《椭圆及其标准方程》
教学目标
1：知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，标准方程的推导以及标准方程.
2：过程与方法：通过椭圆概念引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法—坐标法.
3:情感态度与价值观：通过椭圆的定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题的本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想.
二：教学重点与难点
1.学习重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程.2.学习难点：椭圆标准方程的建立和推导，椭圆定义中常数加以限制的原因
教学设计
（一）合作探究，形成概念
恰逢学校举办的数学文化节入手，所以给班级学生定制的研究课题是“神秘的椭圆”，在整个活动过程中，学生搜集了很多素材，对椭圆已经有一定的认识；并且学生一致地球绕太阳的运行轨迹是椭圆，那科学家是如何发现的呢？本班的数学活动小组推荐了一部科学影片.
观看视频.
看完视频，打开几何画板.
师：同学们在准备这次活动的过程中，对椭圆有一定的直观感觉，并且自己能够动手画出椭圆.那下面我们从数学角度入手，看看能不能挖掘椭圆严格的数学表达.
设计意图：
通过观看影片的形式引入椭圆的概念，既激发学生对本节课学习的兴趣，提高学生对课堂的关注，给学生灌输科学家不懈探索真理的精神，又回顾了椭圆的画法，形象生动，方便快速引入主题.
教师活动：用几何画板动态演示椭圆的形成过程.
根据影片和几何动画，思考如下问题：
（1）在画出椭圆的这个运动过程中，有哪些不变量？
（2）椭圆是满足什么条件的点的轨迹？
设计意图：通过形成椭圆的点的动态变化，让学生进一步体会变与不变的联系.
引导学生概括椭圆定义.
椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.
数学表达：
.
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
学生活动：学生自己动手尝试
（1）如果定长等于|F1F2|，点P的运动轨迹还是椭圆吗？
（2）如果定长小于|F1F2|，点P的运动轨迹还是椭圆吗？
小小练习：请你判断满足下列条件的动点P的轨迹是否为椭圆.
(1)到点（3,0）（-3,0）的距离之和为9的点的轨迹.
(2)到点（3,0）（-3,0）的距离之和为6的点的轨迹.
(3)到点（0,3）（0，-3）的距离之和为10的点的轨迹.
(4)到点（0,3）（0，-3）的距离之和为5的点的轨迹.
设计意图：
通过回想手工操作画出椭圆的过程，引导学生思考、归纳学习并深入理解椭圆定义，突出定义中学生容易忽略的地方，并且动手操作，从而为后面求椭圆的标准方程做铺垫.
（二）逻辑推理，得出方程
教师活动：引领学生进行知识回顾并使学生尝试推导椭圆的标准方程：
(1) 如何利用坐标法求曲线方程；
(2) 比较以圆心为原点建立的圆的方程与不以圆心为原点建立的圆的方程，哪种形式更简单？
设计意图：
通过对曲线与方程及圆的相关知识的回顾，使学生更容易理解椭圆方程的推导过程.
如图所示，已知焦点为的椭圆，且，对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程.
师：为使求出的方程简单，该如何建立坐
标系？几种不同的建系方案供学生选择,
生：根据建立合理坐标系求圆的方程的过程，应以所在直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，这样求出的椭圆方程应该较简单.
师：对，回答的很正确，你们已经掌握了建立合适坐标系求圆方程的方法，并能进行知识的迁移，学以致用，是很值得夸奖的.那么，现在让我们按照这个方法具体的求出椭圆的方程吧.
具体过程：
(1)设是椭圆上任意一点，设,则；
(2) 设与两定点的距离的和等于，则，即
.
师：针对，我们该如何化简呢？
师：如果直接平方的话，不能彻底的将根式去掉，这里我们不妨先移项，在进行平方，具体操作如下：
移向，得：
，
两边平方，得：
，
即
，
两边平方，得：
，
整理，得：
.
令
，
则方程可简化为：
，
整理，得：
.
师：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中.试想：若以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，则会得到怎样的椭圆方程呢?
生：通过如上类似的计算可得到这一椭圆.
学生活动：学生自主推导焦点在y轴上的椭圆标准方程.
设计意图：老师教给学生方法，并且在课堂让学生自己推导，不仅可以加深印象，训练计算能力，也为后面根据方程判断焦点位置做铺垫.回顾方程，观察方程特点.
思考：如果已知椭圆的标准方程，如何判断焦点在哪条坐标轴上？
焦点在哪个轴上，哪个未知数对应的分母较大。
（三）尝试应用，巩固新知
小小练习，相信你一定行！
(1)在椭圆中,a=____,b=____,焦点位于___轴上,焦点坐标_______.
(2)在椭圆中,a=__,b=___,焦点位于___轴上,焦点坐标_______.
(3)在椭圆中,a=_____,b=____,焦点位于__轴上,
焦点坐标_______.
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)，并且椭圆经过点 .
例2 已知B、C是两个顶点，BC的长度为6，且三角形ABC的周长等于16，求定点A的轨迹方程.
设计意图：加强学生对椭圆定义和标准方程的理解和巩固，同时加深a、b、c关系式的应用，让学生学会“先定位，再定量”，初步根据定义及求椭圆的方程，为后面进一步学习椭圆方程的求法做铺垫.
（四）归纳总结，反思升华
师：这节课我们学习了什么内容，自己先思考，然后与小组的其他成员讨论交流.
学生活动：思考并与小组其他成员交流.
设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础.
（五）布置作业，延伸课堂
基础题：同步练习册基础巩固.
发展题：已知两点B（6,0）和C（-6,0）,设点A与B,C 的连线AB,AC的斜率分别是k1,k2.如果k1k2= ，求点A所在的直线方程，并说明它是何种曲线.
课外活动：课余时间自主收看电影《城市广场》，感受历史上伟大的科学家和数学家对真理不懈追求的精神；结合本节课对椭圆相关知识的学习，同学们可以写下自己的观影感受或者学习心得，小组之间交流谈论.
课件16张PPT。2.1.1 椭圆及其标准方程
（选修1-1）用数学的眼光观察世界；用数学的思维分析世界；用数学的语言表达世界. ?平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。一、合作探究 形成概念椭圆的定义：定点F1 F2叫做椭圆的焦点，
两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距。(3)到点 的距离之和为10的点的轨迹.小小练习，请你判断满足下列条件的动点P的轨迹是否为椭圆.是不是是不是二、逻辑推理 得出方程? 探讨建立平面直角坐标系的方案原则：尽可能使方程的形式简单、运算方便；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)方案一二、逻辑推理 得出方程设P (x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦点F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0)
则焦距|F1F2|=2c(c>0)，
P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c) 由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程（问题：下面怎样化简？）Ｐ(x , y)F1F2yx二、逻辑推理 得出方程二、逻辑推理 得出方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？?焦点在x轴上.二、逻辑推理 得出方程焦点在y轴上.谁的分母大，焦点就在谁轴上.三、尝试应用 巩固新知小小练习，相信你一定行！xyy三、尝试应用 巩固新知例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程。(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
三、尝试应用 巩固新知例2：已知B、C是两个顶点，BC的长度为6，且三角形ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。四、归纳总结 反思升华一个定义：两类方程:三个变量之间的关系:三个解题步骤:先定位，再定型，后定量.发现问题的能力；提出问题的能力；
分析问题的能力；解决问题的能力.四种能力：五、布置作业 延伸课堂基础题：同步练习册基础巩固.五、布置作业 延伸课堂 课余时间自主收看电影《城市广场》，感受历史上伟大的科学家和数学家对真理不懈追求的精神；结合本节课对椭圆相关知识的学习，同学们可以写下自己的观影感受或者学习心得，小组之间交流谈论。课外活动：评测练习
一：课前准备
数学文化节学生活动：
（1）“想一想”。给同学们一个椭圆形，看看学生能够画出一个什么样的图形。 （2）“画一画”。同学们有几种方法能够标准的画出一个椭圆
（3）数学板报制作。
（4）“浪漫的椭圆”。数学小诗《“圆”来不易》，《椭圆，生命的轨迹》。
数学活动小组推荐科普电影《城市广场》，我提前截取片段，课堂大家一同观看，提高课堂氛围。
二：课堂练习
椭圆定义练习
(1)到点的距离之和为9的点的轨迹.
(2)到点的距离之和为6的点的轨迹.
(3)到点的距离之和为10的点的轨迹.
(4)到点的距离之和为5的点的轨迹.
椭圆标准方程练习
口头回答(1)在椭圆中,a=____,b=____,焦点位于___轴上,焦点坐标_______.
(2)在椭圆中,a=__,b=___,焦点位于___轴上,焦点坐标_______.
(3)在椭圆中,a=_____,b=____,焦点位于__轴上,
焦点坐标_______.
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)，并且椭圆经过点 。
例2 已知B、C是两个顶点，BC的长度为6，且三角形ABC的周长等于16，求定点A的轨迹方程。
三：布置作业
基础题：同步练习册基础巩固.
发展题：已知两点B（6,0）和C（-6,0）,设点A与B,C 的连线AB,AC的斜率分别是k1,k2.如果k1k2= ，求点A所在的直线方程，并说明它是何种曲线.
课外活动：课余时间自主收看电影《城市广场》，感受历史上伟大的科学家和数学家对真理不懈追求的精神；结合本节课对椭圆相关知识的学习，同学们可以写下自己的观影感受或者学习心得，小组之间交流谈论。
观评练习：
已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围.
已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,求m的取值范围.
