《圆的标准方程》教学设计
一、教材分析
圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.《圆的方程》安排在高中数学必修2第二章. 是前面学习了直线方程、两条直线的位置关系的基础上，让学生学会在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.本节课教材编者共安排了3个例题，例1是求圆的方程的问题，是直接运用所学知识的一个例题；例2是运用圆的标准方程的知识来解决数学问题—；例3是运用圆的标准方程的知识来解决实际问题的一个例题。
由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.
二、学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
三、教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.
四、学法分析:通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.
根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标： 教学目标
一、基础目标：
（1）理解圆的标准方程的推导；
（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据
圆心和半径写圆的标准方程；
（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单
的实际问题；
（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。
二、提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深对待定系数法的理解；促进学生自主的、创造性的学习。
三、体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程
一、创设情景，引入新课
用多媒体播放数学家华罗庚相片及他的诗引入数形结合思想再由实际生活中的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形，引出已经在初中认识了图形，今天的课来研究方程，从而引出本节课的内容。为了顺利学习新课，复习了两个知识点：1、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹为圆。2、两点间的距离公式
二、探究学习
（一）圆的标准方程
在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢?
2、教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；圆确定了，圆的方 程也就确定了。
学生推导该圆的方程
学生小组讨论推导出以（a, b）为圆心，半径为r的圆的标准方程
（x-a）2+（y-b）2=r2
学生组内交流，并抽学生回答。
教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。
方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；
（2）含有a,b,r三个参数；
4、随堂练习
教师预设：练习1 找出下列圆的圆心和半径
（1）x2+y2=16 (2) (x+1)2+y2=(-3)2
（3）(x+1)2+(y+2)2=a2
（4）(2x-2)2+(2y+4)2=4
学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。
教师据学生情况点评。
教师预设：练习2 写出下列各圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为r=2
（2）、圆心在点（-3，4），半径为r=
(3)、 圆心在点（8，0），半径为r=3
学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。
（二）例题分析
教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程
例1 写出圆心在点（-1，2），且与y轴相切的圆的方程。
学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。
教师口头作简单变式，将y轴改为x轴。学生说出答案，再由特殊到一般。
变式：求圆心为（1，2）且与直线3x-4y+1=0相切的圆的方程
学生独立完成变式，师作简要点评。
例2 一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.
解法一：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).
则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.
因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,
所以解得
所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.
解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3,中点坐标为(,),
所以弦OP的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-5=0.
因为圆心在直线y=x+2上,且圆心在弦OP的垂直平分线上,
所以由解得,即圆心坐标为C(-,).
又因为圆的半径r=|OC|=,
所以所求的圆的方程为(x+)2+(y-)2=.
点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可用待定系数法.
(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.
例3 ：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆
只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为
3m的货车能不能驶入这个隧道？
学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，
教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。
教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。
三、小结：学生在教师的引导下回顾本节主要内容，找学生回答
1、掌握圆的标准方程
2、运用圆的标准方程解决一些简单问题
3． 如何求圆的标准方程? 必须具备三个独立的条件
四、课堂练习
1、求过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)的圆的标准方程————————
2、圆 (x－2)2+ y2=2的圆心C的坐标为____,半径r =____
3、 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上. (选做)
3.解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.
点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何
学生练习，教师巡视．学生在课堂练习本上完成课堂练习后集体讲评。
五、布置作业，针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．
必做题P96 B组 第1题,第2题
选做题
1.△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它外接圆的方程.
2. 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).
六、板书设计
板书设计
课题
圆的定义 例题
圆的标准方程
圆的标准方程的推导
教学反思
圆的标准方程，这节内容我安排了两节课的时间，这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。在平面解析几何中，我认为这节内容很重要，因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式，如果学生掌握得好，后面的学习会轻松许多。
例题教学的设计，还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，层层入深，让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。
课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标，题不多,很基础，主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。
整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。
总的来说，这节课几乎是按自己的教学设计在进行，而且顺利地完成了。应该说在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和
点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现；当然，这节课还有很多不足的地方；从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和；；
点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。
从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和提高，这对我在今后的教学有很大的帮助。
课件21张PPT。济南历城一中 王金芳圆的标准方程数缺形时少直观，
形缺数时难入微。数形结合百般好，
隔离分家万事休。
—— 华罗庚复习回顾:
我们一起回顾以下两个问题1、圆的定义 ：2、两点间的距离公式 平面内|PC|=r 点P的轨迹为圆探究新知尝试推导以C（a,b）为圆心，半径为r的圆的方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2称为圆心为C(a,b),半径长为r的圆的标准方程圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？x 2 +y 2 = r2（1）二元二次方程， x 2， y 2系数均为1（2）含有a,b,r三个参数； 圆的标准方程的特征：1. 求圆的圆心及半径(1) x2+y2=16 (2) (x+1)2+y2= (-3)2(3) 圆（x +1）2+(y +2)2= a2（a>0）(4) 圆（2x－2）2+(2y+4)2 = 4
小试牛刀2、写出下列圆的方程 .例1、求圆心在（-1、2），
且与y轴相切的圆的方程典例分析解：(x+1)2+(y-2)2=1变式2 ：求以C（-1，2）为圆心，并且和直线3x－4y+1=0相切的圆的标准方程
变式1：若将y轴改为x轴 ，求圆的方程(x+1)2+(y-2)2=4 例2.一圆过原点O和点P(1,3),圆心在直线y=x+2上,求此圆的方程.解：因为圆心在直线y=x+2上,所以设圆心坐标为(a,a+2).
则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.
因为点O(0,0)和P(1,3)在圆上,
所以 解得
所以所求的圆的方程为(x+ )2+(y- )2=
点评:求圆的方程的方法
(1)待定系数法：设出圆的标准方程，根据已知条件求出参数a、b、r的值.
(2)几何法：借助平面几何中的有关知识来解解决问题.学以致用一、知识
圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时，圆的标准方程为
x2 + y2 = r2
二、方法 求圆的标准方程的方法 ：待定系数法、几何法
三、能力 如何用所学知识来解决实际问题课堂小结： 必做题：P96 B组 第1题,第2题布置作业△ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
2.图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).
选做题：谢谢
