17.1 勾股定理（2）课件
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人教版数学八年级下册
17.1勾股定理（2）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
复习回顾：
1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，
若BC = 8cm， CA = 6cm，则线段AB = ；
2、在Rt△ABC中，已知两边长为12和5，求
第三边的长度？
10cm
?
解：
在Rt△ABC中，根据勾股定理
斜边=
直角边=
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
如图，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能求出A，B两点间的距离吗？（结果保留整数）
例2 一个2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4
m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.62
∴BC＝1m
由题意得：
DE＝AB＝2.6m
DC＝AC－AD
＝2.4－0.5
＝1.9m
在Rt△DCE中，
∴BE＝1.77－1＝0.77m≠0.5m
答:梯子底端B不是外移0.5m
∵∠DCE=90°
∴ DC2+ CE2＝DE2
1.92+ BC2＝2.62
∴CE≈1.77m
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解:设水池的深度AC为x米,则芦苇高AD为 (x+1)米.
根据题意得:
BC2+AC2=AB2
∴52+x2 =(x+1)2
25+x2=x2+2x+1
x=12
∴x+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
（1）重视对实际问题题意的正确理解；
（2）建立对应的数学模型(勾股定理)，运用
相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运用．
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端
3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？
x2+32=(x+1)2
x=4
(4+1)+4=9(m)
例4 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
x
25-x
解：设AE= x km，则BE=
(25-x)km.
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即152+x2=102+（25-x)2
答：E站应建在离A站10km处。
∴ x=10
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
50dm
A
B
C
D
解：∵在Rt△ ABC中， ∠B=90°, AB=BC=50,
∴由勾股定理可知：
例5 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由。
帮卡车司机排忧解难。
O
┏
C
D
H
实际问题
数学问题
由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度与CH值的大小关系。
当车的高度﹥CH时，则车 通过 当车的高度﹤CH时，则车 通过
不能
能
由图可知:CH=DH+CD OD=0.8米，OC= 1米 ,CD⊥AB, 于是车能否通过这个问题就转化到直角△ODC中CD这条边上；
∵2.3+0.6=2.9>2.5
∴卡车能通过厂门。
例6 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
5
3
1
5
12
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
例7 有一圆形油罐底面圆的周长为8m，高为2m，一只老鼠从A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
C
B
2
4
解：
如平面展开图所示.
在Rt△ABC中，根据勾股定理
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形.
小结：在最短路径问题中，通常都要用到“两点之间，线段最短”这个原理。
2.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”等性质来解决问题。
1.在实际问题中建立直角三角形模型，利用勾股定理解决问题。
1.如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离．
2.学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了几步？(每两步约为1米）
130
10步
3.在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处。你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
16米
6.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米。
15
4.一架5m长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3m，若梯子顶端下滑了1m,则梯子底端将外移 。
1m
5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米。
7
7.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的
水平距离为2米，问这里水深是__ m。
8.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子
垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，
发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
12米
9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.
10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________.
25dm
11.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长12m处，即AB长为最短路线.
12.如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体的左下端A，它到右上端B的最短路线是多长呢？
13.做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明．
能
谢谢
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17.1勾股定理（2）
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
复习回顾：
1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，
若BC = 8cm， CA = 6cm，则线段AB = ；
2、在Rt△ABC中，已知两边长为12和5，求
第三边的长度？
10cm
?
解：
在Rt△ABC中，根据勾股定理
斜边=
直角边=
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
如图，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能求出A，B两点间的距离吗？（结果保留整数）
例2 一个2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4
m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.62
∴BC＝1m
由题意得：
DE＝AB＝2.6m
DC＝AC－AD
＝2.4－0.5
＝1.9m
在Rt△DCE中，
∴BE＝1.77－1＝0.77m≠0.5m
答:梯子底端B不是外移0.5m
∵∠DCE=90°
∴ DC2+ CE2＝DE2
1.92+ BC2＝2.62
∴CE≈1.77m
例3 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解:设水池的深度AC为x米,则芦苇高AD为 (x+1)米.
根据题意得:
BC2+AC2=AB2
∴52+x2 =(x+1)2
25+x2=x2+2x+1
x=12
∴x+1=12+1=13(米)
答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
（1）重视对实际问题题意的正确理解；
（2）建立对应的数学模型(勾股定理)，运用
相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运用．
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端
3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？
x2+32=(x+1)2
x=4
(4+1)+4=9(m)
例4 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
x
25-x
解：设AE= x km，则BE=
(25-x)km.
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即152+x2=102+（25-x)2
答：E站应建在离A站10km处。
∴ x=10
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
50dm
A
B
C
D
解：∵在Rt△ ABC中， ∠B=90°, AB=BC=50,
∴由勾股定理可知：
例5 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由。
帮卡车司机排忧解难。
O
┏
C
D
H
实际问题
数学问题
由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度与CH值的大小关系。
当车的高度﹥CH时，则车 通过 当车的高度﹤CH时，则车 通过
不能
能
由图可知:CH=DH+CD OD=0.8米，OC= 1米 ,CD⊥AB, 于是车能否通过这个问题就转化到直角△ODC中CD这条边上；
∵2.3+0.6=2.9>2.5
∴卡车能通过厂门。
例6 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
5
3
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5
12
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
例7 有一圆形油罐底面圆的周长为8m，高为2m，一只老鼠从A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
C
B
2
4
解：
如平面展开图所示.
在Rt△ABC中，根据勾股定理
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形.
小结：在最短路径问题中，通常都要用到“两点之间，线段最短”这个原理。
2.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”等性质来解决问题。
1.在实际问题中建立直角三角形模型，利用勾股定理解决问题。
1.如图:是一个长方形零件图，根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离．
2.学校有一块长方形的花圃，经常有同学为了少走几步而走捷径，于是在草坪上开辟了一条“新路”，他们这样走少走了几步？(每两步约为1米）
130
10步
3.在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处。你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
16米
6.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米。
15
4.一架5m长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端3m，若梯子顶端下滑了1m,则梯子底端将外移 。
1m
5.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需 米。
7
7.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的
水平距离为2米，问这里水深是__ m。
8.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子
垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，
发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
12米
9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.
10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________.
25dm
11.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长12m处，即AB长为最短路线.
12.如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体的左下端A，它到右上端B的最短路线是多长呢？
13.做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明．
能
谢谢
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