2.1 机械波的描述
教 学 目 标
知 识 脉 络
1.知道什么是简谐波.
2.理解波的图像及其物理意义.(重点)
3.知道波的图像与振动图像的联系与区别.(难点)
4.掌握波的图像的简单应用.(重点)
5.理解周期、频率、波长、波速的概念以及它们之间的关系.(重点、难点)
用图像描述机械波
1.波的图像的作法
(1)建立坐标系：以横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示该时刻各质点偏离平衡位置的位移.
(2)选取正方向：规定位移的方向向上为正值，向下为负值.
(3)描点：把该时刻各质点的位置画在坐标系里.
(4)连线：用平滑曲线将各点连接起来就得到了这一时刻横波的图像.
2.横波图像的物理意义：波的图像直观地表明了离波源不同距离的各振动质点在某一时刻的位置.
3.横波图像的特点：简谐波的波形为正余弦曲线.
1.波的图像描述了某一时刻各质点离开平衡位置的位移情况.(√)
2.只有横波才能画出波的图像.(×)
3.简谐波中各质点做的是简谐运动.(√)
1.为什么不同时刻波的图像的形状不同？
【提示】 在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，故不同时刻波的图像不同.
2.波中各质点做简谐运动，是一种变加速运动，是否说明波的传播也是变加速运动？
【提示】 不能.虽然质点做变加速运动，但是在均匀介质中波是匀速传播的.
1.对波的图像的理解
(1)波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”.可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”.
(2)简谐波的图像是正(余)弦曲线，是最简单的一种波，各个质点振动的最大位移都相等，介质中有正弦波传播时，介质中的质点做简谐运动.
(3)横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向的最大值，波谷即为图像中的位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置.
2.波的图像的周期性
在波的传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动，不同时刻质点的位移不同，则不同时刻波的图像不同.质点的振动位移做周期性变化，则波的图像也做周期性变化.经过一个周期，波的图像复原一次.
3.波的传播方向的双向性
如果只知道波沿x轴传播，则有可能沿x轴正向传播，也可能沿x轴负向传播，具有双向性.
4.由波的图像获得的三点信息
(1)可以直接看出在该时刻沿传播方向上各个质点的位移.
(2)可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A.
(3)若已知该波的传播方向，可以确定各质点的振动方向；或已知某质点的振动方向，可以确定该波的传播方向.
5.振动图像和波的图像
振动图像和波的图像从图形上看好像没有什么区别，但实际上它们有本质的区别.
(1)物理意义不同：振动图像表示同一质点在不同时刻的位移；波的图像表示介质中的各个质点在同一时刻的位移.
(2)图像的横坐标的单位不同：振动图像的横坐标表示时间；波的图像的横坐标表示距离.
1.如图2-2-1为某一向右传播的横波在某时刻的波形图，则下列叙述中正确的是( )
图2-2-1
A.经过半个周期，质点C将运动到E点处
B.M点和P点的振动情况时刻相同
C.A点比F点先到达最低位置
D.B点和D点的振动步调相反
E.A点和E点的振动步调相同
【解析】 各质点在各自的平衡位置附近振动，不随波迁移，所以经过半个周期，质点C会回到平衡位置，但不会运动到E点，A错误；M点和P点的振动情况不会相同，B错误；波向右传播，F点和A点都向上振动，A点先到达最低位置，C正确；B点和D点的振动相差半个周期，所以振动步调相反，A点和E点振动相差1个周期，所以振动步调相同，D、E正确.
【答案】 CDE
2.如图2-2-2所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中正确的是( )
图2-2-2
A.波向左传播
B.波向右传播
C.质点B向上振动
D.质点B向下振动
E.质点C向上振动
【解析】 解决该题有许多方法，现用“上下坡”法判断，若波向右传播，则A质点处于下坡，应向上振动，由此可知波向左传播.同理可判断C向上振动，B向上振动.
【答案】 ACE
3.如图2-2-3所示为一列简谐波在某一时刻的波形，求：
图2-2-3
(1)该波的振幅；
(2)已知该波向右传播，说明A、B、C、D各质点的振动方向.
【解析】 (1)波的图像上纵坐标的最大值就是波的振幅，所以该波的振幅是5 cm.(2)由于该波向右传播，所以在A、B、C、D各质点左侧各选一邻近的参考点A′、B′、C′、D′，利用带动法可以判断出B的振动方向向上，A、C、D的振动方向向下.
【答案】 (1)5 cm (2)见解析
波的传播方向与质点振动方向互判四法
1.上下坡法
沿波的传播方向看，“上坡”的点向下运动，“下坡”的点向上运动，简称“上坡下，下坡上”，如图2-2-4所示.
图2-2-4
2.带动法
原理：先振动的质点带动邻近的后振动的质点.
方法：在质点P靠近波源一方附近的图像上另找一点P′，若P′在P上方，则P向上运动，若P′在P下方，则P向下运动，如图2-2-5所示.
图2-2-5
3.微平移法
原理：波向前传播，波形也向前平移.
方法：作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，运动方向也就知道了，如图2-2-6甲所示.
图2-2-6
4.同侧法
质点的振动方向与波的传播方向在波的图像的同一侧.如图2-2-6乙所示，波向右传播.
用 频 率、 波 长 描 述 机 械 波
1.周期(T)和频率(f)
(1)决定因素：波的周期和频率由波源的周期和频率决定.
(2)周期与频率关系：周期T与频率f互为倒数，即f＝.
2.波长
在波动中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离叫做波长.用λ表示.
3.波长、频率与波速的关系
(1)波速：波传播的速度叫做波速，波在均匀介质中是匀速传播的.
(2)公式
波速、波长和周期的关系为v＝.
波速、波长和频率的关系为v＝λf.
(3)决定波长的因素：波长由介质和波源共同决定.
1.两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长.(×)
2.两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长.(×)
3.振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期.(√)
1.某时刻，两个相邻的、位移相等的质点间的距离等于波长吗？
【提示】 不一定.某时刻两质点位移相等，间距却不一定等于波长.
2.波在一个周期内传播的距离是一个波长，那么在一个周期内质点通过的路程是否为一个波长？为什么？
【提示】 不是.因为波在传播时，介质中的质点都在平衡位置附近振动，不随波的传播而迁移，一个周期内质点通过的路程为振幅的四倍，而不是一个波长.
1.关于波长的定义：“振动相位总是相同”和“相邻两质点”是波长定义的两个必要条件，缺一不可；在波的图像中，无论从什么位置开始，一个完整的正(余)弦曲线对应的水平距离为一个波长.
2.关于波长与周期：质点完成一次全振动，波向前传播一个波长，即波在一个周期内向前传播一个波长.可推知，质点振动周期，波向前传播波长；反之，相隔波长的两质点的振动的时间间隔是周期.并可依此类推.
3.对波速的理解
(1)机械波在介质中的传播速度由介质的性质决定，在不同的介质中，波速一般不同.
(2)波速的实质：波的传播速度即波形的平移速度.
(3)波速与振动速度
波速与质点的振动速度不同，波速是振动形式匀速向外传播的速度，始终沿传播方向；振动速度是指质点在平衡位置附近振动的速度，大小和方向都随时间做周期性变化.
(4)波从一种介质进入另外一种介质，波源没变，波的频率不会发生变化；介质的变化导致了波速和波长的改变.
4.波的空间周期性
(1)相隔距离为一个波长的整数倍的两质点，振动情况完全相同，且离开平衡位置的位移“总是”相等，振动速度大小和方向也“总是”相同，因而波长显示了波的空间周期性.
(2)相隔距离为半波长的奇数倍的两质点的振动情况完全相反，即在任何时刻它们的位移大小相等、方向相反，速度也是大小相等、方向相反，会同时一个在波峰、一个在波谷或同时从相反方向经过平衡位置.
4.如图2-2-7所示是一列简谐波在某一时刻的波形图像.下列说法中正确的是( )
图2-2-7
A.质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同的
B.质点B、F在振动过程中位移总是相同的
C.质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D.质点A、I在振动过程中位移总是相同的，它们的平衡位置间的距离是一个波长
E.C、E两质点的振动情况总是相反的
【解析】 从图像中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个质点的位移不总是相同，所以选项A错误.质点B、F是处在相邻的两个波峰的点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相等的，故选项B正确.质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，所以选项C正确.虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同的，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个质点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长)，所以选项D错误.C、E两质点相隔半个波长，选项E正确.
【答案】 BCE
5.关于波的周期，下列说法中正确的是( )
A.质点的振动周期就是波的周期
B.波的周期是由波源驱动力的周期决定的
C.波的周期与形成波的介质的密度有关
D.经历整数个周期波形图重复出现，只是波形向前移动了一段距离
E.经历整数个周期波形图重复出现，质点向沿波传播的方向前进整数个波长的距离
【解析】 波的周期是由质点振动的周期决定的，故A选项正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故B选项正确，C选项错误；D选项正是波的周期性的体现，故D正确.质点不随波迁移，E选项错误.故正确答案为A、B、D.
【答案】 ABD
6.一列简谐横波沿x轴正向传播，传到M点时波形如图2-2-8所示，再经0.6 s，N点开始振动，则该波的振幅A为________，频率f为________.
图2-2-8
【解析】 由图可知振幅A＝0.5 m.波从M传到N的过程，波速v＝＝ m/s＝10 m/s.由图可知λ＝4 m，所以T＝＝0.4 s，f＝＝2.5 Hz.
【答案】 0.5 m 2.5 Hz
求解波长、频率与波速问题的技巧
1.波速的决定因素：波在不同介质中波速不同，机械波的波速取决于介质，介质不同，波速不同，故从一种介质进入另一种介质时，波速变化.
2.频率的决定因素：波的频率f取决于波源，故波的频率始终不变，从一种介质进入另一种介质时，频率不变.
3.波长变化情况：根据v＝λf，当从一种介质进入到另一种介质，f不变，v变化，波长λ也随之变化.
自我小测
1如图所示的是一列简谐波在某一时刻的波形图像。下列说法中正确的是( )
A．质点A、C、E、G、I在振动过程中位移总是相同
B．质点B、F在振动过程中位移总是相同
C．质点D、H的平衡位置间的距离是一个波长
D．质点A、I在振动过程中位移总是相同，它们的平衡位置间的距离是一个波长
2关于波的周期，下列说法正确的是( )
A．质点的振动周期就是波源的周期
B．波的周期是由波源驱动力的频率决定的
C．波的周期与形成波的介质的密度有关
D．经历整数个周期波形图重复出现，只是波峰向前移动了一段距离
3在均匀的介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两个质点的距离均为a，如图甲所示。振动从质点1开始并向右传播，其振动初速度方向竖直向上，经过时间t前13个质点第一次形成的波形图如图乙所示，则该波的周期T、波速v分别是( )
A．T＝，v＝ B．T＝t，v＝
C．T＝t，v＝ D．T＝t，v＝
4如图所示，是一简谐横波在某一时刻的波形图，波沿x轴正方向传播，则图中a、b、c、d四个质点中，速度为正，加速度为负的是( )
A．a B．b
C．c D．d
5如图甲所示为一列简谐横波在t＝20 s时的波形图，图乙是这列波中P点的振动图像，那么该波的传播速度和传播方向是( )
A．v＝25 cm/s，向左传播
B．v＝50 cm/s，向左传播
C．v＝25 cm/s，向右传播
D．v＝50 cm/s，向右传播
6如图所示，位于介质Ⅰ和Ⅱ分界面上的波源S，产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波。若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2，则( )
A．f1＝2f2，v1＝v2
B．f1＝f2，v1＝0.5v2
C．f1＝f2，v1＝2v2
D．f1＝0.5f2，v1＝v2
7如图所示，一列横波沿x轴传播，实线和虚线分别是t1时刻和t2时刻波的图像。已知t2＝(t1＋) s，振动周期是0.5 s，则下列说法中正确的是( )
A．波向x轴正方向传播，传播距离是15 m
B．波向x轴负方向传播，传播距离是15 m
C．平衡位置为x＝3 m的质点在这段时间内通过的路程为1.0 m
D．平衡位置为x＝3 m的质点在这段时间内通过的路程为15 m
8如图是同一机械波在两种不同介质中传播的波动图像。从图中可以直接观察到发生变化的物理量是 ( )
A．波速 B．频率 C．周期 D．波长
9第一次测定铸铁中的声速是在巴黎用下面的方法进行的：在长为931 m的铸铁管的一端敲一下，在管的另一端用一只耳贴在管上的人听到两次响声。测得两次响声相隔2.5 s，已知当时空气中的声速为340 m/s，则实验测得铸铁中的声速为________ m/s。
10一列简谐横波沿x轴负方向传播，图(a)是t＝1 s时的波形图，图(b)是波中某振动质点位移随时间变化的振动图线(两图用同一时间起点)。可供选择的选项有
A．x＝0处的质点 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(1)图(b)可能是图(a)中哪个质点的振动图线。
(2)若波沿x轴正方向传播，则图(b)可能是图(a)中哪个质点的振动图线。
11水面上有A、B两只小船，一道水波沿A、B方向传播，船每分钟上下摆动20次，水波的速度是4 m/s，当A船位于波峰时，B恰好位于波谷位置，A、B两船间还有4个波峰，能否分析出A、B两船间的水平距离？
12在均匀介质中选取平衡位置在同一直线上的9个质点，相邻两质点的距离均为L，如图(a)所示。一列横波沿该直线向右传播，t＝0时到达质点1，质点1开始向下运动，经过时间Δt第一次出现如图(b)所示的波形。求该波：
(1)波长为多少？
(2)质点振动的周期为多少？
(3)波速为多少？
答案
1解析：从题图中可以看出质点A、C、E、G、I在该时刻的位移都是零，由于波的传播方向是向右的，容易判断出质点A、E、I的速度方向是向下的，而质点C、G的速度方向是向上的，因而这五个点的位移不总是相同，A错误；质点B、F是处在相邻的两个波峰的点，它们的振动步调完全相同，在振动过程中位移总是相同，B正确；质点D、H是处在相邻的两个波谷的点，它们的平衡位置之间的距离等于一个波长，C正确；虽然质点A、I在振动过程中位移总是相同，振动步调也完全相同，但由于它们不是相邻的振动步调完全相同的两个点，它们的平衡位置之间的距离不是一个波长(应为两个波长)，D错误。
答案：BC
2解析：波的周期性是由质点振动的周期性决定的，故A选项正确；波的周期等于波源驱动力的周期，与介质无关，故B选项正确，C选项错误；D选项正是波的周期性的体现，故D正确。
答案：ABD
3解析：质点1起振方向向上，其振动传播到质点13，用时T，质点13起振方向向上，而题中用时t，质点13起振方向向下，故质点13已振动了的时间，则有t＝2T，波必传播了2λ的距离，λ＝8a，故v＝＝。
3答案：A
4解析：由题图知波沿x轴正方向传播，则速度为正的为点c、d，而d点的加速度为正，c点的加速度为负，故选项C正确。
答案：C
5解析：由振动图像知周期T＝2 s，由波动图像知波长λ＝100 cm＝1 m，得v＝＝0.5 m/s＝50 cm/s，所以先排除选项A、C。
在质点P的附近取半个波长，即图甲中第二个波谷至第三个波峰，由图乙知此时刻P质点向上运动，由质点运动方向与波传播方向关系，得出波向左传播。
答案：B
6解析：因两列波的波源都是S，所以它们的周期和频率都相同，即T1＝T2，f1＝f2，由波速公式v＝得v1＝＝，v2＝，则v1＝2v2，C对。
答案：C
7解析：由题意可知 s＝1T，波从t1时刻起向右传播1λ，即15 m，可得到t2时刻的波形图，质点的振动方向垂直波的传播方向，经过1T，平衡位置为x＝3 m的质点通过的路程为振幅的5倍，即1.0 m。
答案：AC
8解析：同一机械波在不同介质中传播时，频率不会改变(由振源决定)，波长和波速改变，而从图像中能直接观看发生改变的量当然是波长，故D项正确。
答案：D
9解析：声音在不同介质中传播的速度不同，第一次听到的声音是由铸铁传播的，由于两次传播的距离相等，设声音在空气中声速为v2，所需时间为t2，在铸铁管中声速为v1，所需时间为t1。则有t1＝，t2＝。
由测得的时间差可列方程：－＝Δt，
代入数据有－＝2.5，解此方程可得v1＝3 908 m/s。
答案：3 908
10解析：(1)当t＝1 s时，由图(b)振动图线可知，质点在t＝1 s时在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由图(a)波动图线向x轴负方向传播判断O点在平衡位置，正沿y轴负方向运动，故选A。
(2)由图(a)波动图线向x轴正方向传播可判断x＝2 m处的质点在平衡位置，正沿y轴负方向运动，故选C。
答案：(1)A (2)C
11解析：船每分钟上下摆动20次，可得周期T＝ s＝3 s，波长λ＝v·T＝12 m，当A船位于波峰时，B船恰好位于波谷位置，如下图所示，可知sAB＝4λ＝54 m。
答案：sAB＝54 m
12解析：(1)由题中图像可知：质点1、9是两个相邻的且振动情况总是相同的两个质点，它们的平衡位置之间的距离即为一个波长，即λ＝8L。
(2)t＝0时，波刚传到质点1，且质点1起振方向向下，说明波中各质点的起振方向均向下，在Δt后由图像可知质点9的振动方向向上，说明它已经振动了，因此Δt＝T＋，即T＝Δt。
(3)波速v＝＝＝。
答案：(1)λ＝8L (2)T＝Δt (3)v＝
