高三导数复习之常见不等式的变形与应用教学设计
一、课标分析
导数及其应用内容的基本定位：
1、本节内容为普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2导数，在有了导数的几何意义，单调性，极值最值的概念后，对导数问题综合应用，强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。
2、全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具——导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值。
二、教材分析：
导数知识是“高中数学”中的极其重要的部分，它的内容 、思想和应用贯穿于整个“高等数学”的教学之中。它不仅为学生学习后继课程和解决实际问题提供了必不可少的数学知识和数学方法，而且也为培养学生思维能力、分析解决问题的能力及使学生形成良好的学习方法提供了不可多得的素材，从而为学生的终身学习搭建平台、拓展空间。
而导数应用是导数知识中的重要内容。本课程结合导数知识中的这些内容，通过具体的一类不等式及其变式来阐述它们在不等式证明中的广泛应用，帮助初学导数知识的学生拓展解题思路，进行发散性思维，提高他们解决实际问题的能力。
三、教学目标
导数问题的常见类型之一就是证明不等式成立。此类型题常常转化为恒成立问题求最值。解答此题所涉及到的主要的数学能力有运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力。主要考查学生的函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等。基于以上分析，确立本节课的教学目标为：
知识与技能：通过典例的演绎与探究，体会常见不等式及其变形在解决导数问题中的重要作用；
过程与方法：通过转化与化归思想的具体运用，培养学生培养学生数学发现能力和概括能力，培养分析、抽象、概括等思维能力，提高学生的数学思维。
情感态度价值观：培养学生不断发现、探索新知识的精神，钻研精神和科学态度。运用合作学习的方式，培养学生团结协作的精神。
教学重点:利用导数证明该类不等式，利用数形结合掌握其几何意义
教学难点:该类不等式的变形应用。
四、学情分析
全国卷对于导数问题的考察灵活多变，是解答题中的重点难点，对于进行二轮复习即将高考的学生而言更是急需攻克的难关，在诸多导数问题中，把常见不等式嵌入题目里，很多学生无从下手。所以导数综合应用不能只停留在表面，要通过一题多变、一题多解、多题一解等，把知识目标、能力目标落到实处，真正达到有效备考。构造我们常见的函数，通过求该函数的最值，可知不等式成立，再利用放缩，从而证明不等式。若能灵活应用不等式 求解，则学生思路会明确许多，难度也大大降低，所以教师有必要讲透该不等式的变形及应用。
五、教学方法
本节课教法上本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“教师导引，自主探究”式教学方法。通过问题引领，设置一类题目，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；引发学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。教与学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的．《高中数学课程标准》就学生的学习活动强调：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”。因此在本节课的教学中，不断地引导学生体会治学之道，求学之法。
六、教学方法与教学手段
问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件及实物投影
七、课堂设计
遵循数学教学的“过程性”和“发展性”的原则，设计如下教学环节：
1、复习回顾：
请大家回顾我们前面做过的这三个大题，它们有什么共同特征？
学生活动1：这三个题目是在近期做过的导数解答题中抽出的三个典型题目，帮助学生发它们的共同特点规律，都是以常见不等式为切入点，对其中的进行赋值变形，从而证明其不等式成立。
（问题设在学生的“最近发展区”内，可引发学生的积极思维，使学生根据新的学习任务主动提取已有知识．）
2、两个常用的切线不等式
请证明这两个不等式，你能找出它的几何意义吗？
学生活动2：不等式的证明
学生作答,教师板书证明过程，得到结论，提示学生能否解释其几何意义，在平面直角坐标系下，发现直线与曲线相切，所以我们不妨又把这种不等式叫做切线不等式，并注意互为反函数。
师生活动1：师生共同总结证明过程，构造差函数，不等式的证明化归为函数的最值问题 ,即
学生活动3：你能得到该不等式的那些变式？说明理由。
学生活动4：学生小组讨论，个别回答，其他学生补充，教师适当引导总结。
3、简单应用——小题我们可以这么做
学生活动5：学生讲解解题过程。
（1）引导学生直接对应常见不等式的变形：，右侧即证明，实质上就是变形2，所以这个高考题就变成一个口算题，只需证明常见不等式即可。
（2）数形结合，函数的导数即是切线不等式
（3）解析：f′(x)＝ln x－2ax＋1，依题意知f′(x)＝0有两个不等实根x1，x2.即曲线y1＝ln x与y2＝2ax－1有两个不同交点，如图．由直线y＝x－1是曲线y1＝ln x的切线，
可知：0<2a<1，且0当x10，f(x)为增函数，
∴ f(x1)< f(1) ＝－a<0，f(x2)>f(1)＝－a>－.
师生活动2：学生可能有不同方法，鼓励学生一题多解，引导学生认识到常见不等式灵活应用的便捷。
（目的：把探求新知的权利交给学生,为学生提供宽松、广阔的思维空间，让学生主动参与到问题的发现、讨论和解决等活动上来．而且在探究交流过程中学会合作，学会欣赏别人.）
4、综合应用——来看看高考大题怎么出
1.（2013新课标II）已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．当m≤2时，
证明f(x)>0.
学生活动6：学生借助实物投影仪来讲解证明过程。
证明：（方法一）
当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，
又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得ex0 ＝，ln(x0＋2)＝－x0，
故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＋(x0＋2)－2>2－2=0.
综上，当m≤2时，f(x)>0.
教师适当讲解补充
（方法二）因为，当且仅当时等号成立，
由当且仅当时等号成立，可得
当且仅当时等号成立，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
从而，而且不能同时取“=”
故当时，，从而
师生活动3：师生共同评价，总结两种方法，先将m看做变量，化归到只须证明当m＝2时，f(x)>0.
第一种设而不求是解决导数问题的常规方法，在求不出导数零点时，利用零点存在性定理，找到导数零点所在范围，从而进行代换证明不等式；而第二种办法学生观察思考更加深入，发现题根，直接利用常见不等式及其变形证明。
（思维升华：方法一，体现了“设而不求”的思想，并没有求出极小值点x0，而是巧妙的“转移”，将f(x)的最小值f(x0)转化为了熟悉的求最值的情形。方法二，将不等式ex≥－(x＋1)和x－1 ≥lnx的变式结合在一起，用不等式取等的条件完成证明，非常简练，值得回味）
2.(2010 全国I理)已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）证明： .
师生活动4：回顾这个题，我们看看它如何解决，那么题目又是怎么编出来的呢？ppt演示讲解证明过程
解：（1）,题设.
由不等式可得，所以，综上，的取值范围是.
（2）由（1）知，即.
当时，；
当时，
所以
师生活动5：教师引导学生反思解法，这是一个曾经做过的题目，对比全国卷13年的上一道题，引导学生思考出题人的思路，高考题中一类不等式问题的切入点是由常见不等式变形来的。
3.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
求a，b；(2)证明：f(x)>1.
学生活动7：投影解题过程
（在前面师生一起总结了几道小题和全国卷两道大题的基础上，此题完全放给学生，由学生总结本题不等式的解法。）
方法一：要证明的不等式直接构造函数求导不好证，考虑变形后分成两个函数，转化成函数最值问题，注意帮助学生区分并不是所有的不等式都能转化成两个函数，因为此题可以构造常见函数，所以考虑用这个方法。
方法二：提取公因式，变形成两个大于1的因式相乘的形式，用切线不等式的变形解决此题。
（思维提升：让学生学会类比，在前两个题目切线不等式的加减移项变形的基础上，本题升级成为乘除提取公因式变形，帮助学生更好的理解变形方法，教师引导学生探索此类不等式问题的源头，体会命题人思路。）
4.（2012山东理）已知函数，设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，
证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
师生活动6：回顾前面做过的导数大题，帮助学生深化思维，总结归纳出这一类问题的解题策略
分析：f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
对任意x>0，g(x)<1＋e－21－x－xln x<(1＋e－2)．
设h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，求得h(x)max= h(e－2)＝1＋e－2，
所以只须证>1，转化为ex>x＋1(x>0)的证明.
（思维升华：本题直接求g(x)的最大值会有很大难度，因而将原不等式等价转化，当x>0时，(1－x－xln x) <1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)，最终归结到证明熟悉的重要不等式ex>x＋1(x>0)上来，体现了化归与转化的数学思想。）
八、课后反思
学完本节，你有什么收获？
学生活动8：学生先独立思考，个别回答，师生共同补充完善。
高考对函数不等式ex≥x＋1的考查灵活多样，但万变不离其宗，只要记住几种典型的变形，再对x进行合理赋值、放缩，就能解决很多类似的题目。学生自己从所学到的数学知识、数学思想方法两方面进行总结，在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的至高点．
九、布置作业
1、整理学案上的题目
2、利用常见不等式及其变形给同桌遍一道导数题，相互解答对方题目
（分层次作业既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生的创新意识和探索精神。）
十、板书设计
十一、评测练习
1、设n∈N＋,证明：＋＋…＋2、已知函数其中n∈N*.
证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.
课件11张PPT。人教B版 选修2-2导数高三复习课
