2019年春北师大版九年级数学下第三章 圆检测卷（含答案）

第三章检测卷
(120分钟　150分)
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案
B
A
D
D
B
D
D
C
D
D
/
1.如图,☉O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是
A.2
3
B.5
3
C.5
D.8
2.如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠AOB=130°,则∠ACB的度数是
/
A.115° B.120° C.125° D.130°
/
3.如图,在平面直角坐标系中,☉M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是
A.10 B.8
2
C.4
13
D.2
41
/
4.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是
A.CM=DM
B.
????
=
????
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MD
/
5.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO的延长线交☉O于点C,连接BC,若∠A=30°,AB=2
3
,则AC=
A.4 B.6
C.4
3
D.6
3
6.在平面直角坐标系内,以原点O为圆心,1为半径作圆,点P在直线y=
3
x+2
3
上运动,过点P作该圆的一条切线,切点为A,则PA的最小值为
A.3 B.2 C.
3
D.
2
/
7.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2
3
,则阴影部分图形的面积为
A.4π B.2π
C.π D.
2π
3
/
8.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为
A.50° B.60°
C.80° D.90°
9.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是
A.
3
8
B.
3
4
C.
2
4
D.
2
8
/
10.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是
A.②④⑤⑥ B.①③⑤⑥
C.②③④⑥ D.①③④⑤
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
/
11.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,C为弧BD的中点,则AC的长是?
8
3
3
　.?
12.如图,在直角坐标系中,圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,P为直线y=-
3
4
x+3上的动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是　2
2
　.?
/
/
13.如图,在Rt△OAB中,∠AOB=45°,AB=2,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△OCD,则AB扫过的面积为　π　.?
14.如图,以AB为直径的☉O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18,∠A=30°,弦CD⊥AB,垂足为F,连接AC,OC,则下列结论正确的是　①③④　.(写出所有正确结论的序号)?
/
①CF=DF;
②扇形OBC的面积为
27
4
π;
③△OCF∽△OEC;
④若P为线段OA上一动点,则AP·OP的最大值是20.25.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
/
15.如图,AB,CD是☉O的直径,弦CE∥AB,弧CE所对的圆心角的度数为50°,求∠AOC的度数.
解:连接OE,由已知可得∠COE=50°,
∵OC=OE,∴∠OCE=∠OEC=(180°-50°)÷2=65°.
∵CE∥AB,∴∠AOC=∠OCE=65°.
/
16.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠D=60°且AB=6,过点O作OE⊥AC,垂足为E.
(1)求OE的长;
(2)若OE的延长线交☉O于点F,求阴影部分的面积S.
解:(1)∵∠D=60°,∴∠B=60°,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∠CAB=30°,
又∵AB=6,∴OA=3,∵OE⊥AC,∴OE=
1
2
OA=
3
2
.
(2)连接OC,则易得△COE≌△AFE,∴S=S扇形FOC,
∵S扇形FOC=
60π×
3
2
360
=
3
2
π,∴S=
3
2
π,即阴影部分的面积为
3
2
π.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
/
17.如图,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,OD⊥BC于点D,延长DO交☉O于点F,连接OC,AF.
(1)求证:△COD≌△BOD;
(2)①当∠1等于多少度时,四边形OCAF是菱形;
②当∠1等于多少度时,AB=2
2
OD.
解:(1)∵OC=OB,OD⊥BC于点D,
∴由等腰三角形的性质得△COD≌△BOD.
(2)①当∠1=30°时,四边形OCAF是菱形.
理由:∵∠1=30°,AB是直径,∴∠BCA=90°,∠BAC=60°.
又∵OC=OA,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=CA,
又∵D,O分别是BC,BA的中点,
∴DO∥CA,∴∠AOF=∠BAC=60°.
又∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,
∴AF=OA=OF,∴OC=CA=AF=OF,∴四边形OCAF是菱形.
②当∠1=45°时,AB=2
2
OD.
理由:∵∠1=45°,OD⊥BC于点D,
∴△BOD是等腰直角三角形,∴OB=
2
OD,∴AB=2OB=2
2
OD.
18.若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,求△ABC的面积.
/
解:如图所示,
存在两种情况,当△ABC为△A1BC时,
∵点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,OB=OC,∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,OA1⊥BC于点D,
∴CD=1,OD=
2
2
-
1
2
=
3
,
∴
??
△
??
1
????
=
1
2
BC·A1D=
1
2
×2×(2-
3
)=2-
3
.
当△ABC为△A2BC时,
同理可得CD=1,OD=
2
2
-
1
2
=
3
,
∴
??
△
??
2
????
=
1
2
BC·A2D=
1
2
×2×(2+
3
)=2+
3
.
∴△ABC的面积为2-
3
或2+
3
.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
/
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC,BC相交于点M,N.
(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;
(2)连接MD,求证:MD=NB.
解:(1)连接ON.∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴AD=CD=DB,∴∠DCB=∠DBC.
又∵OC=ON,∴∠DCB=∠ONC,∴∠ONC=∠DBC,∴ON∥AB.
∵NE是☉O的切线,ON是☉O的半径,∴∠ONE=90°,
∴∠NEB=90°,即NE⊥AB.
(2)由(1)可知ON∥AB,
又∵OC=OD,∴CN=BN=
1
2
BC.
∵CD是☉O的直径,∴∠CMD=90°.
又∵∠ACB=90°,∴MD∥BC.
又∵D是AB的中点,∴MD=
1
2
CB,∴MD=NB.
/
20.如图,已知A,B,C,D,E是☉O上的五个点,☉O的直径BE=2
3
,∠BCD=120°,A为
????
的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.
(1)求线段BD的长;
(2)求证:直线PE是☉O的切线.
解:连接DE.∵∠BCD+∠DEB=180°,
∴∠DEB=180°-120°=60°,
∵BE是☉O的直径,
∴∠BDE=90°,∠DBE=30°,
在Rt△BDE中,BD=
3
2
BE=
3
2
×2
3
=3.
(2)连接EA.∵BE是☉O的直径,∴∠BAE=90°,
∵A为
????
的中点,∴∠ABE=45°,∵BA=AP,而EA⊥BA,
∴△BEP为等腰直角三角形,
∴∠PEB=90°,即PE⊥BE,∴直线PE是☉O的切线.
六、(本题满分12分)
21.如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A,B,C.
/
(1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置;
(2)若点A的坐标为(0,4),点D的坐标为(7,0),试验证点D是否在经过点A,B,C的抛物线上;
(3)在(2)的条件下,求证直线CD是☉M的切线.
解:(1)如图1,点M即为所求.
/
(2)由A(0,4),可得小正方形的边长为1,从而B(4,4),C(6,2),M(2,0).
则圆弧所在圆的半径为
2
2
+
4
2
=2
5
,
点D到点M的距离为7-2=5>2
5
,
所以点D不在经过点A,B,C的抛物线上.
(3)如图2,设过点C与x轴垂直的直线与x轴的交点为E,连接MC,作直线CD.
由(2)知小正方形的边长为1,
所以CE=2,ME=4,ED=1,MD=5,
在Rt△CEM中,∠CEM=90°,
根据勾股定理,得MC2=ME2+CE2=42+22=20,
在Rt△CED中,∠CED=90°,
根据勾股定理,得CD2=ED2+CE2=12+22=5,
所以MD2=MC2+CD2,所以∠MCD=90°,
因为MC为半径,所以直线CD是☉M的切线.
七、(本题满分12分)
22.如图,正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异,我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.
(1)角的“接近度”定义:设正n边形的每个内角的度数为m°,将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是,|180-m|越小,该正n边形就越接近于圆.
①若n=3,则该正n边形的“接近度”等于　120　.?
②若n=20,则该正n边形的“接近度”等于　18　.?
③当“接近度”等于　0　时,正n边形就成了圆.?
(2)边的“接近度”定义:设一个正n边形的外接圆的半径为R,正n边形的中心到各边的距离为d,将正n边形的“接近度”定义为
??
??
-1
.分别计算n=3,n=6时,边的“接近度”,并猜测当边的“接近度”等于多少时,正n边形就成了圆?
/
解:(2)当n=3时,
??
??
=
1
2
,此时边的“接近度”为
??
??
-1
=
1
2
-1
=
1
2
.
当n=6时,
??
??
=
3
2
,此时边的“接近度”为
??
??
-1
=
3
2
-1
=
2-
3
2
.
猜测:当边的“接近度”等于0时,正n边形就成了圆.
八、(本题满分14分)
23.小平所在的学习小组发现,车辆转弯时,能否顺利通过直角弯道的标准是:车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置(如图1中的位置).例如,图2是某巷子的俯视图,巷子路面宽4 m,转弯处为直角,车辆的车身为矩形ABCD,CD与DE,CE的夹角都是45°时,连接EF,交CD于点G,若GF的长度至少能达到车身宽度,即车辆能通过.
(1)小平认为长8 m,宽3 m的消防车不能通过该直角转弯,请你帮他说明理由;
(2)小平提出将拐弯处改为圆弧(
????
'和
????
'是以O为圆心,分别以OM和ON为半径的弧),长8 m,宽3 m的消防车就可以通过该弯道了,具体的方案如图3,其中OM⊥OM',你能帮小平算出,ON至少为多少时,这种消防车可以通过该巷子?
/
解:(1)作FH⊥EC,垂足为H.∵FH=EH=4,
∴EF=4
2
,且∠GEC=45°,
∵GC=4,∴GE=GC=4,
∴GF=4
2
-4<3,即GF的长度未达到车身宽度,
∴消防车不能通过该直角转弯.
(2)若点C,D分别与点M',M重合,则△OGM为等腰直角三角形.
/
∴OG=4,OM=4
2
,
∴OF=ON=OM-MN=4
2
-4,
∴FG=8-4
2
<3,∴点C,D在
????
'上.
设ON=x,连接OC.
在Rt△OCG中,OG=x+3,OC=x+4,CG=4,
由勾股定理,得OG2+CG2=OC2,
即(x+3)2+42=(x+4)2.
解得x=4.5.
答:ON至少为4.5米时,这种消防车可以通过该巷子.