课时2命题、定理、证明 基础训练
知识点1 命题
1.下列语句不是命题的是( )
A.如果a＞b，那么b＜a
B.同位角相等
C.垂线段最短
D.反向延长射线OA
2.下列命题是真命题的有( )
①有一条公共边的角叫做邻补角；②若两个角是直角，则这两个角相等;③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3.对于命题“若a2＞b2,则a＞b”，下面四组关于a,b的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2
C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3
4.把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式: .
5.指出下列命题的题设和结论.
(1)如果a+b=0,那么a=b=0;
(2)如果，那么a=b;
(3)同旁内角互补,两直线平行.
6.下列命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？若是假命题，请举一反例.
(1)互为邻补角的两角之和等于180°;
(2)如果ab＞0,那么a+b＞0;
(3)如果一个有理数既不是正数，也不是负数，那么它一定是0.
知识点2 定理与证明
7.下列说法不正确的是( )
A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B.定理是命题,而且是真命题
C.“对顶角相等”是命题，但不是定理
D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
8.如图，已知∠1和∠2互为补角，∠A=∠D.求证：AB∥CD.
证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，
∴∠1=∠CGD( ).
又∠1和∠2互为补角（已知），
∴∠CGD和∠2互为补角，
∴AE∥FD( )，
∴∠A=∠BFD( ).
∵∠A=∠D(已知），
∴∠BFD=∠D( )，
AB∥CD( ).
9.如图，已知 ∠BEF+∠EFD=180°，EM 平分∠BEF,FN平分∠EFC.求证：∠M=∠N.
参考答案：
1.D
解析：D项，作图语句不是判断一件事情的语句，所以不是命题.故选D.
2.C
解析：由邻补角的定义，可知①是假命题;易知②③是真命题.故选C.
3.B
解析：B 项，当 a=-3,b=2时，满足a2＞b2，但a＜b，故选B.
4.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
5.解析：(1)题设：a+b=0.结论：a=b=0.
(2)题设：.结论:a=b.
(3)题设：同旁内角互补.结论:两直线平行.
6.解析：⑴真命题.
(2)假命题.反例:a=-1,b=-2.
(3)真命题.
名师点睛：命题不仅是一个完整的句子，而且还必须对事情作出肯定或否定的判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论.
7.C
解析：“对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题,所以它是定理，因此C错误.故选C.
8.对顶角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等等量代换 内错角相等，两直线平行
9.解析：
课时2命题、定理、证明 提升训练
1.(2018湖北武汉外国语学校课时作业)下列命题是假命题的( )
A.在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
B.在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c
C.在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
D.在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
2.(2018山东济南育英中学课时作业)阅读下列语句：
①邻补角的平分线互相垂直;②互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；③延长线段AO到C，使OC=OA;④这个角等于30°吗？在这些语句中，属于真命题的是.(填序号）
3.(2018河南洛阳第二外国语学校课时作业)给出下列命题：
①一个锐角的余角小于这个锐角；
②两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；
③如果，那么a=b；
④若a2+b2=0,则a，b都为0.
其中是假命题的是 .(填序号）
4.(2018北京中考)用一组a，b，c的值说明命题“若 a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=,b=,c=.
5.(2018江西赣州中学课时作业)如图，现有以下三个条件：
①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.
6.(2018福建厦门双十中学课时作业)如图，已知AB∥CD,
∠1=∠2. 求证：∠E=∠F.
7.(2018安徽阜阳九中课时作业)如图，在四边形ABCD,若AB∥CD,点P为BC上一点，设∠CDP=∠α,∠DPC=∠3，当点P在BC上运动时，∠α，∠β的和与∠B之间有何关系？请证明你的结论.
参考答案：
1.C
解析：在同一平面内，若a⊥c,则a∥c，所以C选项为假命题.故选C.
2.①
解析：易知①是真命题;互补的两个角可能都是直角，所以②是假命题;③④均不是命题.所以属于真命题的是①.
3.①③
解析：一个锐角的余角可能大于这个锐角，故①是假命题;如果，那么a=±b，故③是假命题.易知②④均为真命题.所以假命题是①③.
4.23 -1(答案不唯一）
解析：在满足a＜b的条件下，c＜0即可.答案不唯一.
5.解析：(1)如果①②，那么③;如果①③，那么②;如果②③，那么①.
(2)“如果①②,那么③”是真命题.证明如下：
6.解析：
7.解析：
5.3平行线的性质
课时1平行线的性质 基础训练
知识点1 两直线平行，同位角相等
1.如图，直线a∥b,∠1=60°，则∠2=( )
A.30° B.60° C.45° D.120°
2.(2018新疆乌鲁木齐中考)如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°,则∠2=( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
3.如图AC∥DF,AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上，若∠2=50°，则∠1的度数为 .
知识点2 两直线平行，内错角相等
4.(2018四川泸州中考)如图，直线a∥b，直线c分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D， 若∠1=50°，则∠2的度数是( )
A.50° B.70° C.80° D.110°
5.如图，点A在直线BG上,AD∥BC，AE平分∠GAD， 若∠CBA=80°,则( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
6.如图，点D,E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °.
知识点3两直线平行，同旁内角互补
7.(2018湖北仙桃中考)如图，AD∥BC，∠C =30°， ∠ADB:∠BDC= 1:2，则∠DBC的度数是( )
A.30° B.36° C.45° D.50°
8.如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=( )
A.60° B.65° C.50° D.45°
知识点4 平行线的判定与性质的综合运用
9.如图，已知c⊥a,c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
10.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于( )
A.120° B.130° C.140° D.40°
11.(2017河北唐山路北区期中)如图，已知直线AB∥DF,∠D+∠B=180°.
(1)试说明DE∥BC；
(2)若∠AMD=75°，求∠AGC的度数.
参考答案：
1.B
解析：∵a∥b,∴∠2=∠1,又∠1=60°，
∴∠2=60°.故选B
2.C
解析：如图，∵直尺的对边互相平行，
∴∠3=∠1=50°,又∠3+90°+∠2=180°,
∴∠2= 180°-50°-90°=40°.故选 C.
名师点睛：本题考查平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识 图是解题的关键.
3.50°
解析：因为AB∥EF，所以∠A=∠2=50°.因为AC∥DF,所以∠1=∠A =50°.
4.C
解析：∵a∥b,∠1=50°,
∴ ∠BAD=∠1=50°，
∵AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAC=2∠BAD = 100°,
∴∠2=180°-∠BAC =180°-100°=80°.故选 C.
5. B
解析：∵AD∥BC,∠CBA=80°,∠DAB=∠CBA= 80°,
∴∠DAG=180°-80°=100°.
∵AE平分∠GAD,
∴∠GAE=∠DAG=50°.故选 B.
6.10
解析：DE∥AC,∴∠C=∠1 =70°.
∵AF∥BC,∴∠2=∠C=10°.
7.D
解析：∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠C=180°.又∠C=30°，
∠ADC=180°-∠C=180°-30°=150°.
∵∠ADB：∠BDC=1：2,
∴∠ADB+∠BDC=∠ADC=150°,
∴∠ADB =∠ADC =×150°=50°.
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=50°.故选D
8.A
解析：∵AB∥CD,∴∠BAC+∠C=180°，又∠BAC=120°，
∴∠C=180°-∠BAC=60°.
∵AC∥DF,∠CDF =∠C=60°.故选A.
9.B
解析：a⊥c,b⊥c. ∴a∥b,∴∠2=∠1 =50°.故选 B.
10.C
解析：∵∠1= ∠2,∴a∥b, ∴∠3 =∠5.
∵∠3=40°,
∴∠5=40°,∴∠4=180°-40°=140°.故选 C.
11.解析：(1)∵AB∥DF,∴∠D+∠BHD= 180°,
∵∠D+∠B=∠DHB,
∴DE∥BC.
(2)由（1)知 DE∥BC,∴∠AGB=∠AMD=75°,
∴AGC=180°-∠AGB =180°-75°= 105°.
课时1平行线的性质 提升训练
1.(2018广东深圳中考)如图，直线a,b被c,d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是( )
A.∠1=∠2 C.∠3+∠4=180°
B.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
2.(2018河南安阳五中课时作业)如图，小岛C在小岛A的北偏东60°方向，在小岛B的北偏西45°方向，那么从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数为.
3.(2018四川广安中考)一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=度.
4.(2018安徽芜湖二十七中课时作业)如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O, E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A.
(1)试说明FE∥OC;
(2)若∠BFE=70°，求∠DOC的度数.
5.(2018天津市实验中学课时作业)如图,CD∥AB,CD∥GF,FA与AB交于点A，与CD交于点E.试说明∠4=∠1+∠C.
6.(2018河北张家口五中课时作业)如图，已知∠1+∠2=180°，
∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说明.
7.(2018山西朔州一中课时作业) 课上老师呈现一个问题：
如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P,当 ∠1=30°时，
求∠EFG的度数.
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
甲同学辅助线的作法和分析思路如下：
辅助线:过点F作MN∥CD分析思路：
(1)欲求∠EFG的度数，由图可知只需求∠2和∠3的度数；
(2)由MN∥CD可知，∠2=∠1，已知∠1的度数，可得∠2的度数；
(3)由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
(4)已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；
(5)从而可求∠EFG的度数.
请你选择乙同学或丙同学所画的图形,描述辅助线的作法，并写出相应的分析思路.
参考答案：
1.B
解析：根据两直线平行，同位角相等,可得∠3=∠4故选B.
2.105°
解析：如图，过点C作CE∥AF,交AB于点E，则CE∥AF∥BD,
∴∠FAC=∠ACE,∠CBD=∠BCE,
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠FAC+∠CBD=60°+45°=105°.
3.120
解析：如图，过点B作 BG∥AE.
∵CD∥AE,
∴BG∥CD,
∴∠GBC+∠BCD =180°.又∠BCD= 150°，
∴∠GBC=180°-∠BCD=180o -150°=30°.
∵BA⊥AE,∴∠BAE = 90°.
∵BG∥AE,
∴∠GBA+∠BAE =180°，
∴∠GBA=180°-∠BAE =90°.
∴∠ABC=∠GBA+∠GBC=90°+30°=120°.
4.解析：(1)∵AB∥CD,∴∠A=∠C .
又∠1=∠A,∴∠C=∠1.
∴FE∥OC.
(2)由(1)知 FE∥OC,
∴∠BFE+∠DOC =180°
又∠BFE=70°,∴∠DOC =110°.
5.解析：∵CD∥GF,∴∠C= ∠GFC.
∵∠GFA=∠1+∠GFC,
∴∠GFA=∠1+∠C.
∵CD∥AB,CD∥GF,∴AB∥GF.
∴∠A=∠GFA,∴∠A=∠1+∠C.
6.解析：∠AED=∠C.理由如下：
∵∠1+∠4=180°,∠1+∠2=180°,
∴∠2=∠4.
∴EF∥AB，∴∠3=∠ADE.
又∠B=∠3，∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC， ∴∠AED=∠C.
7.解析：选择乙同学所画的图形.
辅助线:过点P作PH∥EF，交于点H.
分析思路：(1)欲求∠EFG的度数，由PH∥EF可知，∠EFG=
∠HPG,因此，只需求出∠HPG的度数；
(2)欲求∠HPG的度数，由图可知只需求出∠1和∠2的度数；
(3)已知∠1的度数,所以只需求出∠2的度数；
(4)已知EF⊥AB可得∠4=90°；
(5)由PH∥EF可推出∠3=∠4,由AB∥CD可推出∠2=∠3,由此可推出
∠2=∠4，所以可得∠2的度数；
(6)从而可求出∠EFG的度数.
选择丙同学所画的图形.
辅助线:过点O作交CD于点Q.
分析思路：(1)欲求的度数，由OQ∥FG可知，∠EFG=∠EOQ，因此，只需求出∠EOQ的度数；
(2)欲求∠EOQ的度数，由图可知只需求出∠2和∠3的度数；
(3)已知EF⊥AB,可得∠3=90°；
(4)由AB∥CD可推出∠2=∠4，由OQ∥FG可推出∠4 =∠1，由此可推出
∠2=∠1,所以可得∠2的度数；
(5)从而可求出∠EFG的度数.
(选择任一种即可）
