两角和与差的余弦
【设计理念】
作为一节公式教学课，教师本着尊重学生已有的知识经验，通过设计学生自主探究活动，让学生经历知识的发生发展过程，体会蕴含其中的思想方法，不断提高实践能力，提升创新意识，认识数学的科学价值和审美价值。
【教学目标】
通过探究两角差余弦公式的构成要素与结构特征,提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.
通过分析两角和与差的余弦公式的推导过程,培养学生逻辑推理 、直观想象、数学运算等方面的核心素养。
通过运用公式，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑推理、数学运算等数学核心素养。
用问题引路，让学生体验猜想-验证-证明-应用的过程。通过自主学习、小组合作等形式讨论分析解决问题，树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。
【教学重难点】
教学重点：两角差的余弦公式的发现和向量法的证明。
教学难点：两角差的余弦公式的向量法证明及其应用。
【教学过程】
（课前预备知识）
角α的终边与单位圆交点P的坐标____________.
数量积公式：
定义：____________cos=___________.
坐标表示：=（a,b）,=(c,d),则=__________.
（一）问题情境
1.问题引入 通过观察水墨画墨梅，从构图角度对其进行数学抽象，发现是由若干个相等的15°角组成。如何不用计算器求出cos15°就是本节课即将解决的问题。
设计立意 画上的提诗为元代书画家王冕的《墨梅》，此诗的后两句：“不要人夸好颜色，只留清气满乾坤。”被习京平总书记在一次中外记者见面会上援引，彰显了一个大国在富强之后的民族自信。此处以墨梅为背景引入，渗透了国家层面的富强、民主的核心主义价值观，融入优秀传统文化教育。
将水墨画的构图从数学角度发现15°角，培养学生数学抽象的核心素养，让学生认识数学的文化价值和审美价值。
2.猜想cos15°=
问题1 cos15°可以转化为哪两个特殊角差的余弦？
问题2 猜想cos15°可以怎样表示，这个猜想成立吗？
设计立意 引导学生从变换的角度提出所要探究的问题，但类比乘法分配率得出的结论不成立，让学生意识到三角函数与后面的角之间不是相乘关系。
（二）探究cos(α-β)的结构形式
1.猜想cos(α-β)的构成要素：
学生活动：（观察发现）如果把两角差余弦公式中的β替换成,其结果与角的正弦有关，猜想cos(α-β)的结果与还有β正弦还有余弦有关。
设计立意 引导学生从联系的角度研究两角差余弦公式的特殊情况——诱导公式的形式来猜想两角差余弦公式的构成要素，引导学生进行从特殊到一般的归纳推理，培养学生数据分析、逻辑推理的数学素养。
2.猜想cos(α-β)的结构形式
学生活动：从取两组特殊角时满足的结构形式猜想得出两角和与差的余弦公式的结构形式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
设计立意 对两组特殊数据满足的关系进行分析，得出公式的结构形式，引导学生进行从特殊到一般的归纳推理，培养学生数据分析、逻辑推理的数学素养。
3. 验证cos(α-β)的结构形式
设计立意 通过一个计算程序来验证此猜想对于角取一般值时也成立，将课堂教学与信息技术融合，提高学生的实践能力。
(三)探究证明
确立证明方法
问题1 从代两组特殊角以及两组非特殊角说明了此公式成立，是否能说明对于任意角都成立？
设计立意 培养学生发现问题和敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。
问题2 观察cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，你会产生怎样的联想，受到怎样的启发？
设计立意 通过让学生观察思考，联想到向量数量积的坐标表示，并且两个点应该是角α、β的终边与单位圆的交点。从而确立用向量的方法来证明两角差的余弦公式。培养学生分析问题的能力。
2.推导思路（向量法）
问题1 已知角α、β，其终边与单位圆的交点为A、B，那么A、B的坐标是什么？
问题2 若, 则cosθ如何表示？
问题3 α、β与θ有什么关系？
问题4 cos(α-β)与cosθ有什么关系？
问题5 请探究两角和的余弦cos(α+β)的表达式。
设计立意 通过将向量法证明两角差余弦公式的思维过程用问题串的形式展现，培养学生增强逻辑推理的数学核心素养。让学生通过自主学习、小组合作的方式解决问题。问题三是难点，通过在画图时问学生哪条终边是α的，哪条终边是β的来强化三个角之间的关系应有两种情况：一种是α=β+θ+2kπ, 另一种是β=α+θ+2kπ，kz.培养学生的直观想象能力，以及分析问题和解决问题的能力。
3.写出证明过程。
证明：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
设计立意 将思维过程写成严谨的证明步骤，培养学生良好的数学学习习惯。
4.总结公式的结构特征
问题6两和角与差的余弦公式在结构上的特征：
（观察、总结：余余正正异）
设计立意 培养学生数学抽象的核心素养。
问题7 任意角的含义是什么？
（角α、β可以赋成具体数值、变量、代数式。）
设计立意 为下面的公式运用作好铺垫，让学生体会两角和与差余弦公式的意义。
（四）公式运用
设计立意 小试牛刀这个环节通过对公式进行直接运用解决了本节课引入时提出的cos15°=？的问题，不断提升解决问题的能力。
例1 求值：
（1）
设计立意 （1）和（2）是 逆用公式，（3） 是正用公式。意在培养学生数学运算的能力。
例2 已知锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=-, 求cosβ的值。
设计立意 学生会有两种思路:将已知中cos(α+β)用公式展开，或者将已知中的α、α+β看成两个整体，用它们的差表示未知角β。选分别用这两种不同方法的同学上黑板展示，然后让学生点评比较两种方法，从而得出解决此类问题的最优方案。提升学生分析问题和解决问题的能力。
应用评价
课后作业：
1.基础性作业
校本学案第三章第一节。
2.发展性作业：
试用不同的方法证明两角和与差的余弦公式,并思考如何用cos(α±β)的公式来探究α±β的其他三角函数公式，以小组为单位完成小论文。
设计立意 面向全体学生设置分层作业，着眼于学生的全面发展，满足不同层次学生发展的需要，促进学生个性发展。
回顾小结
1.学到了什么知识？
2.怎么获得这些知识？
3.你有什么感悟与体会？
师：迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。
——祖冲之
这句话的意思是：天体运行的规律，不是什么神怪的、不可捉摸的东西，有形体可供观察检验，有数据可以计算推测。希望同学们能学好数学、用好数学，为探索美丽的世界，做好充分的准备。
设计立意 通过小结回顾，让学生进一步熟知公式发现的过程和所采用的思想方法。融入优秀传统文化，提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。
课件18张PPT。两角和与差的余弦公式
数学学科
高中一年级必修四人教B版
问题情境cos15°=? 猜想cos150可以怎样表示，这个猜想成立吗？猜想如何计算cos15 °？cos15°=cos(45°-30°）=cos45°- cos30°猜想cos(α-β)的构成要素分析下表中的数据，你有什么发现？猜想cos(α-β)的结构形式从表中可以发现:猜想cos(α-β)的结构形式
对任意角 有：猜想？验证猜想证明猜想证明：?yxo-1问题1 α、β的终边与单位圆的交点A、B的坐标是什么？公式推导（向量法）问题3α-β与θ有什么关系？问题4 cos(α-β)与cosθ有什么关系？yxo-1Q3公式推导（向量法）oQ2x问题3问题5 cos(α+β)的表达式?α-β与θ有什么关系？问题4 cos(α-β)与cosθ有什么关系？问题6 两角和与差的余弦公式在结构上有什么特点？ 余余正正,符号异对于任意角α、β 都成立： 小试牛刀 公式中α、β 分别赋特殊角30°、60°、45°，你能求哪些非特殊角的余弦值呢？
公式运用。例1例1公式运用 例2公式运用?1.cos 215 °–sin215 °= _____2.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则△ABC是（ ）.
(A)直角三角形 (B)钝角三角形
(C)锐角三角形 (D)不确定.当堂检测2.发展性作业：
试用不同的方法证明两角和与差的余弦公式,并思考如何用cos(α±β)的公式来探究α±β的其他三角函数公式，以小组为单位完成小论文。课后作业1.基础性作业：
校本学案第三章第一节。回顾小结1.学到了什么知识？
2.怎么获得这些知识？
3.你有什么感悟与体会？迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。
——祖冲之
天体运行的规律，不是什么神怪的、不可捉摸的东西，有形体可供观察检验，有数据可以计算推测。
