数学人教B版选修2-2 1.1.1 函数的平均变化率 课件（21张）

课件21张PPT。第一章 导数及其应用1.1.1 函数的平均变化率 假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示． 自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)． 问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy.问题2：怎样用数量刻画山路的陡峭程度呢？ 此人从点A爬到点B的位移可以用向量 来表示， 假设向量 对x轴的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，容易看出问题3： 能否刻画山路陡峭程度呢 ？ 因表示A、B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比 的绝对值越大，山坡越陡，反之，山坡越缓． 现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。 注意：各小段的 是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。 平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0). 则当△x≠0时，商
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。概念理解 (1)x0，x1是定义域内不同的两点，
因此Δx≠0，但Δx可正也可负；
而Δy＝f(x1)－f(x0)为相应Δx＝x1－x0的改变量，
因此Δy的值可正可负，也可为零．
所以，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx
有关，与x0也有关．(3)函数平均变化率的几何意义：函数图象上两点
连线的斜率.求函数平均变化率的步骤
求函数y=f(x)在x0附近的平均变化率
（1）确定自变量改变量?x
（2）求函数改变量?y
（3）求平均变化率例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率。解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率为 探究一：计算函数f(x)＝x2在区间[1,1+Δx](Δx>0)的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.
思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
探究二：求函数f(x)＝x2在x0=1,2,3附近的平均变化率
，取Δx的值为2，哪一点附近的平均变化率最大？
思考：当x0越来越大时，函数f(x)在x0附近的平均变
化率有怎样的变化趋势？ 由上式可以看出，当x0取定值时，△x取不同的值，函数的平均变化率不同，当△x取定值，x0取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。
例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。例2．求函数 在区间[x0，x0+△x] (或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函数 的平均变化率为 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为 (　　)
A．0.40　　　　B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
答案：B课堂练习课堂练习2．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点
A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x, －2+△y),
则 ．
小结： 1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
（1）确定自变量改变量?x
（2）求函数改变量?y
（3）求平均变化率