《利用导数判断函数的单调性》教学设计
【课题】利用导数判断函数的单调性
【教材】人民教育出版社《数学》选修2-2
【教学目标】
1、知识与技能
（1）探索函数的单调性与导数的关系
（2）会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
2、过程与方法
（1）通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法
（2）通过利用导数研究单调性问题的研究过程，培养学生的观察、分析、概括的能力，渗透数形结合思想、转化思想。
3、情感、态度与价值观
通过用导数方法研究函数性质的教学过程，让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯，认识不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值。
【教学重点】利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间
【教学难点】 探索导数与函数单调性的关系
【教学方法】启发探究式教学
【课时安排】 1 课时
【教学过程设计】
情境：2018年3月9日的世界跳水系列赛（北京站）在水立方举行，中国组合张家齐、掌敏洁获得女子双人10米跳台冠军（展示跳水动图）。跳水比赛精彩纷呈，随着运动员纵身一跳，一道优美的弧线呈现在我们眼前.
问题1：跳水运动员的运动轨迹是什么？
问题2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？
复习回顾 引发思考
1、函数单调性的定义是什么？
（1）函数在给定区间D上，满足对于任意的则f(x)在D上是 函数（填增或减）；
若函数是增函数， 号(填同或异），从而有 0，即函数值的改变量与自变量改变量的比值 0.
这表明，导数大于0和函数单调递增之间存在着密切联系。
（2）函数在给定区间D上，满足对于任意的
则f(x)在D上是 函数（填增或减）；
若函数是减函数， 号(填同或异），从而有 0，即函数值的改变量与自变量改变量的比值 0.
这表明，导数小于0和函数单调递减之间存在着密切联系。
2、思考：函数的单调性与导数有什么关系？
设计意图：注意到知识的联系，尝试在学生原有认知的基础上建立新知，通过回顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限趋近于的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，这个过程由浅入深，层层深入，合乎学生的逻辑思维.
二、自主探究 发现规律
1、从“数”的角度探究：函数的单调性与导函数正负的关系
情境：高台跳水
考察运动员在区间（0，ｂ）的运动情况：
运动员从起跳到最高点，其竖直向上的瞬时速度 0，即，在区间， 0，函数h=h(t)是 函数，
运动员从最高点到入水，其竖直向上的瞬时速度 0，即，在区间， 0，函数h=h(t)是 函数。
【设计意图】本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以这里利用生活中的常见问题转化为瞬时速度与函数增减之间的联系，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念.
2、从“形”的角度探究：函数的单调性与导函数正负的关系
观察下面三个函数的图象，探究函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
区间
（1）独立验证，合作释疑，展示成果；
（2）教师从学生中选择具有代表性的进行汇报展示.
【设计意图】从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．
三、深入思考 形成概念
小结：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
1、如果在内，f’(x)>0，则f(x)在此区间是 ，为f(x)的单调 区间;
2、如果在内，f’(x)<0，则f(x)在此区间是 ，为f(x)的单调 区间.
思考：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)是什么函数？
学以致用 深化认识
例1 确定函数在哪个区间内是增函数，在哪个区间内是减函数．
【教学预设】对于学生熟悉的二次函数，学生可能首先想到的是图象直观，然后再提出根据定义、利用导数，在合作学习中比较各种方法.
法一：图象直观
法二：根据定义
法三：利用导数
解：，
令，即解得．
因此，函数在区间上是增函数；
令，即解得．
因此，函数在区间上是减函数．
【设计意图】例题1，由“形”到“数”的解决了该函数的单调性问题，加强了对结论的应用和理解；本题的解决说明，判定函数单调性增加了一种新的方法——导数法.
总结：用导数法确定函数的单调性的步骤是：
（1）求出函数的导函数f ′(x)
（2）求解不等式f ′(x)>0，再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f ′(x)<0，再根据解集写出单调递减区间
找出函数的单调区间.
【教学预设】对于求解该三次函数的单调性而言，学生对于其图象不太熟悉，定义法对代数变形的要求比较高、较繁琐，所以选择导数法比较方便．
解：(1)f′(x)＝3x2－8x＋1.
令3x2－8x＋1>0，
解此不等式，得 x<或x>.
因此，区间和为f(x)的单调增区间．
令3x2－8x＋1<0，
解此不等式，得 因此，区间为f(x)的单调减区间．
注意：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.
【设计意图】例题2体现了导数法研究函数单调性的优越性：当图象直观、根据定义不太容易解决函数单调性时，还可以利用导数来解决．
练习1：试确定函数的单调区间
注意：研究函数单调性问题“定义域优先”．
练习2：已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（ ）
A B
C D
【设计意图】本题主要考察从图象上感知原函数与导函数的关系，加深巩固导函数图象的正负与原函数增减之间的关系.
五、回顾整理 课堂提升
通过这节课的研究，你学会了什么知识，能解决了哪些问题？你的收获与感受是什么呢？
六、自主作业 拓展训练
必做题：课本P27 第2、3、4题．
选做题：1、结合所学知识，举几个函数实例，比较定义法、图象法、导数法求单调区间的特点.
2、思考：若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
