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第15讲认识三角形满分冲刺学案（学生版）
【经典例题】
考点一：三角形的有关概念
【例1】图中三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】此题考查数三角形的个数，许多时候因漏数或重复数而答案不正确.其实方法
是有的①先数单个三角形②再数2个三角形组合而成三角形③再数三个三角形组合
而成三角形，如此类推；如本题单个三角形有3个，2个三角形组合而成三角形1个，
三个三角形组合而成三角形有1个，所以共有3+1+1=5个三角形.
【解答】解:图中三角形由△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC，故选：C
考点二：三角形三个内角之间的关系
【例2】已知△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，那么△ABC是（ ）
直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的分类，
①熟知三角形内角和是解出另一个角，②按三角形内角大小来把三角形分类.
【解答】解:∵△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，
∴∠C=180°-20°-70°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
考点三：三角形三边的关系
【例3】以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A．8cm，7cm，13cm B．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cm D．10cm，15cm，17cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
进行分析；※更为简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数即可
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、8+7＞13，能组成三角形； B、6+6=12，不能组成三角形；
C、2+5＞5，能组成三角形； D、10+15＞17，能组成三角形．
故选：B．
考点四：三角形的高、中线和角平分线
【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，
那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1=∠2=∠3 D．BC是△ABE的高
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解，
熟记概念并准确识图是解题的关键.
【解答】解：A、∵AE=DE，∴BE是△ABD的中线，正确；
B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；
C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD，
∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1=∠2=∠3不正确，符合题意；
D、∵∠C=90°，∴BC是△ABE的高，正确．
故选：C．
【知识巩固】
下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?9457f9f1-eb2c-4858-88db-46b38765f353" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几
根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm
5.在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．115° B．125° C．25° D．35°
6.若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为11，则
△BCD的周长是（ ）
A．9 B．14 C．16 D．不能确定
如图，D是△ABC中BC上的一点，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且∠ADE=
∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由.
如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，
求∠ADB的度数．
在图中，点O为三角形的两条角平分线的交点，∠1+∠2=70°，求∠A的度数．
【培优特训】
如图，已知，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，那么图中与∠A相等的角是_______．
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+（b-1）=0，c为奇数，则c=
________．
13.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面
积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
某零件如图所示，按规定∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=146°，
就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
15.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．
16.已知：如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的
平分线相交于点P．求证：∠P=90°．
如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=____．
18.如图，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=60°．
（1）OP=___________时，△AOP为直角三角形．
（2）设OP=x，则x满足_______时，△AOP为钝角三角形．
【中考链接】
19.在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
20.已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
21.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含
45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
22.在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成____个不同的三角形
23.如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
24.如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若=12，则图中阴影部分
的面积是________．
已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?6d9528ca-349e-423d-aba4-03254c5e1ca2" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形
呢？通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4根火柴能搭成三角形吗？
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
27.两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为___
个；
试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
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第15讲认识三角形满分冲刺学案（教师版）
【经典例题】
考点一：三角形的有关概念
【例1】图中三角形的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】此题考查数三角形的个数，许多时候因漏数或重复数而答案不正确.其实方法
是有的①先数单个三角形②再数2个三角形组合而成三角形③再数三个三角形组合
而成三角形，如此类推；如本题单个三角形有3个，2个三角形组合而成三角形1个，
三个三角形组合而成三角形有1个，所以共有3+1+1=5个三角形.
【解答】解:图中三角形由△ABC，△ABE，△BEC，△BDC，△DEC，故选：C
考点二：三角形三个内角之间的关系
【例2】已知△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，那么△ABC是（ ）
直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【分析】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的分类，
①熟知三角形内角和是解出另一个角，②按三角形内角大小来把三角形分类.
【解答】解:∵△ABC中，∠A=20°，∠B=70°，
∴∠C=180°-20°-70°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
考点三：三角形三边的关系
【例3】以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（ ）
A．8cm，7cm，13cm B．6cm，6cm，12cm
C．5cm，5cm，2cm D．10cm，15cm，17cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
进行分析；※更为简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数即可
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、8+7＞13，能组成三角形； B、6+6=12，不能组成三角形；
C、2+5＞5，能组成三角形； D、10+15＞17，能组成三角形．
故选：B．
考点四：三角形的高、中线和角平分线
【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，
那么下列说法中不正确的是（ ）
A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1=∠2=∠3 D．BC是△ABE的高
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解，
熟记概念并准确识图是解题的关键.
【解答】解：A、∵AE=DE，∴BE是△ABD的中线，正确；
B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△EBC的角平分线，正确；
C、∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD，
∵BE是中线，∴∠EBD≠∠ABE，∴∠1=∠2=∠3不正确，符合题意；
D、∵∠C=90°，∴BC是△ABE的高，正确．
故选：C．
【知识巩固】
下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：D．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?9457f9f1-eb2c-4858-88db-46b38765f353" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（ ）
A．B．C．D．
解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项．故选：D．
一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
解：由三角形的内角和定理可知：α=180°-30°-45°=105°，故选：A．
小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几
根木条，她应该选择长度为（ ）的木条．
A．2cm B．3cm C．12cm D．15cm
解：设木条的长度为xcm，则9-6＜x＜9+6，即3＜x＜15，
故她应该选择长度为12cm的木条． 故选：C．
5.在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，则另一个锐角的度数是（ ）
A．115° B．125° C．25° D．35°
解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于65°，
∴另一个锐角的度数是90°-65°=25°． 故选：C．
6.若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
解：若三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长
是（ ）
A．9 B．14 C．16 D．不能确定
解：∵BD是△ABC的中线，∴AD=CD，
∵△ABD的周长为11，AB=5，BC=3，
∴△BCD的周长是11-（5-3）=9，
故选：A
如图，D是△ABC中BC上的一点，DE//AC交AB于点E，DF//AB交AC于点F，且∠ADE=
∠ADF，AD是△ABC的角平分线吗？说明理由.
解：AD是△ABC的角平分线．
理由：∵DE//AC，DF//AB，
∴∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD，
又∵∠ADE=∠ADF，
∴∠DAF=∠EAD，
又∵∠DAF+∠EAD=∠BAC，
∴AD是∠BAC的角平分线．
如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，
求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-50°=100°．
在图中，点O为三角形的两条角平分线的交点，∠1+∠2=70°，求∠A的度数．
解：∵点O为三角形的两条角平分线的交点，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠1+∠2=70°，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×70°=140°，
∴△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-140°=40°．
【培优特训】
如图，已知，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，那么图中与∠A相等的角是_______．
解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B，
∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B，
∴∠A=∠BCD．
故答案为：∠BCD．
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a-7|+（b-1）=0，c为奇数，则c=
________．
解：∵a，b满足|a-7|+（b-1)=0，
∴a-7=0，b-1=0，
解得a=7，b=1，
∵7-1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
∵c为奇数，
∴c=7，故答案是：7．
13.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABE的面
积是（ ）
A．9 B．6 C．4.5 D．4
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△ABD面积的，
∴△ABE的面积=18××=18×=4.5．
故选：C．
某零件如图所示，按规定∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，当检验员量得∠BDC=146°，
就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
解：延长BD交AC于E，
EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
∴∠EDC=∠BDC=而检验员量得∠BDC=146°，
故零件不合格，
15.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．
解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=30°．
(2)∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，
∴∠AEC=，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=-∠AED=90°20°
已知：如图，AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的
平分线相交于点P．求证：∠P=90°．
证明：∵AB//CD，
∴∠BEF+∠DFE=180°．
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.
∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE）=90°．
∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，
∴∠P=90°．
如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=____．
解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（180°-∠A）=90°+∠A，
而∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°∴∠A=40°．故答案为40°．
18.如图，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=60°．
（1）OP=___________时，△AOP为直角三角形．
（2）设OP=x，则x满足_______时，△AOP为钝角三角形．
解：（1）当∠APO=90°时，∠OAP=90°-∠AOP=30°，
∴OP=OA=5，
当∠OAP=90°时，∠OPA=90°-∠AOP=30°，
∴OP=2OA=20，
故答案为：5或20；
（2）当0＜x＜5或x＞20时，△AOP为钝角三角形，
故答案为：0＜x＜5或x＞20
【中考链接】
19.在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，则∠B=（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
解：∵在△OAB中，∠O=90°，∠A=35°，
∴∠B=90°-35°=55°．
故选：B．
20.已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：设第三边长为x，则8-2＜x＜2+8，6＜x＜10，故选：C．
将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含
45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
解：∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
,∠α= 故选：C．
在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成____个不同的三角形
解：∵从长度分别为2，5，6，8的四条线段中任取三条，
能组成三角形的有：2、5、6；5、6、8；故答案为2．
如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
解：∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°-∠C=18°．
24.如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若=12，则图中阴影部分
的面积是________．
解：设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为，根
据中线平分三角形面积可得：,
①，②;由①-②可得，
所以=2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．
25.已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作EF//BC，
∵EF//BC
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．
(?http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?report?/?detail?/?6d9528ca-349e-423d-aba4-03254c5e1ca2" \t "http:?/??/?www.jyeoo.com?/?math?/?ques?/?_blank?)在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形
呢？通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4根火柴能搭成三角形吗？
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
解：（1）4根火柴不能搭成三角形；
（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）示意图： （等腰三角形）
12根火柴能搭成3种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．示意图：
27.两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为___
个；
试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
当n=2006时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
解：（1）
4个；
（2）当有n对点时，最少可以画2（n-1）个三角形；
（3）2×（2006-1）=4010个．
答：当n=2006时，最少可以画4010个三角形．
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