《正弦定理》教学设计
教材：普通高中课程标准实验教科书人教B版必修五
章节：第一章 解三角形1.1.1正弦定理
面向学生：高二年级
教学设计：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
【问题探究】
通过《红海行动》中恐怖分子使用火箭弹向停泊在港口准备撤侨的临沂号进行了攻击的一段视频，提炼近防系统防御火箭弹的模型。我军通过计算机模拟，预测得火箭弹从恐怖分子基地发出，到某一时刻，能够到达C处，此时与敌军基地形成夹角A=20°，我军军舰距离恐怖分子基地AB=5km，我军近防系统的有效射程是3km ，在不考虑风速及自重的情况下，为了有效锁定目标，我军军舰发射角是多少？
学生通过观看视频，提炼模型，发现问题
通过视频的演示，吸引学生的注意力，贴合实际的例子，能够让学生感受，数学是生活中无处不在的解决问题的工具，激发学生兴趣，激发求知欲。
【回顾复习】
复习已知的三角形的知识。
三角形内角,有大边对大角，小边对小角,两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，勾股定理，三角函数……
学生通过老师提醒回想前面所学内容，为新知探究打下基础。
通过复习已有知识，回顾对边角关系的感性知识以及定量关系三角函数，提升原有的知识高度。
【引入新课】
回想，直角三角形中，锐角的正弦值是怎么定义的？
能不能求出c?
能不能把左边也写成分式，把角C融合进去？
教师提问
学生集体回答
教师对学生作答进行回应点评
通过直角三角形内锐角的正弦定义，引入新课,转化为边角关系的研究
【定理深化】
观察定理的结构，你发现他有什么特点？
分式、两个连等式、分子是边长，分母是正弦值，各边长和正弦值比为定值……
学生观察定理，自己探索发现规律
通过学生的自主探究，发现定理的结构特点，深化对定理的印象
【定理证明】
定理的得出是通过特殊的直角三角形，大胆猜想，推广到一般，结论还成立么？
成立！
如何证明锐角三角形中定理成立？同桌讨论，派代表阐述。
钝角三角形呢？类比锐角三角形的证明过程，有什么异同？独立思考
到这里，正弦定理便得到了完整的证明。通过几何画板，展示三种情况下，比例为定值
同桌两个人讨论，派代表阐述想法
教师点评肯定，指出转化的思想方法。
学生独立思考，增加自己思维量，老师提问，点评两种方法中相似之处都是做高线，不同之处在于，钝角要补出来一个直角三角形，用到诱导公式。
展示几何画板课件
定理的证明是这一节的第一个难点，蕴含着转化的思想，通过大胆猜想，辅助线构造，完成从特殊的直角三角形到一般的转化，同时也增强学生的合作意识。
类比锐角，体会转化的思想，巩固定理内容，诱导公式的使用，查漏补缺。
感受公式美，深化概念
【渗透历史】
历史上，正弦定理的得出并不是一帆风顺的。介绍阿拉伯数学家纳绥尔丁以及韦达两位的证明方法，点明外接圆的方法课外探讨。
教师讲授，留有悬念，学生课下查阅资料
通过对历史的介绍，渗透数学文化的教育，培养数学核心素养。同时对外接圆的方法留有悬念，激发学生求知欲，探求比值的实际意义。
【应用探究】
历史赋予了正弦定理以内在的美，公式本身又表现出了他的形式美，接下来，继续探究他的应用价值—解三角形
例1
改变已知条件，解的确定性会不会发生改变？
变式：若将a=10 改为b=10，解确定么？c=10呢？为什么？
总结：在这一组例题中，你能发现什么结论？
改变已知条件，把两角一边改成两边一角，特别的考虑两边及其中一边的对角，展出一组四个例题。
（1）中发现问题，应用正弦定理解答过程中，用到已知三角函数值求角的过程，两解容易漏掉一解，总结
结合（1）中问题的解答，完善（2）的答案，分享展示
结合三角形内角和，发现两解舍一
辨析两组题目在解答过程中解的取舍，总结提高
（3）解不存在
辨析三组题目中，解的个数问题
容易想到，从解方程的角度出发，代数角度解决问题。
语言启发，能不能从图形几何角度解决问题。提供直尺、圆规、白板等工具，启发学生动手比划。并引出以点C为圆心，以a为半径的圆的动图，转化为圆与直线的交点问题。
通过表格的形式，将角分为锐角、钝角、直角三种情况，将边分为大于、等于、小于三种情况，给出九宫格，并结合圆与直线的位置关系图示，总结解的个数
师生一起作答，并指数从方程角度应用正弦定理，相当于解方程，知三求一。
学生独立思考完成
独立总结结论，提升高度
独立思考，尝试结题，教师巡视，发现问题
巡视发现问题，在已知三角函数值求角的过程，容易漏解。选两位学生代表分享展示
利用课件以及学生的解答，展示完整解答步骤
讨论思考
学生分组讨论交流，互相评价，教师巡视并参与学生的讨论。
小组代表、学生自荐回答
借助多媒体辅助教学，展示学生解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次。
播放课件
同桌合作商量
师生合作，培养大家的合作意识，教师规范板演的过程，给学生良好的示范。
在问题的解决过程中，团队意识是不可或缺的因素，但是自我思维深度的挖掘是集体的支撑。
通过合作交流，独立探究，提升学生的思维高度，通过语言启发，题目辨析的方法，小结例题。
通过例题的辨析，培养学生主动探索的意识
在解决问题中发现问题，解决问题，在知识的巩固上，再次夯实。
通过辨析两组题目，为后面解的个数的讨论埋下伏笔
通过小组合作的方式，培养学生的合作意识，也通过代数和几何两种方法，体会数形结合的应用
【应用练习】
回扣引入的题目，回到边角关系，解三角形上
给学生提供所需的三角函数值，解三角形，应用正弦定理解决实际问题，也是体现数学源于生活，服务于生活的理念。
尝试独立完成，教师巡视点评指导
发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。加深学生对正弦函数的理解，体验数学在解题中的应用。
【归纳内化】
知识上—正弦定理
两个应用—已知两角一边，解是确定的，已知两边及一边的对角，解不确定，结合大边对大角考虑。
三个思想方法-类比（特殊到一般），转化（化斜为直），数形结合
引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师进行评析总结，并用课件展示给出。
让学生自己小结，不仅仅总结知识，更重要的是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可以帮助学生自行建构知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。
【作业安排】
必做题：
课本5页A组第1、2题，B组第1题
选做题：
课本6页B组第3题
思考题：
探究正弦定理的比值
分两个层次留作业，第一层次要求所有同学都要完成；第二层次要求学有余力的同学完成
作业是学生信息的反馈，能在作业中发现并弥补教学中的不足，注重个体差异并因材施教
【延伸拓展】
思考题：
利用外接圆的方法证明正弦定理，验证比值
【板书设计】
正弦定理
一、定理
二、应用-解三角形
小结：已知两角一边，解存在唯一
例2
小结：已知两边及一对角，解不确定
板书设计清楚整洁，便于突出知识目标。
课件21张PPT。正弦定理巩固提高我军通过计算机模拟，预测得火箭弹从恐怖分子基地发出，到某一时刻，能够到达C处，与敌军阵地形成夹角A=20°，我军军舰距离恐怖分子基地AB=5km，我军近防系统的有效射程是CB=3km ，在不考虑风速及自重的情况下，为了有效锁定目标，我军军舰发射角度的是多少？巩固提高已知A=20°，AB=5km，CB=3km ,求B直角三角形的边角关系思考:在非直角三角形中,这个结论还能成立吗?温故知新正弦定理(1)当 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?D如图:作AB上的高是CD,根椐定义E(2)当 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?D同理可得:H:正弦定理的证明.gsp正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即历史的积淀纳绥尔丁 1201-12741540-1603小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。变式：若将a=10 改为b=10，解确定么？把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。你能发现什么一般性的结论？c=10呢？例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(1)(3)(2)(4)已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(1)已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角得解：由正弦定理C=75°,例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(2)已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角得解：由正弦定理C=105°,例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(1)(2)已知两边和其中一边
的对角,求其他边和角已知三角函数值求角的过程中，对于角的取舍，有什么技巧方法？三角形内角和大边对大角，小边对小角例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(3)..解的个数.gsp例2：已知△ABC中，根据下列条件解三角形(4)小结：知道三角形的两边和其中一边的对角，解不确定总结：已知一解无解无解一解无解无解一解一解a
已知两边和一边的对角，解不确定类比（特殊到一般），转化（化斜为直），数形结合正弦定理《正弦定理》评测练习
教材：普通高中课程标准实验教科书人教B版必修五
章节：第一章 解三角形1.1.1正弦定理
面向学生：高二年级
1．一个三角形的两内角分别是和，如果角所对的边长是6，那么角所对的边的边长是
A. B. C. D.
2.在中，已知，则
A. B. C. D.或
3．在中，已知，则此三角形的解的情况是
A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定
4．在中，已知，则的值为
A. B. C. D.
5．在中，已知，则
A. B. C. D.
6．在中，已知，已知该三角形有两解，则的取值范围是
A. B. C. D.
7．在中，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
8．在中，已知则的值为_______
9．在中，若，求的值.
10．在中，分别为内角的对边，若，求的值.
