《正弦定理》教学设计
教学内容解析
《正弦定理》是高中课程数学人教B版（必修五）的课程，本节课是第一章解三角形的第一节，内容主要包括：1.通过由特殊到一般的思想方法带领学生探究任意三角形的边角关系，之后得出正弦定理2.正弦定理的应用，包括三个方面：(1).已知两边及其一边的对角解三角形2.已知两角及任一边解三角形3.正弦定理实现了边角的互化。在教学过程中，由引例1引入探究直角三角形边角关系，在引例2中将实际问题转化为数学模型，发现问题从而引入探究一般三角形的边角关系，进而通过“猜想—验证”的思路得出正弦定理，让学生充分的感受到了数学知识相互紧密练习的特点，以及培养了学生严密的逻辑思维。
本节课研究任意三角形之间数量关系，是初中解直角三角形内容的拓展和延续，也是高一《三角函数》与《平面向量》在解三角形中的应用。它将三角形的边和角有机的联系起来，实现了“边”与“角”的互化，从而使“三角”和“几何”产生联系，是用代数法解决几何问题的典型内容之一，同时也是解决测量问题的重要方法。正弦定理的推导方法也为余弦定理的推导设下伏笔，具有承上启下的重要地位。
学生学情分析
本节课在高一年级下半学期，学生已经适应了从初中到高中的学习节奏的变化，有一定的发现问题.解决问题的能力，尤其对于转化.建模的思想学生已经有所体会，加之我所任教学校是一所重点高中，大多数学生的基础是比较好的，这都为本节课内容的探究提供了良好的知识和思维基础。但是对于学生来说，在正弦定理的探究方面，还需要教师的有效引导。
三．教学目标
1.知识与技能
（1）掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形
（2）利用正弦定理实现边角转化
2.过程与方法
（1）通过将一般三角形转化成特殊三角形的方法，使学生在已有知识的基础上，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系，即正弦定理
（2）探究的过程中认识到转化这个思想的重要性
情感.态度与价值观
（1）通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识
（2）通过将一般转化为特殊的方法使学生体会逻辑推理的数学核心素养，逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度 ，学习用数学的思维方式解决问题
教学重点：掌握正弦定理内容，正弦定理应用的三个方面
教学难点：正弦定理的证明
教学方法
对于直角三角形的边角关系学生非常熟悉，这为本节课的学习打下良好的基础，在教学过程当中，以发现问题——解决问题为主线路，通过学生的猜想——验证，从特殊到一般的思想方法引导学生生成定理，之后分析定理，应用定理，让学生体验数学知识的内在联系，增强学生有特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生的探索精神和创新意识。教师为学生创设问题情境，鼓励学生合作探究。
教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
引例1：在一个阳光明媚的早晨，一缕阳光照在枝繁叶茂的大树上，在地上投下了长长的影子,假设树为AC,影子为BC,一束阳光与地面所成的角度是30°,BC长10米,可以计算出树的高度吗？
学生：AC=
老师：说一说为什么算那么快？
学生：直角三角形
老师：对于直角三角形我们是非常熟悉的，接下来，我们研究一下直角三角形的边角关系
回顾直角三角形的边角关系
直角三角形有什么边角关系？
中
a,b,c分别是,,所对的边，如图,因此
，为了寻求形式上的统一，由于,
因此：
为研究一般三角形的边角关系作准备
引例2.一艘轮船A在灯塔C的南偏西15°的方向，按照北偏西30的方向以每小时30海里的速度航行。经过20分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，求灯塔和轮船原来的距离
引导学生理清题意，画出图形，之后抽象成数学模型
学生：利用构造三角形的方法可以求出
为研究一般三角形的边角关系做铺垫
能不能不通过构造三角形，直接得出AC的长？这就需要我们研究一般三角形的边角关系
学生思考讨论
锐角三角形
过C作CD AB,交AB于D点
同理
钝角三角形
过C作CD AB,交AB反向延长线于D点
我们通过构造直角三角形的方法，将一般三角形转化成了特殊三角形，这个做法与古人不谋而合，清4著名数学家梅文鼎先生在《平三角举要》中这样写道：锐角三角形分为两勾股，钝角须补成勾股，与我们的做法如出一辙，这也说明：转化的思想从古至今都是解决数学问题的重要思想
引入梅文鼎先生的著作为了深化转化的思想
正弦定理
在任意三角形中，各边长和它所对角的正弦值之比相等
即
正弦定理能解决什么问题？
①已知两边及对角求解三角形
①已知两边及对角求解三角形
正弦定理推导出后：
引导学生分析定理
例1解决引例中的航海问题
引导学生利用正弦定理解决已知两角及任一边解三角形的问题
巩固第一种应用
例2 已知,求
展示学生答案
引导学生总结方法：
已知两边及其对角时要注意：
方法①内角和为180°
方法②大角对大边
变式已知 中下列条件，求
(1)
(2)
(3)
提问学生 ，教师展示答案
例3如图，在 中， 角A 的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：
其实啊，正弦定理还可以更快的证明初中平面几何中的一个重要定理
与学生交流，找同学分享初中的解法，进一步说明正弦定理会更快的解决
巩固正弦定理的应用
例4在中，
求
引导学生利用正弦定理实现边角转化
进一步深化对正弦定理的认识和理解
变式 2在中
巩固练习边角转化
反馈矫正
课堂小结
知识方面：
正弦定理
正弦定理的应用
思想方法
1）应用了特殊到一般的思想方法即逻辑推理核心素养
实际问题转化到了数学问题 即数学建模核心素养
数学运算的核心素养
课后作业
1.整理证明正弦定理的两个方法，寻求更多的证明方法
2.做课本第5页课后练习A,B(必做 )， 第6页习题1-1A 7题选做
深化巩固，进一步培养自主探究能力
课后测试
在中，若，求c的值
在 中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=
课件18张PPT。1.1.1正弦定理高一数学人教B版必修五在一个阳光明媚的早晨，一缕阳光照在枝繁叶茂的大树上，在地上投下了长长的影子,
假设树为AC,影子为BC,一束阳光与地面所成的角度是 ,BC长10米,可以算出树的高度吗？新课引入直角三角形的边角关系：由于即即在 中 新课引入一艘轮船A在灯塔C的南偏西 的方向，按照北偏西 的方向以每小时30海里的速度航行。经过20分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东 的方向，求灯塔和轮船原来的距离A东北BC10ABC10??┐D60°在一般的三角形中 是否成立？ 探究1：探索新知锐角三角形AB钝角三角形AB过C作CD AB,交AB于D点同理：D┐钝角三角形AB过C作CD AB,交AB反向延长线于D点同理：D┐一般三角形直角三角形正弦定理 在任意三角形中，各边长和它所对角的正弦值之比相等即新知生成②已知两角及一边求解三角形通过正弦定理我们可以解决：
①已知两边及对角求解三角形ABCc=10b=?例1：解决引例中的航海问题：（两角及其一边）解三角形：
一般地，我们把三角形中的三个角及其对边分别叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程就叫做解三角形解：例2已知 中, ,求 或由正弦定理可得：当 时(符合题意)(不符合题意，舍去)当 时因此：已知两边及其对角时要注意：验证:内角和为大角对大边（两边及其一边对角）方法①方法②(1)(2)(3)变式2已知 中下列条件，求 (1)(2)或无解(3)或无解 如图，在 中， 的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：例3┌E┐F分析：只需要证明 即可在 中，由正弦定理得：在 中，由正弦定理得：例4(1)在 中,求 的值由正弦定理可知：解：利用正弦定理实现边角关系的转化设 在锐角 中,角A.B所对的边分别是 若 , 则A= 解：由正弦定理：原式化为：由于在 中, 或结合 为锐角三角形, 变式课堂小结1.证明正弦定理：(3)数学运算的核心素养;2.正弦定理的应用
二：思想方法：一：知识方面：(2)实际问题转化到了数学问题 .数学建模的核心素养(1)应用了特殊到一般的思想方法逻辑推理核心素养课后作业1.整理证明正弦定理的两个方法，寻求更多的证明方法
2.做课本 课后练习A,B(必做 )， 习题1-1A 7题选做谢 谢！
