探究单摆振动的周期练习
1．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为（ ）。
A．T1＞T2 B．T1＝T2
C．T1＜T2 D．无法确定
2．惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是（ ）。
A．当摆钟不准时需要调整圆盘位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移
D．把摆钟从武汉移到北京应使圆盘沿摆杆上移
3．下列说法正确的是（ ）。
A．单摆的等时性是由惠更斯首先发现的
B．单摆的等时性是由伽俐略首先发现的
C．惠更斯首先将单摆的等时性用于计时
D．伽俐略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时
4．在用单摆测重力加速度的实验中，为减小误差（ ）。
A．应选质量小的球做摆球
B．先使摆球摆动几次，从摆球经过平衡位置时开始计时
C．用秒表测出30～50次全振动的时间，计算出平均周期
D．在测量摆线长度时，对安装好的单摆，要用力拉紧摆线后再测量
5．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议。其中对提高测量结果精确度有利的是（ ）。
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
6．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟（ ）。
A．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长
B．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长
C．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长
D．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长
7．某高楼顶上吊下一根长绳，现给你一块停表，一把只有几米长的米尺，一个带钩的重球，你能测出楼高吗？
8．（1）某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请你判断是否恰当（选填“是”或“否”）。
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放：______；
②在摆球经过最低点时启动秒表计时：______；
③用秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期：______。
（2）该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表。用螺旋测微器测量其中一个摆球直径的示数如图所示，该球的直径为______ mm。根据表中数据可以初步判断单摆周期随______的增大而增大。
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
999.3
16.5
2.0
WWW.ziyuanku.com3
799.2
32.2
1.8
4
799.2
16.5
1.8
5
501.1
32.2
1.4
6
501.1
16.5
1.4
参考答案
1．答案：A 解析：弹簧振子的振动周期与重力加速度无关，仍为T1，单摆的振动周期随重力加速度的变大而减小。由于地球上的重力加速度较大，单摆的振动周期变小。
2．答案：AC 解析：调整圆盘位置可改变摆长，从而起到调整周期的作用。若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长即下移圆盘，由冬季变为夏季，摆杆变长，应上移圆盘，从武汉到北京，g值变大周期变小，应增加摆长。综上所述，选项A、C正确。
3．答案：BC 解析：本题考查物理学史问题，单摆的等时性最早是由伽俐略发现的，而惠更斯首先将单摆的等时性用于计时，故B、C项正确。
4．答案：BC 解析：摆球应选择质量大、体积小的球，A错。开始计时的起点应从平衡位置开始，此位置速度大，位置确定，误差小，B对。计算周期时，应用多个周期的累加时间，测时间时误差小，C对。测摆长时应使摆线自然下垂，不能拉紧，这样测得摆长变长，误差大，D错。
5．答案：AC 解析：本题从单摆模型的理想化条件和数据测量方法两方面考查学生对影响实验精确度的因素的分析能力。单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度。适当加大摆线长度，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，且周期大，便于观察，A对。摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，B错。摆角应小于5°，C对。本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，D错。故对提高测量结果精确度有利的是A、C。
6．答案：B 解析：北京的重力加速度大于赤道处的重力加速度，所以由单摆的周期公式知，将摆钟从北京移到赤道上，重力加速度减小，周期增大，即摆钟变慢，C、D错误。要使其恢复原周期，应缩短摆长，A错，B正确。
7．答案：答案：见解析
解析：（1）设绳长为l1，将重球挂在绳的下端点，让其摆动，测得周期T1（实际上需测得n次全振动所需的时间t，则）。
（2）将重球挂在绳的另一位置，这时的摆长为l2，用米尺量出摆长的变化Δl，则Δl＝l1－l2，让摆球摆动，测得此时的周期T2。
（3）根据可知，所以。
由此可测得绳长，即测得楼高为。
8．答案：（1）①是 ②是 ③否
（2）20.685（20.683～20.687） 摆长
解析：（1）①单摆在最大摆角不超过5°时可看做是简谐运动。②摆球经过最低点时速度最大，滞留的时间最短，计时误差最小。③为减小测量周期时的误差，应测单摆完成30～50次全振动所用的时间来求出周期。
（2）螺旋测微器上的固定刻度读数为20.5 mm，可动部分的读数约为18.5，则测量结果为20.5 mm＋18.5×0.01 mm＝20.685 mm。分析表中数据可以看出，摆长不变时周期不变，摆长变短时周期变短。
1.3 探究单摆振动的周期
教 学 目 标
知 识 脉 络
1.知道什么是单摆，了解单摆的构成.
2.掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动.(重点、难点)
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算.(重点)
单 摆 的 运 动 特 点 和 步 调 问 题
1.惠更斯的科学抽象——单摆
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量且球的直径比细线的长度小得多的装置叫单摆.单摆是一种理想化的物理模型，如图1-3-1所示，由于摆球释放后的运动是往复运动，故单摆运动是机械振动.
图1-3-1
2.探究单摆运动的特点
在不考虑空气阻力的情况下，摆球受重力和绳子拉力的作用，将重力沿切向和法向正交分解，在法向上绳子拉力和重力分力的合力充当摆球沿圆弧运动的向心力，重力的切向分力充当摆球的回复力.
3.研究振动中的步调问题
两个完全相同的单摆，同时将摆球拉离平衡位置放开，两个摆球除了振幅可能不同外，周期相同，同时经过平衡位置，同时到达最大位移处，两个单摆的摆动是步调一致的；若先放开一个，后释放另一个，两个摆球的周期虽然相同，但不同时刻到达最大位移处或平衡位置，我们就说两个单摆步调不同步.步调相同的就叫做同相，步调不同的叫做不同相，步调完全相反的叫做反相.
4.研究振动的步调问题
(1)“相”(或“相位”、“位相”、“周相”)
描述振动步调的物理量.两个单摆振动步调一致，我们称为同相.
两个单摆振动步调不一致，就说它们存在着相差，两个单摆振动步调正好相反，叫做反相.
(2)相差
它是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异.
1.实际的摆的摆动都可以看作是简谐运动.(×)
2.单摆回复力的方向总是指向悬挂位置.(×)
3.单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的.(√)
摆球经过平衡位置时，合外力是否为零？摆球到达最大位移处，v＝0，加速度是否等于0?
【提示】 单摆摆动中平衡位置不是平衡状态，有向心力和向心加速度，回复力为零，合外力不为零.最大位移处速度等于零，但不是静止状态.一般单摆回复力不是摆球所受合外力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，所以加速度不一定等于零.
1.运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力.
(2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力.
2.摆球的受力
(1)任意位置
如图1-3-2所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用提供摆球以O为中心做往复运动的回复力.
图1-3-2
(2)平衡位置
摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符.
(3)单摆的简谐运动
在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝，
G1＝Gsin θ＝x，
G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力
F回＝G1＝－x＝－kx(k＝).
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动.
1.振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是( )
A.回复力为零
B.合力不为零，方向指向悬点
C.合力不为零，方向沿轨迹的切线
D.回复力为零，合力也为零
E.加速度不为零，方向指向悬点
【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心).
【答案】 ABE
2.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A.摆球受重力、摆线的张力作用
B.摆球的回复力最大时，向心力为零
C.摆球的回复力为零时，向心力最大
D.摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
E.摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
【解析】 单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对.
【答案】 ABC
3.下列关于单摆的说法，正确的是( )
A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为零
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
E.摆球在最高点时的回复力等于摆球所受的合力
【解析】 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确.摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误、C正确.摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误.在最高点时、向心力为零，合力等于回复力，E正确.
【答案】 ACE
对于单摆的两点说明
1.所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置.实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡.
2.回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力.
探 究 单 摆 的 周 期
1.单摆的周期跟哪些因素有关系
不同的单摆周期不同，单摆的周期与哪些因素有关？通过实验探究得知单摆做简谐运动的周期跟摆长有关，跟振幅和摆球的质量无关.
2.单摆的周期公式
T＝2π，是荷兰物理学家惠更斯推出的.
式中的l表示摆长，g表示当地的重力加速度.
1.单摆的振幅越大周期越大.(×)
2.单摆的周期与摆球的质量无关.(√)
3.摆长应是从悬点到摆球球心的距离.(√)
1.由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
【提示】 不是.摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π决定，与摆球的质量无关.
2.把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
【提示】 两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2π知，应增大摆长，才能使周期不变.
1.摆长l的确定
实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径.
2.重力加速度g的变化
(1)公式中的g由单摆所在地空间位置决定
由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.
(2)g还由单摆系统的运动状态决定
如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a.
(3)g还由单摆所处的物理环境决定
如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题.
4.如图1-3-3所示是一个单摆(摆角θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )
图1-3-3
A.把摆球的质量增加一倍，其周期不变
B.摆球的振幅变小时，周期也变小
C.此摆由O→B运动的时间为
D.摆球由B→O时，动能向势能转化
E.摆球由O→C时，动能向势能转化
【解析】 单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球由B→O时，势能转化为动能，O→C时动能转化势能，D错误，E正确.
【答案】 ACE
5.如图1-3-4所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动).让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________.
图1-3-4
【解析】 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(l＋l)，周期T＝2π.
【答案】 2π 2π
6.如图1-3-5所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期.
图1-3-5
【解析】 单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π.
【答案】 2π
确定单摆周期的方法
1.明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件.
2.运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间.
3.单摆振动周期改变的途径：
(1)改变单摆的摆长；
(2)改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重).
4.明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系.
用 单 摆 测 重 力 加 速 度
1.实验目的
利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解.
2.实验原理
单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T＝2π，可得g＝.据此，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度.
3.实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺.
4.实验步骤
(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆.
(2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂.
(3)用刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测出摆球直径d，然后计算出悬点到球心的距离l＝l′＋即为摆长.
(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角小于5°，再释放小球.当摆球摆动稳定以后，在最低点位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，然后求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期.
(5)改变摆长，重做几次.
(6)根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度；求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值.
(7)将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，如有误差，分析产生误差的原因.
5.数据处理
(1)公式法：根据公式g＝，将每次实验的l、n、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值.
(2)图像法：作出T2-l图像，由T2＝可知T2-l图线是一条过原点的直线，其斜率k＝，求出k，可得g＝.
6.注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数.
(2)摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变.
(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当做摆长.
(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响.
(5)摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°)，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π就不再适用.
(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆.
(7)要从平衡位置计时，不要从摆球到达最高点时开始计时.
(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记.
7.误差分析
(1)本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、线是否符合要求；振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等等.
(2)本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上.要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数.为了减小偶数误差，进行多次测量后取平均值.
(3)本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.
7.在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A.适当加长摆线
B.质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D.当单摆经过最高位置开始计时
E.当单摆经过平衡位置时开始计时，且测量30～50次全振动的时间
【解析】 单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度.适当加长摆线，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观察，A对；摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球影响越大，B错；摆角应小于5°，C对；本实验采用累积法测量周期，且从球过平衡位置时开始计时，D错，E正确.
【答案】 ACE
8.(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，应选用的器材为________.
A.1 m长的细线 B.1 m长的粗线
C.10 cm长的细线 D.泡沫塑料小球
E.小铁球 F.秒表
G.时钟 H.厘米刻度尺
I.毫米刻度尺 J.游标卡尺
(2)在该实验中，单摆的摆角φ应________，从摆球经过________开始计时，测出n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测出摆线长为L，用游标卡尺测出摆球的直径为d.用上述物理量的符号写出测出的重力加速度的一般表达式为g＝________.
【解析】 (1)做摆长的细线要用不易伸长的细线，一般不应短于1米，选A；小球应是密度较大，直径较小的金属球，选E；计时仪器宜选用秒表F；测摆长应选用毫米刻度尺I，用游标卡尺测摆球的直径.
(2)根据单摆做简谐运动的条件知φ＜5°；因平衡位置易判断，且经平衡位置时速度大，用时少，误差小，所以从平衡位置开始计时.
根据T＝2π，又T＝，l＝L＋
得g＝.
【答案】 (1)AEFIJ (2)小于5° 平衡位置
用单摆测定重力加速度应注意的问题
1.实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球.
2.单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.
3.测摆长l时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径.
4.应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数.
5.适当增加测量的全振动次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可.
