DEA，DE=FE，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC=CD=1，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠EFC+∠ECF+∠FEC=∠FEA+∠DEA+∠FEC=180°，
∴∠ECF=∠DEA，
在Rt△ADE中，，
在Rt△GCE中，，
∴，
设GC=x，则，
在Rt△GCE中，根据勾股定理得：，
即
解得，
∵EF=EC，EG⊥FC，
∴.
故选D.
8.【答案】B【解析】
本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、直角三角形斜边上的高的求法等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，熟练掌握切线长定理，属于中考常考题型．?作DK⊥BC于K，连接OE，①错误，在Rt△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故错误．②正确．可以证明AQ=QE，AO=OB，由此得出结论．③正确．根据PB=计算即可．④错误；根据tan∠CEP=tan∠CBP=计算即可．解：作DK⊥BC于K，连接OE．∵AD、BC是切线，∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，∴四边形ABKD是矩形，∴DK=AB，AD=BK=4，∵CD是切线，∴DA=DE，CE=CB=9，在Rt△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC-BK=5，∴DK==12，∴AB=DK=12，∴⊙O半径为6．故①错误，∵DA=DE，OA=OE，∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，∴AQ=QE，∵AO=OB，∴OD∥BE，故②正确．在Rt△OBC中，PB===，故③正确，∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴tan∠CEP=tan∠CBP===，故④错误，∴②③正确，故选B．
9.【答案】
1
2
【解析】
解：∵sinA==， ∴∠A=60°， ∴sin=sin30°=． 故答案为：． 根据∠A的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
10.【答案】?
1
4
【解析】
解：sin60°?cos30°-tan45°， =?-1， =-． 故答案为：-． 先把sin60°=，tan45°=1，cos30°=代入原式，再根据实数的运算法则进行计算． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
11.【答案】
8
10
5
【解析】
解：如图，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACB=90°，∴2（∠2+∠4）=90°，∴∠2+∠4=45°，∴∠EFG=∠2+∠4=45°，过点E作EG⊥AD于G，在Rt△EFG中，EF=，∴FG=EG=1，∵AF=4，∴AG=AF-FG=3，根据勾股定理得，AE==，连接CF，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF=45°=∠AFE，∵∠CAF=∠FAE，∴△AEF∽△AFC，∴，∴AC===，故答案为．先求出∠EFG=45°，进而利用勾股定理即可得出FG=EG=1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，即可得出结论．此题主要考查了角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE是解本题的关键．
12.【答案】110°【解析】
解：∵∠B=110°， ∴∠ADE=110°． 故答案为：110°．根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理．
13.【答案】
1
3
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定及性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及判定、勾股定理、锐角三角函数的定义.先根据∠CBM=∠NMB，作出辅助线，得出△MND≌△TNC及TM=TB，再利用勾股定理，即可解出AM的长，最后根据锐角三角函数的定义即可解答.
【解答】
解：延长BC、MN相交于点T
?
设AM=x，则MD=a-x
∵四边形ABCD是正方形
∴∠D=∠NCT=90o
N是CD的中点
∴DN=CN
∠MND=∠CNT
∴△MND≌△TNC
∴MD=CT，MN=NT
∵∠CBM=∠NMB
∴TM=TB
∴TM=TB=a+a-x=2a-x
∴MN=
在Rt△MND中，根据勾股定理，得
即
解得
，
∵M与A、D不重合
∴（舍）
∴
故答案为.
14.【答案】?
3
2
?.【解析】
【分析】这是一道考查反比例函数的性质与点的坐标的确定以及特殊角的三角函数值的题目，解题关键在于求出点A的坐标.【解答】解：∵点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，∴A，∵函数的图象经过点A，∴.?故答案为.
15.【答案】解：原式=2
2
-2×
2
2
+2-
2
-4+1=-1．【解析】
原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果． 此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：当a=sin30°时，所以a=
1
2
原式=
??
2
??
2
+??
?
(??+1
)
2
(??+1)(???1)
=
??
2
??(??+1)
?
(??+1
)
2
(??+1)(???1)
=
??
???1
=-1【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案，本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
17.【答案】解：原式=
?
??
2
??(??+1)
?
(??+1
)
2
(??+1)(???1)
=-
??
???1
，当x=2
2
-2
2
+2=2时，原式=-2．【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明:（1）∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；解:（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，????=????=
1
2
????=3，∵∠ADB=30°，∴??????∠??????=
????
????
=
3
2
，∴????=
3
3
2
=2
3
.【解析】
本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，，再由三角函数即可得出AD的长．
19.【答案】解：设PQ=x米，在直角△PAQ中，tan∠PAQ=
??
????
，∴AQ=
??
??????
45
°
=x，在直角△PBQ中，tan∠PBQ=
??
????
，∴BQ=
??
??????
30
°
=
3
x，∵AB=100米，∴x+
3
x=100，解得：x=50
3
-50≈36.6（米）．答：小桥PQ的长度约是36.6米．【解析】
设PQ=x米，在直角△PAQ和直角△PBQ中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据AB=AQ+BQ，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．
20.【答案】解：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3，∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式得：-x+3=0，解得x=3，A（3，0）．将点A和点B的坐标代入得：
?9+3??+3=0
??=3
，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）设M的坐标为（x，y）．∵△ACM与△ABC的面积相等，∴
1
2
AC?|y|=
1
2
AC?OB．∴|y|=OB=3．当y=3时，-x2+2x+3=3，解得x=0或x=2，∴M（2，3）、（0、3）．当y=-3时，-x2+2x+3=3，解得：x=1+
7
或x=1-
7
．∴M（1+
7
，-3）或（1-
7
，-3）．综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+
7
，-3）或（1-
7
，-3）． （3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4）．①当∠DNA=90°时，如图所示： ∵∠DNA=90°时，∴DN⊥OA．又∵D（1，4）∴N（1，0）．∴AN=2．∵DN=4，AN=2，∴AD=2
5
．②当∠N′DA=90°时，则∠DN′A=∠NDA．∴
????
????′
=
????
????
，即
2
5
????′
=
2
2
5
，解得：AN′=10．∵A（3，0），∴N′（-7，0）．综上所述点N的坐标为（1，0）或（-7，0）．【解析】
（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的坐标．本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键，求得AN′的长是解答问题（3）的关键．
21.【答案】解：（1）由∠ACB=90°，CE⊥BD，得：∠ACE=∠CBD，在△BCD中，BC=3，CD=
1
2
AC=2，∠BCD=90°，
得tan∠CBD=
2
3
，
即tan∠ACE=
2
3
；
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，
则在△CAP中，CA=4，∠CAP=90°，tan∠ACP=
2
3
，
得：AP=4×
2
3
=
8
3
，
又∠ACB=90°，∠CAP=90°，
得：BC∥AP，
得：AE：EB=AP：BC=8：9.
【解析】
本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识.
（1）首先证明∠ACE=∠CBD在△BCD中，BC=3，CD=?AC=2，∠BCD=90°，得tan∠CBD=，即可解决问题；
（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P，利用平行线的性质列出比例式即可解决问题.
22.【答案】解：如图，过A点作AG⊥x轴交x轴于G，过B点作BF⊥x轴交x轴于F，过C点作CH⊥y轴交y轴于H，作CD⊥BF，垂足为F， ∵∠AOG=90°-30°=60°，AG⊥OG，∴在Rt△AGO中，????=2??????60°=2×
1
2
=1，????=2??????60°=2×
3
2
=
3
，则点A坐标为
1,
3
，∵∠AOC=90°，∴∠COH=180°-∠AOC-∠AOF=30°，∴????=
1
2
????=1,????=
??
??
2
???
??
2
=
3
，∴??
?
3
,1
，∵CD∥x轴，∴∠DCO=∠COH=30°，∴∠BCD=60°，∴????=
1
2
????=1，????=
??
??
2
???
??
2
=
3
，∵CH⊥OH，BF⊥OH，CD⊥BF，∴四边形CHFD是矩形，∴FH=CD=1 , DF=CH=1，∴????=
3
?1,????=
3
+1，∴??
1?
3
,1+
3
.【解析】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形的知识.做辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.